BD HSG phân tích đa thức thành nhân tử

Lí thuyết:a Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức... + Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc ch

Trang 1

- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động

B/Chuẩn bị của thầy và trò

B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3  B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2)

C = 16x2(x - y) -10y(y - x)  C = (x - y)(16x2 + 10y)

D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) => D = 2x2(ax + 2by + ax - by)

Trang 2

1 Lí thuyết:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.

a  b  c  d  2ab 2ac 2ad    2bc 2bd   2cd  (a  b c   d )

10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn)

0 1

Trang 3

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

P =(a2+ 4)2- 16a2 =(a2+ 4)2- (4a)2 = [(a2 + 4) - 4a][(a2 + 4) + 4a] = (a - 2)2(a + 2)2

- Giải tiếp các bài tập sau:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân

tử chung

a) a 5  b 5

b) x(y + z) + 3(y + z)

c) m(n - p) - n + p

Trang 4

d) a(b - a)(a + b) - (a + b)(a2 - ab + b2)

 Kĩ năng

- Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

- Nâng cao khả năng t duy, quan sát, tìm hớng giải, trình bày

 Thái độ

- GV:

- HS:

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

- HS1: Giải bài tập 1a đã cho tiết trớc

III Bài mới

Trang 5

*) Các tr ờng hợp :

a, Trờng hợp đa thức dạng ax 2 + bx + c ( a, b, c  Z; a, b, c  0))

Tính :  = b 2 - 4ac:

- Nếu  = b 2 - 4ac < 0): Đa thức không phân tích đợc.

- Nếu  = b 2 - 4ac = 0): Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất

- Nếu  = b 2 - 4ac > 0)

+)  = b 2 - 4ac = k 2 ( k  Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q.

+)  = b 2 - 4ac  k 2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R.

b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:

- Nhẩm nghiệm của đa thức:

+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0)  đa thức có nghiệm bằng 1.

+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ  đa thức có nghiệm bằng - 1.

- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải

là ớc của hạng tử tự do Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p

q thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất".

- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức.

Trang 6

Hoặc C = x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2)

= (x - 2)( x - 4)

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2

P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)

= (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1]

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1)

*) Ch ú ý : Các đa thức dạng: x3m+2 + x3m+1 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 7

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tách một

 Kĩ năng

 Thái độ

Trang 8

- GV:

- HS:

I Tổ chức – sĩ số

- HS1: Giải bài tập 1 đã cho tiết trớc

Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4

Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4

- Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới

để đa thức trở thành đơn giản Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2

- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn

Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9

Suy ra f(t) = t2 -16 - 9 = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5)

Trang 10

x  4x 3  => B = ( x3)( x 1)( x 2 x 3)c) Đặt c = 2

x  x  4 => C = ( x2) ( x2 2 6x4)

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử

A = 2( x2  6x 1) 2 5( x2  6x 1)( x 2 1) 2( x 2 1)2Hớng dẫn:

- Giải tiếp các bài tập sau

Bài 13: Giải các phơng trình sau

Hớng dẫn: áp dụng kết quả bài tập 15 để phân tích

Kết quả: a) A = 3(a  b)( b c )( c a )   ; b) B = 3(a  b 2c )( b    c 2a )( c  a  2b)

D/Bổ sung

*******************************

Trang 11

 Kĩ năng

 Thái độ

- GV:

- HS:

I Tổ chức

- HS2: Giải bài tập 13b đã cho tiết trớc

B = (ax + b )(cx2 + dx + m)

B = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm (2)

Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau:

2 5 8 3 Lấy 3

d c b

Trang 12

5 3

10 12

bd

b d

a c

d c b

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6x3 +12x2 -14x + 3

Trang 13

- Vậy phơng trình đãn thì ta xét cho có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = - 2

2 Giải bất phơng trình bậc cao:

Bài 1: Giải bất phơng trình: x2 + 5x + 6 > 0

- Vậy nghiệm của bất phơng trình là x < - 3 hoặc x > - 2

Bài 2: Giải bất phơng trình: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 < 0

Ta có : x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = x4 - 5x3 + 6x2 + x2 - 5x + 6

= x2(x2 - 5x + 6) + (x2 - 5x + 6)

= (x2 - 5x + 6)(x2 + 1)

Phân tích đa thức x2 - 5x + 6 thành nhân tử ta đợc :

Trang 14

Bài 1: Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa

thức bậc ba với hệ số nguyên, sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1

Bài 3: Phân tích đa thức C thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số

nguyên và các hệ số cao nhất đều mang dấu dơng: C = 4 3 2

Trang 15

 Kĩ năng

- Tiếp tục rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

 Thái độ

- GV:

- HS:

I Tổ chức

các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử (tiếp)

3 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:

Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)3- (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c)

Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích thành nhân tử :

Vậy: (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c)

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3 = 3abc

Vậy : a3 + b3 + c3 = 3abc với a + b + c = 0

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :

Trang 16

= [(b2 - 2bc + c2) - a2][(b2 + 2bc + c2) - a2]

= [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2

= (b – c - a)(b – c + a)(b + c - a)(b + c + a)

Vậy A = ( b – c - a)(b – c + a)(b + c - a) (b + c + a)

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

Do x  Z nên (x2 - 7x + 9)  Z => (x2 - 7x + 9)2 là bình phơng của một sốnguyên Vậy P là số chính phơng x  Z

Bài 2: Chứng minh rằng với x , y nguyên thì biểu thức:

M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phơng.

Gi ả i:

M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4

= [(x2 + 5xy + 5y2) - y2][(x2 + 5xy + 5y2) + y2] + y4

= (x2 + 5xy + 5y2)2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2

Do x, y  Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z Suy ra M = (x2 + 5xy + 5y2)2 là số chính phơng

5 Chứng minh tính chia hết

Bài 1: Chứng minh A = n3 - n chia hết cho 3 ,  n  Z

Gi ả i:

Ta có n3 - n = n(n2 - 1) = n(n -1)(n + 1) do n  Z nên A là tích của 3 sốnguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3

Bài 2: Chứng minh M = m3(m2 - 7)2 - 36m chia hết cho 50)40) với  m là số

Trang 17

Gi ả i: P = ( 4x+ 3)2 - 25 = ( 4x+ 3)2 – 52 = ( 4x + 3 - 5)( 4x + 3 + 5)

= ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2)Vì x  Z  ( 2x - 1)( x + 2)  Z

6 Rút gọn, Tính giá trị biểu thức

a) Lí thuyết

Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu gọn biểu thức.

Ta phải tiến hành phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử sau đó rút gọn các nhân tử chung.

5 5

Bài 1: Giả sử a, b, c  Z ; Chứng minh rằng:

[(a- c)2 + (b - d)2](a2 + b2) - (ad - bc)2 là số chính phơng

Bài 2: Chứng minh rằng đa thức :

Trang 18

z2 + y(2x - y) - x2 chia hết cho đa thức : x – y + z

Bài 3: Chứng minh rằng đa thức : (a2 + 3a + 1)2-1 chia hết cho 24 với a Z

- GV:

- HS:

I Tổ chức

các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử (tiếp)

7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Trang 19

Ta có x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1).

x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4).Khi đó N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003

= (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003

= (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003

Đặt x2 + 5x + 5 = t Ta có N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t2 - 1 + 2003 = t2+2002 Vậy do t2 0 với t  N  2002

Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 <=> t = 0

<=> x2 + 5x + 5 = 0 <=> x 5 5 hoặc x = 5 5



8 Giải phơng trình nghiệm nguyên

Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x , y) thoả mãn thì ta xétn : x + y = xy

á ch l à m : Ta tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức f(x)

đã cho Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp theo ta tìm giá trị cuả biến để phân thức ấy có giá trị nguyên Muốn vậy tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay mẫu thức phải là ớc của tử thức Từ đó tìm ra các giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, cụ thể:

5 5

x

x P

Vậy P nguyên <=> x + 7 là ớc của 5

1 7

5 7

x x x

x x x x

Trang 20

Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị x  { -12; - 8, -6, -2} thì P

b) Do a  Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chiahết cho 2 Suy ra A chia hết cho 2  A = 2k (k  Z) Vậy A là số chẵn với

à i 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt đặt AB = c; AC = b;

BC = a Chứng minh rằng nếu phơng trình ẩn x sau:

b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = 0 có nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳnghàng

Trang 21

 xyz  2 => 3xyz  6 (2)

Từ (1) và (2)=> Q = P - 3xyz chia hết cho 6

B à i 5: Chứng minh rằng : (n5 - 5n3 + 4n) chia hết cho 120 ,  n  Z

H ớ ng d ẫ n:

Ta có:

n5 - 5n3 + 4n = n(n4 - 5n2 + 4) = n[(n4 - 4n2) - (n2 - 4)] = n[n2(n2 - 4) - (n2 - 4)] = n(n2 - 4)(n2 - 1) = n(n -1)(n - 2)(n + 1)(n + 2)

Do n  Z  n(n- 1)(n - 2)(n + 1)(n + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếpnên chia hết cho 1 2.3.4.5 = 120

Vậy: n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120

- Xem lại các dạng bài tập đã chữa

http://quanghieu030778.violet.vn/

Chủ đề của website này đó là : Kho phần mềm, ơm mầm tơng lai,

l-u giữ kỉ niệm, yêl-u thơng, giao ll-u, học hỏi, chia sẻ kinh nghiệm Kết nối toàn cầu để tìm tòi khám phá, hiểu biết là sức mạnh.

Khi truy cập vào website này các bạn có thể liên kết với tất cả các trang website của Việt Nam và thế giới Ưu việt của website này đó là dễ

Trang 22

truy cập, tiếp cận nhanh, cập nhật thông tin, mọi ngời ai cũng có thể sử dụng Các bạn đợc liên hệ với những thầy cô giỏi nhất trên toàn quốc, đ-

ợc sự hớng dẫn tận tình, chu đáo, miễn phí của thầy giáo Quang Hiệu, mỗi lúc bạn gặp khó khăn khi truy cập internet và sử dụng các phần mềm ứng dụng cần thiết Đây là một th viện phần mềm + key, giáo trình tin học, , là một kho t liệu, bài giảng điện tử, giáo án vi tính, đề thi , các chuyên đề và sáng kiến kinh nghiệm của tất cả các môn phục vụ cho việc giảng dạy của các thầy cô và học tập của các em học sinh Và cũng

là một thế giới giải trí nh nghe nhạc, xem phim, tìm hiểu về nhà ngoại cảm "Phan Thị Bích Hằng" cùng với sự khẳng định có thế giới ngời âm (thế giới có ma) của rất nhiều giáo s, tiến sĩ đầu ngành của Việt Nam và thế giới (đặc biệt là giáo s Trần Phơng - nguyên phó thủ tớng chính phủ) Thởng thức video biểu diễn ảnh nghệ thuật, ảnh kĩ thuật số, ảnh động đ-

ợc chính Quang Hiệu thực hiện với sự kết hợp của rất nhiều phần mềm tin học, đó là sự hội tụ với tất cả những công nghệ tin học vô cùng hiện

đại.

Quang Hiệu đã xây dựng trang website với giao diện đẹp, khoa học, vận dụng triệt để những công nghệ tin học để trình duyệt, chắc chắn

sẽ đem lại cho quý vị những giây phút thoải mái nhất, những kiến thức

bổ ích và cập nhật nhất, những t liệu hiếm có khó tìm ở các trang website khác Các bạn không cần phải bỏ tiền để mua phần mềm tin học và giáo trình tin học mà chỉ cần truy cập vào website của Quang Hiệu là có tất cả, những thứ bạn cần nhất sẽ đợc đáp ứng ngay, chỉ cần liên hệ với Quang Hiệu theo Email: quanghieu030778@googlemail.com

Hiện nay đã có rất nhiều đồng nghiệp trên toàn quốc và các em học sinh đã truy cập - download tại địa chỉ website này, đã có hàng trăm thầy cô của các tỉnh trong cả nớc là thành viên của Quang Hiệu (bao gồm những thầy cô có tâm huyết, có trình độ tin học bậc nhất), mỗi ngày có tới hàng trăm lợt ngời truy cập và đã liên tục đợc tỉnh Hải Dơng đánh giá

là một trong những website cá nhân tiêu biểu nhất toàn tỉnh Nguyện vọng của tôi là muốn xây dựng trang website mang tầm cỡ quốc gia, đợc mọi ngời trên toàn quốc biết đến và sử dụng nó, mang lại niềm vinh dự cho quê hơng Hải Dơng chúng tôi.

Vậy Quang Hiệu xin chân thành cảm ơn đến tất cả các quý thầy cô

và các em học sinh trên toàn quốc đã truy cập và coi nó nh một ngời bạn thân thiết.

Giới thiệu CD the best of Quang Hiệu

Quang Hiệu cú lời kớnh chào đến quý vị và cỏc bạn đó truy cập website của Quang Hiệu : http://quanghieu030778.violet.vn

Trang 23

Xin mời các bạn đến thăm quê hương Hải Dương chúng tôi, một quê hương giàu đẹp văn minh, là một trong các tỉnh có nền kinh tế mạnh nhất cả nước, cuộc sống nơi đây với những con người đầy chất hiện đại nhưng cũng rất giản dị, mến khách.

Các bạn thân mến “quê hương” thì ai cũng có dù là già hay trẻ, dù bạn là ai và thuộc tầng lớp nào trong xã hội

đi nữa thì hai chữ “quê hương” luôn ngự trị trong chúng

ta, nó có thể là nơi chôn nhau cắt rốn, có thể ko là nơi bạn sinh ra nhưng là cái nôi nuôi bạn khôn lớn, có những người sinh ra và lớn lên ở mảnh đất giàu tình thương Việt Nam của chúng ta nhưng vì hoàn cảnh đưa đẩy chiến tranh, di cư, vì cuộc sống mưu sinh nên đành từ giả chốn quê nhà sang đất khách để sinh sống và làm lại sự nghiệp, trải qua thời gian dài nơi đất khách quê người rồi

họ cũng dần già đi cái lối sống nơi ấy, họ sẽ có nhiều kỷ niệm tại đó và họ cho rằng nơi ấy cũng là quê hương thứ hai của họ Vậy quê hương được định nghĩa như thế nào? Nhà thơ Đỗ Trung Quân….đã viết:

Quê hương là chùm khế ngọt Cho con trèo hái mỗi ngày, Quê hương là đường đi học,

“…… ’’

Trang 24

Quê hương nếu ai không nhớ,

Sẽ không lớn nổi thành người.

Thật vậy như lời thơ đã viết quê hương gắn liền với những

kỷ niệm, những con đường đi học, lũy tre làng, con diều biếc, đồng ruộng, chùm khế ngọt…tất cả đều là những thứ dân giả, rất ư là bình dân trong cuộc sống chân chất của người dân quê

Để tỏ lòng cảm ơn, sự trân trọng đến quý vị và các bạn đã truy cập website của Quang Hiệu, sau đây Quang Hiệu và cô giáo Thanh Thủy, nguyên là giáo viên chuyên toán trường THCS Kim Đồng tỉnh cao Bằng sẽ gửi tới quý

vị và các bạn bài hát , trong website of Quang Hiệu, xin mời quý vị hãy một lần thưởng thức giọng hát của tôi Tuy hát không hay nhưng đó là sự đam mê ca hát

Xin trân trọng cám ơn !

Tiêu đề	Phân tích đa thức thành nhân tử
Người hướng dẫn	Phạm Văn Hiệu
Chuyên ngành	Toán - đại số
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2010-2011

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	1,32 MB