Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng BDA' theo a, b, c.. Phần riêng Thí sinh chỉ đợc chọn một phần riêng thích hợp để làm bài Câu Va Theo chơng trình nâng cao 1.. Tính khoảng cách giữa ha
Trang 1Tổ Toán-Tin, Trờng THPT Phan Đăng Lu, Nghệ An
Sở GD & ĐT Nghệ An
Trờng THPT Phan Đăng Lu
-o0o -Đề thi thử đại học lần 2
Năm học 2008 - 2009
( Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút )
Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho h m số y = (x - 2)à 2(x + 1), đồ thị là (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2 Tìm trên (C) điểm M có hoành độ là số nguyên dơng sao cho tiếp tuyến tại M của (C), cắt (C) tại hai
điểm M và N thoả mãn MN = 3
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phơng trình
1 1
2 1
x y
y x
, với ẩn ,x y∈Ă
x+ c x+ π = + x−π + x+ π + ,
với ẩn x∈Ă
Câu III (2 điểm)
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng thẳng y = 3 và đồ thị hàm số y x= 2− −x x
2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn x +3y+5z ≤3 Chứng minh rằng
4 625
3xy z4 + +15yz x4 +4+5zx 81y4 +4 ≥ 45 5 xyz.
Câu IV (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', có AB = a, AD = b, AA' = c và đáy ABCD là hình bình
hành có góc BAD bằng 600 Gọi M là điểm trên đoạn CD sao cho DM = 2MC Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng BDA' theo a, b, c
Phần riêng (Thí sinh chỉ đợc chọn một phần riêng thích hợp để làm bài)
Câu Va (Theo chơng trình nâng cao)
1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đờng thẳng
2
z t
= +
a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó
b Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đờng thẳng d1 và d2; Viết phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
2 Tìm phần thực của số phức z= +(1 i)n Trong đó n∈Ơ và thoả mãn*
log n− +3 log n+6 =4
Câu Vb (Theo chơng trình chuẩn)
1 Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm (4;0;0) , (0;0;4)A B và mặt phẳng
(P): 2x y− +2z− =4 0
a Chứng minh rằng đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) Viết phương trỡnh đờng thẳng d đi qua
điểm A, vuông góc với đờng thẳng AB và song song với (P)
b Tỡm điểm C trờn mặt phẳng (P) sao cho tam giỏc ABC đều
x − x+ + − + = x − x+ , với ẩn x∈Ă - Hết
Trang 2-đáp án và biểu điểm
Môn Toán- Thi thử ĐH lần 2 -Năm học 2008-2009 - Trờng THPT Phan Đăng Lu-NA
Hàm số có tập xác định là Ă ; Limyx ; Limyx
y’ = 3x2 - 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 + y
0.25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) Điểm (0; 4) là
điểm CĐ của đồ thị hàm số; điểm (2; 0) là điểm CT của đồ thị hàm số Điểm U(1; 2) là điểm uốn của đồ thị
0.25
Giả sử M(x0; y0) thuộc (C), x0 là số nguyên dơng Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại M là
y = (3x0 - 6x0)x - 2x0 + 3x0 + 4 Goi tiếp tuyến này là (t) 0.25 Hoành độ giao điểm của (C) và (t) là nghiệm PT:
x3 - 3x2 - (3x0 - 6x0)x + 2x0 - 3x0 = 0 ⇔ (x - x0)2(x + 2x0 - 3) = 0 ⇔ x = x0 hoặc x = -2x0 + 3 0.25 M(x0; x0 - 3x0 + 4); N(-2x0 + 3; -8x0 + 24x0 - 18x0 + 4) MN2 = 9x0 - 18x0 + 9 + 81x0(x0 - 1)2(x0 - 2)2 0.25
MN2 = 9 ⇔ 9x0 - 18x0 + 81x0 (x0 - 1)2(x0 - 2)2 = 0 ⇔ 9x0(x0 - 2)(1 + 9x0(x0 - 1)2(x0 - 2)) = 0 Vì x0 là số nguyên dơng nên x0 = 2 Vậy M(2; 0)
(Lu ý: Nếu thí sinh nhìn trên đồ thị, nhận thấy có trục hoành là một tiếp tuyến thoả mãn BT, do đó có 0.25
4
+∞
Trang 3Tổ Toán-Tin, Trờng THPT Phan Đăng Lu, Nghệ An
ĐK x ≠ 1; y ≠ -1 Quy đồng đa về hệ 1
x y xy x
+ + = +
+ − = −
2
2 1
x y
=
=
TXĐ: Ă ; Trên đó PT đó cho tương đương với PT 6cosx+cos2 x= +8 3si n 2x−9sinx+sin x2 (1) 0.25
2
6cos (1 sinx) 2 2sin 9sin 9 0
(1 sin )(6cos 2sin 7) 0
0.25
2
x= ⇔ = +x π k π k∈
PT 6cosx + 2sinx - 7 = 0 vô nghiệm vì 62 + 22 < 72 Vậy nghiệm của PT đã cho là
2
x = + π π k k ∈
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x2 - x - x - 3 = 0 ⇔ 3
3
x x
= −
=
3
2
3
3
−
= (3x - x3/3) 0
3
− + (-x3/3 + x2 + 3x) 3
xy3 625z4 +4 + zx5 81y4 +4+15yz x4 +4 ≥45 5xyz
⇔ 2 42
x
9
4 9
y
2
2
25
4 25
z
z + ≥ 45 (chia hai vế cho biểu thức dơng 15xyz) (*) 0.25
2
2
2 3
(Vì với các điểm (0;0), ( ; ), (2 3 ;2 2 ), ( 3 5 ;2 2 2)
OA + AB + BC ≥ OC )
0.25
3 3 5
t = x y z , vì x, y, z là các số dơng: x + 3y + 5z ≤ 3 nên 0< ≤t 1 0.25
Trang 4Suy ra ( ) ( )
2 3
2 3
36
3 5
x y z
x y z
+ = + − ≥ − = , đẳng thức xẫy ra khi t = 1
Vậy (*) đợc chứng minh, đẳng thức xẫy ra khi x = 3y = 5z = 1
0.25
2 3
AE = AB = , do đó d M BDA d A BDA( ,(( ,( '))'))= ME AE = 23 0.25
AF ⊥BD AH ⊥ A F Khi đó d(A, (BDA')) = AH. 0.25 Tam giác ABD có AB = a, AD = b, góc BAD bằng 600 nên
2 2
2
ABD
AF
Trong tam giác vuông A'AF (vuông tại A), ta có
abc AH
AH = A A + AF ⇒ = a b a c b c abc
Vậy
( ,( '))
abc
d M BDA
a b a c b c abc
=
0.25
Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(4; 1; -5) và cú vộc tơ chỉ phương ur=(3; 1; 2)− −
Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(2; -3; 0) và cú vộc tơ chỉ phương ' (1;3;1)ur = 0.25
0.25
5 6
5 ( 5) 10 , '
u u M M
d d d
u u
r ur uuuuuur
Giả sử S(I, R) là một mặt cầu bất kỳ tiếp xỳc với hai đương thẳng d1, d2 tơng ứng tại hai điểm A và B khi
đú ta luụn cú IA⊥d1, IB⊥d2 và IA + IB ≥ AB Suy ra 2R ≥ AB, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I là
trung điểm AB và AB là đoạn vuụng gúc chung của hai đường thẳng d1, d2
0.25
A∈d1, B∈d2 nờn A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’); . 0
uuur r uuur r uuur ur uuur ur Giải hệ này tìm đợc A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)⇒I(2; 1; -1)
0.5 Mặt cầu (S) cú tõm I(2; 1; -1) và bỏn kớnh R= 6 nờn cú phương trỡnh là: ( )2 2 2
x− + y− + +z = 0.25
Hàm số f(x) = log4(x− +3) log5(x+6) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) và f(19) = 4 Do đó phơng trình
= + = + Với n = 19 ỏp dụng cụng thức Moavrơ ta có:
w19 ( 2)19 os19 i sin19 ( 2)19 os3 i sin3
D A
A'
M E
F
D' H
Trang 5Tổ Toán-Tin, Trờng THPT Phan Đăng Lu, Nghệ An
Ta có uuurAB( 4;0; 4)− ; mặt phẳng (P) cú vộc tơ phỏp tuyến là (2; 1; 2)nr − Suy ra
AB n= − + + = A∉ P ⇒ AB P
Vì đờng thẳng (d) vuông góc với AB và song song với (P) nên véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng (d) là
, (4;16; 4)
ur=uuur rAB n= Vậy phơng trình đờng thẳng (d) là
4 4
y t
z t
= +
=
=
0.5
Giả sử C(x; y; z) Điểm C thuộc mp(P) và tam giác ABC là tam giác đều nên
2x y 2z 4 0
AC AB
BC AB
− + − =
=
=
0.25
x y z
− + − =
− + + =
0.25
x z
x y z
=
⇔ − + − =
+ + − − =
Giải hệ này đợc x= 0, x = 20/9 Vậy C(0; -4; 0); C(20/9; 44/9; 20/9) 0.5
ĐK xác định: x2 -2x + 6 > 0 ⇔ ∈x Ă Đặt t = ( 2 )
3
log x −2x+6 PT trở thành 3t + =4t 5t 0.5
Giải đợc x = -1; x = 3 Vậy nghiệm của PT đã cho là x = -1, x = 3 0.25