MỘT số BÀI tập ôn THI cđ đh HSG môn TOÁN

Tìm giới hạn đó... Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 2.. Gọi M là điểm bất kỳ trên đường tròn đó.. Tìm giới hạn đó... C nằm trên trục Oy,

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN THI CĐ ĐH HSG MÔN TOÁN

Đề 1

Câu 1:

a) Giải phương trình: x  10  10  x ,với x R

b) Giải hệ phương trình:

2 2







,với x y R, 

Câu 2:

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A  ( 3; 1), đường phân giác trong góc A có phương trình x y  2 0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2 ; 1) và diện tích tam giác ABC gấp hai lần diện tích tam giác IBC.Viết phương trình cạnh BC

b) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, biết các góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức:

1

2

A C  B Chứng minh rằng: AG CG

Câu 3:

Cho dãy số(un) xác định như sau :

1

3 1

3 2

,

u













a) Chứng minh rằng : 1 un 2, n 

b) Chứng minh rằng  u n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

Câu 4:

Cho các số thực: a0,b0,c0,d 0 Chứng minh rằng:

a)

3 3 3 3

2 2 2 2

b  c  d  a    

b)

Câu 5:

Cho hàm số 3 1

1

x y x





 có đồ thị (C) Gọi M là điểm thuộc ( C) sao cho tiếp tuyến của ( C) tại

M tạo với đường thẳng ( d) : y  x  2 một góc  với cos 1

10



 Tìm tọa độ M

Đề 2

Câu 1:

a) Giải phương trình: x2  6 x   1  2 x  1  x2 2 x  3 ,với x R

b) Giải hệ phương trình:

3 2 2 5 2







,với x y R, 

Câu 2:

a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, các cạnh AB và BC lần lượt

nằm trên các đường thẳng ( ) : d1 x  2 y   1 0 và ( ) :d2 x y 0 Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 2

b) Cho tam giác đều ABC, gọi D là điểm đối xứng của điểm C qua AB, vẽ đường tròn tâm D

qua A và B Gọi M là điểm bất kỳ trên đường tròn đó

Chứng minh rằng: MA2MB2 MC2

Câu 3:

Cho số thực a 0;1 , xét dãy số  u n với :

1

2 1

,

2014 2014















a) Chứng minh rằng :0 u n 1, n 

    

b) Chứng minh rằng   un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

Câu 4:

Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: 1 1 1 1

2a 2b2c 

Chứng minh rằng: abc 1

Câu 5:

4

Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực

Đáp án đề 1

1

Đk: x 0 Đặt u 10  x u,  10

Ta có: 10

10

  







x u   x u 0  x u  x u10

1 0( )

x u





 

  



2

10

2

21 100 0

x





Vậy phương trình có một nghiệm: 21 41

2

 1  x2y x  2 xy y 2 0

 

 

2

2 3







Thế (3) vào (2) ta được :5 2 4 1 0 1 1

5

y  y   y  y

0

x y





 



 không thoả phương trình ( 2 )

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : 2;1 ,  2 ; 1

2 Gọi M là giao điểm của phân giác trong góc A và đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

(M khác A) H là hình chiếu của I trên AM

IH AM  IH x y  

Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình 2 0 1 5;

x y

H

x y





H là trung điểm AM nên tọa độ điểm M là M(4 ; 6)IM  (2;5)

BCIM nên BC có phương trình BC: 2x 5y m  0

S  S  d A BC  d I BC

29

3

m

m







 



Vậy có 2 đường thẳng BC cần tìm là 2 5 29 0;2 5 7 0

3

x y  x y 

Ta có: cot 2 2 2

4

A

s

 

4

B

s

 

4

C

s

 



1

2 2 2

1

C

I

M

H

C B

A

G B

A1 C1

Suy ra

AG CG    b b AB

Suy ra AGCG

Câu 3

3

2

n u   đúng với n=1 Giả sử :  1 u k 2 với  k 1,k 

 3 

1

3

  1 u k12 Vậy : 1 u n 2, n 

     

1

1

3



1 ,



     hay   un là dãy giảm (2)

Từ (1) ,(2) suy ra  u có giới hạn hữu hạn n

Gọi alà giới hạn của  u n ,  1 a 2

Ta có 1 3 2

1

a a   a Vậy limu  n 1

Câu 4

Suy ra: a3 b3 c3 d3 a2 b2 c2 d2 (a2 b2 c2 d2 ) (ab bc cd da)

Mà a2 b2 c2 d2 ab bc cd da   nên bài toán được CM

Do kết quả câu a): a3 b3 c3 d3 2 2 2 2

b  c d  a     Suy ra kết quả cần CM

Câu 5

2 1

y

x

 



Gọi klà hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M

 tiếp tuyến có vtcp u    1; k 

Đường thẳng d có vtcp v   1; 1

.

cos

u v

u v

 

 



10

k k





2

2

2

k

k







 

 Hoành độ của điểm M là nghiệm của phương trình :

2

2 1

x  hoặc  2

2 1

       

Vậy có 4 điểm thoả mãn yêu cầu đề bài là :

1 0;1 , 2 2;5 , 3 1; 2 , 4 3;4

Đáp án đề 2

1

(5,0điểm)  1  x2 2x 3 2x1 x22x 3 4x 2 0

 x22x 3 2x1  x22x 3 2 0

2

2

2 3 2 1

2 3 2

    





   



2

2

1

3 15

3

3 6 2 0

x





   



1 2

x

x

  

        

 



Điều kiện 6; 3

2

x y

(2)  2(6  x) 3 6   x 2(2y 3) 3 2  y 3

Xét hàm số f t( ) (2  t2  3)t f t'( ) 6  t2   3 0  t R

 f(t) đồng biến trên R

Từ (2) Ta có f( 6  x) f( 2y 3)  2y  3 x

Ta có hệ phương trình :

1( 2)

5

2



 





Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1); 1,2 ;  2,5

2

(5,0điểm) Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình

(1;1)

B

2

R

GọiA a(2  1; )a d1

1

a

a







H là hình chiếu của A trên BC thì H là trung điểm BC

Với a = 3 Ta có : A(5;3)  AH x y:   8 0  Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình

(4;4) (7;7)

Với a = -1 Ta có : A( 3; 1)    AH x y:    4 0Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình

( 2; 2) ( 5; 5)

Vậy A(5 ; 3) ; C(7 ; 7) hoặc A(3 ; -1) ; C(5 ; 5)

Xét hệ trục toạ độ với gốc toạ độ O là trung điểm AB, trục hoành là đường thẳng nối

A, B có chiều dương hướng từ A sang B C nằm trên trục Oy, chiều dương trục Oy hướng từ O đến C

Giả sử tam giác ABC có cạnh bằng 2a Khi đó ta có:

 ,0 ,  ,0 , 0, 3 , 0, 3 

Phương trình đường tròn tâm D và qua A,B là: (T ): x2 y 3a2 4a2

Giả sử M x y 0, 0( )T Ta có: 2  2 2

x  y  a  a 

Vậy ta có:

Câu 3

(4 điểm)

CM :0 u n 1, n  1

    

1

n u  a  đúng với n=1

Giả sử 0u k 1với  k 1,k 

2014 2014

0 1 0 2013 2013

2014 2014

2014u k 2014 u k

Vậy : 0 u n 1, n 

    

Ta chứng minh:  u n là dãy tăng

2 1

,



1

2013 0

2014 u n u n u n u n 

1 ,



     hay  u n là dãy tăng.(2)

Từ (1) ,(2) suy ra  u n có giới hạn hữu hạn.Giả sử  u n có giới hạn là a o a ,    1 

Ta có : 1 2 2013

1

a a  a  a Vậy limu  n 1

Câu 4

( 3

2a  2b 2c 2a  2b  2c

2

Tương tự ta có :

     

2

ac

     

2

ab

Từ (1),( 2),(3) suy ra :2 a 28b 2 c 82 a 2abc b 2 c

Đẳng thức xảy ra  a b c    1

Câu 5

(3 điểm)

Điều kiện:    3 x 7.Đặt t x 3 2 7 x với x   3,7

t

  

    ; y' 0  7 x 2 x 3 x1

( 3) 2 10, (7) 10, ( 1) 5 2

t   t  t   suy ra: t  10,5 2

t

t x   x   x x  x   nên phương trình trở thành:

2 19 2 19

t

Xét hàm số  

2 19 4

t

f t

t



 với t  10,5 2

 , ta có:

2 2

19

4

t

t



      đồng biến trên  10,5 2

Mặt khác f t( )liên tục trên  10,5 2

Phương trình có nghiệm thực   10 5 2 9 10 31 2

Vậy, phương trình có nghiệm thực khi 9 10 31 2

40 m 40