Bảng tóm tắt kiến thức toán 12 học kỳ 1

www.thuvienhoclieu.com TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.. Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai 4... Hàm số

www.thuvienhoclieu.com TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP HỌC KỲ I MÔN TOÁN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Định lí Viet thuận 2 Định lí Viet đảo Phương trình bậc hai (ax2 bx c 0)

b

S x x

a



c

P x x

a

Nếu  , là hai số có: .

S P

 

 

 









thì chúng là 2 nghiệm phương trình:

x  Sx P 

3 Điều kiện nghiệm của phương trình

bậc hai

4 Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa

điều kiện cho trước

0 0

 



 



P

0 0 0

 





  

 



S P

0 0 0

 





  

 



S P

 x < a < x 1 2

1

2

0

   



x a

x a x a

x a

 x < x < a 1 2

1

2

0 0

0

 



 

 



x a

x a

x a x a

 a < x < x 1 2

1

2

0 0

0

 



 

 



x a

x a

x a x a

Kiến thức 2: ĐẠO HÀM

1 Hàm thường

gặp

 

 

0

1

C

x

 

 

 x n  n x n 1



x





1 Hàm thường gặp

 u u1.u

 u 2u

u







2

1 u'

 

 



 

 

* Quy tắc:

u v ' u v' '

u v ' u v v u'  '

2 ' '

u u v v u



 



 

 

* CT Tính nhanh:







ax b ad bc

cx d cx d

2

 

 



 

 

2 Hàm lượng giác

sinx cosx

cosx  sinx

cos

x

x

 

sin

x

x

 

3 Hàm mũ-logarit

 a x ' a x.lna

 e x 'e x

.ln

a x

x a



ln 'x 1

x



2 Hàm lượng giác

sinuu cos u

cosuu.sinu

cos

u u

u



 

sin

u u

u



 

3 Hàm mũ-logarit

 a u 'u a .lnu a

 e u 'u e' u

.ln

a

u u

u a



ln 'u u'

u



2

2 2





ax bx c adx aex be dc

ax bx c (ab a b)x 2(ac a c)x (bc b c) 3

a x b x c (a x b x c )





4 Ứng dụng

1 Phương trình tiếp tuyến

'

yf x x x y

+ x y0; 0

là tọa độ tiếp điểm + f x' 0 là hệ số góc

2 Ứng dụng trong vật lí

+ Vận tốc: v t( )s t'  + Gia tốc: a t( )v t'( )s t'' 

Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

 Các bước khảo sát

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’

không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch

biến

 Áp dụng giải phương trình

+ Nếu f tăng (giảm) và f x( 0)a thì phương

trình f x( ) a có nghiệm duy nhất là xx0

+ Nếu f tăng và g giảm vàf x( 0)g x( 0) thì

phương trình f x( ) g x( )có nghiệm duy nhất

là xx0

+ Nếu f tăng (giảm) trên tập xác định

D thì: f u( ) f v( )  uv (víi u,v  D)

 Cách 1: Dùng BBT

(Tương tự các bước như mục 1)

 Cách 2: Dùng y’’

Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm các nghiệm x i của y’

Bước 4: Tính y'' Bước 5: Tính y x''( )i

Bước 6: Kết luận

''( ) 0i i

''( ) 0i i

 Max, min trên đoạn [a;b]

Bước 1: Tìm tập xác định

 Tiệm cận ngang

Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’

hoặc là điểm mà y’ không xác định trên

khoảng (a,b)

Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b)

Bước 5: So sánh và kết luận Max, min.

 Max, min trên khoảng hoặc nửa

khoảng

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính y’

Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’

không xác định trên khoảng (a,b)

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Kết luận Max, min

Bước 1: Tính lim 1

  

1

y y

Bước 2: Tínhxlim y y2

   

2

y y

Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có một TCN

 Tiệm cận đứng

Bước 1: Tìm những điểm x0là những điểm

không xác định của hàm số( với hàm phân thức thường là nghiệm của mẫu)

Bước 2: Kiểm tra điều kiện: 0

lim

x xx

 

hoặc

0

lim

x x x



 

0

x x

Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ

2 nghiệm

(2 cực trị)

y

0

a 

y

0

a 

1 nghiệm

y

0

a 

y

0

a 

Vô nghiệm

(0 cực trị)

y

0

a 

O

x y

0

a 

3 nghiệm

(3 cực trị)

0

1 nghiệm

(1 cực trị)

0

3 Hàm phân thức bậc nhất , 0

ax b

cx d





+ Đồ thị

không có cực

trị

+ Có tâm đối

xứng là giao

điểm 2 tiệm

cận

  0

4 Các dạng toán liên quan đến đồ thị

 Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm)

( ); ( )

yf x y g x

Bước 1: Tìm nghiệm x0 của phương trình

hoành độ giao điểm f x( )g x( )

Bước 2: Thay vào công thức f x( )hoặc g x( )

Được tung độ y0 f x( )0 g x( )0

 Giao điểm M x y( ; )0 0

* Các trường hợp đặc biệt:

+ Giao với trục hoành (trục Ox): y 0

+ Giao với trục tung (trục Oy): x 0

 Phương trình tiếp tuyến

Công thức: yy0 f x'( )(0 x x 0)

0 0 ( ; )x y

là tọa độ tiếp điểm

0 '( )

f x

Là hệ số góc

* Các trường hợp đặc biệt:

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng:

:

d y ax b 

0 '( ) a

f x

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:

:

d y ax b 

0 '( ).a 1

f x

Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

1 Tịnh tiến đồ thị hàm số 2 Suy biến đồ thị

Hàm số yf x có đồ thị là đường cong C

 Đồ thị hs y = f x + a  : Tịnh tiến  C lên

trên a đơn vị

 Đồ thị hs y = f x - a  : Tịnh tiến  C

 Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C

sang trái a đơn vị

 Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C

sang phải a đơn vị

Hàm số yf x  có đồ thị là đường cong C

 Đồ thị hs y = -f x : Lấy đối xứng (C) qua

Ox

 Đồ thị hs y = f -x : Lấy đối xứng (C) qua

Oy

 Đồ thị hs y = f x  :

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C bên phải Oy, bỏ

phần bên trái + Lấy đối xứng phần đồ thị  C được giữ lại

qua Oy

 Đồ thị hs y = f x  :

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm trên Ox, bỏ phần đồ thị C phía dưới Ox.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C bị bỏ qua Ox

 Đồ thị hs

 

0

f x

y f x

y f x









+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm trên Ox, bỏ

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C được giữ lại

qua Ox

Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT

1 Lũy thừa

 Định nghĩa

Lũy thừa mũ nguyên dương: a n (a )

Lũy thừa mũ nguyên âm:

1





n n

a

a (a0)

Lũy thừa mũ 0: a0  1 (a0)

Lũy thừa mũ hữu tỉ: 

m

n m n

Lũy thừa mũ vô tỉ: a (a0)

 Tính chất



 

a a  a 





a a a



 



. ( ) a  a  ( ) ab  a b

 



 

 

 



2 Căn bậc n

 Định nghĩa

Số a là căn bậc n của b nếu a n b

 Chú ý:

+ Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: n b

+ n 0 0 (  n *,n2)

 Tính chất

Với a, b là các số dương:

na bn n ab n

n n

(b 0) b

n am nam (a 0)

m n a  mn a

n n a nÕu lÎ a







n n

3 Logarit

 Định nghĩa

Với 2 số dương a b, và a0 : loga b a b

Logarit thập phân: log10blogblgb

Logarit tự nhiên: loge blnb

 Tính chất

loga a1

log 1 0a 

log



a b

loga a 



 Quy tắc tính Lôgarit của tích: log ( ) loga b b1 2  a b1loga b2

Lôgarit của thương:

1

2 loga b loga  loga

b

Lôgarit của lũy thừa: loga b  loga b





Đổi cơ số:

log log

log

c a

c

b b

a



log logc a a b logc b

Đặc biệt :

1 log

log

a

b

b

a



;

1 logab loga b



4 So sánh hai lũy thừa và logarit

 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

+ Nếu a 1: a a  

+ Nếu 0a1: a a  

 So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số

dương)

+ Nếu m 0: a m b m  a b

+ Nếu m 0: a m b m  a b

 So sánh hai logarit cùng cơ số + Nếu a 1: loga b1loga b2  b b1 2

+ Nếu 0a1: loga b1loga b2  b b1 2

Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1 Hàm số lũy thừa 2 Hàm số mũ 3 Hàm số logarit

 Dạng tổng quát

y x

 Dạng tổng quát

, ( 0, 1)

x

y a a a

 Dạng tổng quát

log , (a 0, 1)

y x a a

TXĐ:

+  nguyên âm hoặc bằng 0:

 

\ 0

D 

+  không nguyên: D0;

 Đạo hàm

1 ( )x x

 

Đối với hàm hợp:

1 ( )u u 'u

 

TXĐ: D 

 Đạo hàm

( )a x  a x.lna

Đặc biệt: ( )e x  e x Đối với hàm hợp:

( )a u u a .lnu a

Đặc biệt: ( )e u e u u. 

TXĐ: D 0;

 Đạo hàm

.ln

a x

x a

 

Đặc biệt:

1 (ln )x

x

 

Đối với hàm hợp:

log 

.ln



 

a

u u

u a Đặc biệt: (ln )

u u u



 

Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình mũ 2 Phương trình logarit

 Phương trình mũ cơ bản

Dạng TQ: a x bvới 0a1

Nghiệm:

+ Nếu b0 thì a x  b xloga b

 Một số phương pháp giải

- Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số

là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1)

- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)

- Logarit hóa.

 Phương trình logarit cơ bản

Dạng TQ: log a x b với 0a1 Điều kiện: x 0

Nghiệm: loga x b  x a b

 Một số phương pháp giải

(Chú ý đặt điều kiện phương trình)

- Đưa về cùng cơ số.

- Đặt ẩn phụ.

- Mũ hóa.

Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Bất phương trình mũ 2 Bất phương trình logarit

 Bất phương trình mũ cơ bản

Dạng TQ: a x b (với 0a1)

(hoặca x b; a x b; a x b)

Nghiệm:

+ Nếu b<0:

 Bất phương trình logarit cơ bản

Dạng TQ: loga x b (với 0a1) (hoặc loga x b ; loga x b ;loga x b ) Điều kiện: x 0

BPT a < bx vô nghiệm

BPT a > bx vô số nghiệm

+ Nếu b>0:

x

a

0 < a < 1 log

a

 Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo

chiều

 Một số phương pháp giải

- Đưa về cùng cơ số.

- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)

- Logarit hóa.

Nghiệm:

a

log x > b log x < b a

0 < a < 1  b

 Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo chiều

 Một số phương pháp giải

(Chú ý đặt điều kiện bất phương trình)

- Đưa về cùng cơ số.

- Đặt ẩn phụ.

- Mũ hóa.

Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

b ab

c ac

2 ' '

h b c

h b c

ah bc

a

a

c

b

Định lí cosin:

2 2 2

2

a b c  bc cosA

2 2 2 2

cosA

bc

 



R sinAsinB sinC 

Độ dài trung tuyến: m a2=2(b2+c2)−a2

4

Diện tích tam giác:

S=1

2ah a=1

2bh b=1

2ch c

S=1

2bcSinA =

1

2acSinB=

1

2abSinC

S= pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp)

S= abc

4 R (R là bán kính đường tròn ngoại

tiếp tam giác)

S= √ p( p−a)( p−b)( p−c)

(với

 

 2

a b c p

)

Chú ý: Với tam giác đều cạnh a

Diện tích:

2 3 4

ABC

a

S 

Trung tuyến:

3 2

a

AM 

3 Diện tích các hình

Hình vuông cạnh a

Diện tích: S ABCD a2

Hình chữ nhật cạnh a, b

ABCD

S a b

Hình thoi

1

2

.sin

.sin







ABCD

AB AD A

AB AD B

Hình bình hành

.sin

ABCD

AB AD A





Hình thang

2

ABCD

AD BC AH

Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích:

1 . 3

V = B h

Khối chóp tam giác đều S.ABC

+ Đáy là tam giác đều

+ Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy

+ Các cạnh bên bằng nhau

Thể tích: V =B h.

Lăng trụ đều:

+ Là lăng trụ đứng + Đáy là đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau

C D S

O

A

D

A

D

A

B

C

D

A

D

H

A

D

H

Khối chóp tứ giác đều S.ABCD

+ Đáy là hình vuông

+ Hình chiếu của đỉnh là giao điểm AC và BD

+ Các cạnh bên bằng nhau

Tỉ số thể tích

.

.

S A B C

S ABC

=

Khối hộp chữ nhật: V =abc

Khối lập phương: V =a3

Kiến thức 12: MẶT TRÒN XOAY

Đường sinh: l OM

Đường cao: h OI

Bán kính đáy: r IM

Diện tích xung quanh: S xq rl

Diện tích đáy: S đ r2

Diện tích toàn phần: S tp S đ S xq r2rl

Thể tích:

2

1 3



V r h

Đường sinh: l DC

Đường cao: h AB l 

Bán kính đáy: r AD BC 

Diện tích xung quanh: S xq 2rl

Diện tích toàn phần:

2

2 2 2 2 ( )

t p đ xq

Thể tích: V r h2

3 Mặt cầu

Diện tích mặt cầu: S  4R2 R

O

A

D

B

C

r

r h

Thể tích khối cầu:

3

4

3



Giao của mặt cầu và mặt phẳng

P P

P

OH>R (P) và mặt cầu S(O; R) không có điểm chung

OH=R (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H

OH<R (P) cắt mặt cầu S(O; R)

O O

O

H

H

H

Chú ý:

1 OH d O( , (P))

2 2 2

 