Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGI-LÝ THUYẾT: 1.. Phương trình tổng quát: Đường thẳng d trong Oxyz được xem là giao tuyến của 2 mặt phẳng P, Q... II- LUYỆN TẬP: Dạng 1: Xác định vec
Trang 1Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I-LÝ THUYẾT:
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
( 1; ;2 3)
a a a a là 1 vectơ chỉ phương của đt 0
//
a d
ì ¹
Û í º î
2 Phương trình tham số:
Đường thẳng d đi qua M x y z và có 1 vectơ chỉ phương 0( ; ; )0 0 0 a a a a( 1; ;2 3)
0 1
0 2
0 3 : ( )
= + ì
ï = + Î í
ï = + î
(1)
3 Phương trình chính tắc:
Đường thẳng d đi qua M x y z0( 0; ;0 0) và có 1 vectơ chỉ phương a a a a( 1; ;2 3)
: d x x y y z z
- = - =
(2) ( a a a1 2 3 ¹0 )
* Giới thiệu thêm:
4 Phương trình tổng quát:
Đường thẳng d trong Oxyz được xem là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P), (Q)
( ) :P a x b y c z d+ + + =0; ( ) :Q a x b y c z d+ + + =0
0
0
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + + = ì
= Ç Û í
+ + + =
Chú ý: Xác đ ịnh xác định vectơ chỉ phương của d như sau:
+ Gọi a là 1 vtcp của d
+ Mp (P) có 1 vtp n P
Mp (Q) có 1 vtp n Q
+ Ta có: ìï ^ Þ chän =é , ù
ïî
Q
5 Thuật toán:
LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thuật toán 1:
Bước 1: Xác định M x y z0( 0; ;0 0)Îd Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương a a a a( 1; ;2 3) của d Bước 3: Áp dụng công thức (1) hoặc (2)
0 1
0 2
0 3 : ( )
= + ì
ï = + Î í
ï = + î
: d x x y y z z
- = - =
-Thuật toán 2: Dựa vào phương trình tổng quát, xác định hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao
tuyến là đường thẳng d cần tìm (Theo yêu cầu bài toán)
d a'
a
M0 a
P
P
Trang 2II- LUYỆN TẬP:
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương và chuyển đổi các phương trình đường thẳng
Phương pháp:
* Vectơ chỉ phương: 0
//
a
ì ¹ í º î
- Phương trình của đt dạng (1), (2) thì đường thẳng có 1 vtcp a a a a( 1; ;2 3)
- Đối với phương trình dạng (3), thuật toán xác định vtcp đã có ở trên
* Chuyển đổi giữa các loại phương trình:
1 Từ tham số sang chính tắc và ngược lại:
0 1
0 2
0 3
= + ì
-ï = + Û = = = í
ï = + î
2 Từ tham số sang tổng quát:
0
0 1
1
0 2
0 3
(4) : (5)
(6)
x x
a
-ì = + Û = ï
ïï = + í
ï = + ï
ïî
Thay t từ (4) vào phương trình (5), (6)
3 Từ tổng quát sang tham số:
Bước 1: Chọn 1 điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 Îd
( VD: Từ phương trình (1) cho z=0 và giải ra x y , )
Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương của d
BÀI TẬP:
1) Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng cho bởi phương trình sau:
1
a) : 2 3 ( ) b) : c) :
3 4
x
z
x z
=
ì
ï
+ + + = + + + =
ï = +
î
- + + =
- + =
î
2) Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau:
a) : b) :
d
í - + + = í- - + + =
3) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng:
1 a) : 2 3 ( ) b) : 3 c) : 1 2 ( )
4) Cho đường thẳng : 1 2
2
y
d x- = = -z và điểm (1;0;1)A Tìm trên d :
a) Điểm M sao cho AM =2
Trang 3b) Điểm B, C sao cho tam giác ABC đều
c) Điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
d) Điểm M sao cho M cách đều A và mp ( ) : 3a x-4y+ =1 0
5) Cho đường thẳng
1 : 2 3
2
= + ì ï
D í =
-ï = î
và điểm (1;2;3)A Xác định toạ độ:
a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng D
b) Điểm A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng / D
6) Cho hai mặt phẳng ( ) : a x+3ky z- + =2 0 và ( ) : b kx y- +2z+ =1 0 Tìm k để giao
tuyến của ( ), ( )a b :
a) Vuông góc với mặt phẳng ( )P : x y- -2z+ =5 0
b) Song song với mặt phẳng ( )P : x y- -2z+ =5 0
1) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a Qua A(2;0; 1- ) và có 1 vectơ chỉ phương ( 1;3;5)u -
b Qua A(2;3; 1- ) và B(1;2;4)
c Các đường thẳng qua điểm M x y z0( 0; ;0 0) ( x y z0 .0 0 ¹0) và song song với mỗi trục toạ độ
2) Viết phương trình đường thẳng d :
a) Qua A(4;3;1) và song song với đt
1 2
3 2
= + ì ï
D í = - Î
ï = + î
b) Qua A(1;2; 1- ) và song song với đt: : 1
D = =
3) Viết phương trình đường thẳng d qua M(-2;1;0) và:
a) Vuông góc với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz)
b) Vuông góc với mp ( ) : a x+2y-2z+ =1 0
4) Viết phương trình đường thẳng d đi qua (2; 1;1) A - và vuông góc với hai đường thẳng:
1: 1 ( ) 2: 1 2 ( )
D í = - - Î D í = - Î
5) Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua A(3; 2;1- ) và vuông góc với : 1
y
D = - =
-
6) Cho hai mặt phẳng ( ) : a x+2y z- + =1 0 và ( ) : b x y+ +2z+ =3 0 Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( ), ( )a b cắt nhau và viết phương trình tham số của giao tuyến giữa hai mặt phẳng đó
7) Cho 3 điểm A(1; 2;5 , - ) (B 3; 1;4 , - ) (C 4;1; 3- ) Viết phương trình:
a) Cạnh BC b) Đường trung tuyến AM
c) Đường cao AH của tam giác ABC d) Đường trung trực của cạnh BC
e) Đường phân giác giác trong của góc A
Trang 48*) Viết cỏc phương trỡnh hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng : 1 2 3
= = - lờn mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và ( ) :a x y z+ + - =7 0
9*) Cho mặt phẳng(a): 2x y- +3z- =4 0 và đường thẳng : 1 3
z
+ +
D = = a) Xỏc định giao điểm A của đt D và mp( )a
b) Viết phương trỡnh đường thẳng d qua A nằm trong mp ( )a và vuụng gúc với D
10*) (Khối A_2008) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxy ,cho điểm A(2;5;3) và đường
:
-a) Tỡm toạ độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn đường thẳng d
b) Viết phương trỡnh mp(a) chứa d sao cho khoảng cỏch từ A đến (a ) lớn nhất
11*) (Khối B_2007) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm, A(1;4;2 ,) và ( 1;2;4)
B - đường thẳng : 1 2
a) Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua tõm G của tam giỏc OAB và vuụng gúc Với mặt phẳng (OAB)
b) Tỡm toạ độ M thuộc đường thẳng D sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất
12*) (Khối B_2006) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng:
1
: 1 2 :
2
= + ỡ
- +
-ù = + ợ
a)) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2
b) Tỡm toạ dộ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N
thẳng hàng
13*) (Khối B_2006) Trong khụng gian Oxyz cho điểm A(- -4; 2 4 và: d:; )
= - + ỡ
ù = -ớ
ù = - + ợ
3 2 1
1 4 Viết phương trỡnh đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuụng gúc với dường thẳng d
14*) (Dự bị Khối B_2006) Trong không gian Oxyz cho A(4 2 2 ; ; ,) (B 0 0 7 và đường ; ; )
:
.Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một
mặt phẳng Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A
15*) (Khối A_2002) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng :
: x y z
d
- + - = ỡ
ớ + - + = ợ
1
= + ỡ
ù = + ớ
ù = + ợ
2
1 2
1 2 a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 b) Cho điểm A 2 1 4 Tỡm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng d( ; ; ) 2 sao cho đoạn thẳng MH cú
độ dài nhỏ nhất