tuyển chọn các bài tập ôn thi học sinh giỏi cao đẳng đại học môn toán cực hay có giải

Gọi Mlà điểm chuyển động trên cạnh AB.. a Giả sử BM  CN.Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.. b Giả sử AM1 AN1 không đổi.Chứng minh MNluôn đi qua một điểm

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI

ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG MÔN TOÁN HAY Đề 1

N n n x x x

a) Chứng minh : xn  1 với  n  N *

b) Chứng minh dãy số  xn có giới hạn và tìm giới hạn đó

Câu 3

Cho tam giác ABC Gọi Mlà điểm chuyển động trên cạnh AB.

Gọi N là điểm chuyển động trên cạnh AC.

a) Giả sử BM  CN.Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định b) Giả sử AM1 AN1 không đổi.Chứng minh MNluôn đi qua một điểm cố định

Câu 4

Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a b  1999 c.

Câu 5

Trong mặt phẳng cho 6 điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng

Người ta tô mỗi đoạn thẳng tạo ra từ 6 điểm này bằng một trong hai màu đen hoặc trắng Chứng minh tồn tại một tam giác có các cạnh được tô cùng màu.

3

2

t t

Với t  3 ta có x 4

f trên 1 ;   ) ta thấy (***) có một nghiệm duy nhất y0

Ta biểu diễn y0 dưới dạng:y0 u0 v0

3 3

3 3

v u

v u

9

108 139 2

0

108

139 2

9 108

9 108

139 2

9 108

139 2

0 t t

1 2

t

5

cos

0 2

N n n x x 3 x

a) Chứng minh : xn  1 với  n  N *

b) Chứng minh dãy số  xn có giới hạn và tìm giới hạn đó

x 2

n   Suyra: xn1  1

4 k

k

2 1 k

Vậy  x n là dãy giảm

 x n lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.

Câu 3

Cho tam giác ABC.

Gọi Mlà điểm chuyển đông trên AB.Gọi N là điểm chuyển động trên AC.

a) Giả sử BM  CN.Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Giả sử AM1 AN1 không đổi.Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đinh

Giải

a) Nếu tam giác ABC cân thì trung trực MN đi qua điểm Acố định

Xét tam giác ABC không cân tại A

Gọi E là điểm chính giữa cung BACcủa đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC E là điểm cố định

vì EB  EC ; BM  CN ;góc EBM=góc ECNnên  EBM   ECN

Suy ra: EM  EN hay đường trung trực của MN luôn đi qua điểm E cố định

b) Kẻ đường phân giác trong của BAC cắt MN tại F

Gọi  là số đo góc BAC

Ta có : diện tích  AMN=diện tích AMF+diện tích  ANF

Suy ra:

2 sin AN AF 2

1 2 sin AF AM 2

1 sin AN AM

AN AM 2

sin

sin

AF

AF

 không đổi hay F là điểm cố định

Vậy MN luôn đi qua một điểm cố đinh

Câu 4 Tìm các số nguyên tố a , b , c sao cho a b  1999  c.

Giải

Vì a , b là các số nguyên tố nên a , b  2.suy ra c  2003

Vì c  2003 nên c là số lẻ Suy ra: a b là số chẵn

Chứng minh tồn tại một tam giác có các cạnh được tô cùng màu.

Nếu có ít nhất môt trong ba đọan thằng BC,CD,DB được tô màu đen.Không

mất tính tổng quát giả sử BC tô màu đen thì ABC là tam giác thỏa yêu cầu

đề bài

Nếu BC,CD,DB đều tô màu trắng thì BCD là tam giác thỏa yêu cầu đề bài

Vậy ta giải quyết được bài toán

1 12

u u

Cho đường tròn ( ; )O R có tâm là Ovà đường kính làAB, Elà điểm cố định nằm giữa A và O Gọi

D là đường thẳng qua E và cắt ( )O tại C và D

a) Tìm điểm M trên ( )O sao cho MC2 +MD2 =AB2

b) Gọi F đối xứngE qua O và giả sử D thay đổi nhưng luôn qua E

Chứng minh :CD2 +DF2 +FC2 luôn nhận giá trị không đổi

Bài 6

Cho dãy số  v n với

1

* 2

a)Tìm điểm M trên ( )O sao cho MC2 +MD2 =AB2.

b) Gọi F đối xứngE qua O và giả sử D thay đổi nhưng luôn qua E

Chứng minh :CD2 +DF2 +FC2 luôn nhận giá trị không đổi

Giải

E

F I

O A

MOOI

Û   = ( I là trung điểm CD)

Th1: OI Khi đó mọi M nằm trên ( ; )O R là điểm M cần tìm

Th2: OI.Khi đó MOOI =  0Û MO ^OI

Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng d với ( , )O R

với d là đường thẳng qua O và vuông góc OI

= + không đổi

Bài 4

Bên trong hình tròn bán kính là 1 người ta đặt 4025 điểm sao cho không có bađiểm nào thẳng hàng.Chứng minh luôn tìm được 3 điểm từ các điểm trên sao cho tam giác tạo thành có diện tích bé hơn

2012



GiảiChia đường tròn bằng 1006 đường kính ta sẽ được 2012 hình rẽ quạt bằng nhau

a) Lần lượt thay x 1,x 1, từ giả thuyết đề bài ta có điều phải chứng minh

b) Vì P x có nghiệm là 1 và    1nên theo Bezout ta có : P x( )=Q x x( ).( - 1).(x+1)

Giải

Xét dãy số  u với n

1

* 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R và có trọng tâm G Gọi A B C lần lượt1, ,1 1

là giao điểm của GA GB GC, , với đường tròn ( ; )O R

a)Chứng minh: GA2 +GB2 +GC2 =3(R2- OG2)

b)Chứng minh : GA1+GB1+GC1 ³ GA GB+ +GC

Giải

G A

a c a c

c b c b

b a

3 3 2 2

3 3 2 2

3 3

Bài 2

Cho dãy số thực  x n với

1 1

1

1

n n

n

x

x x

a) Chứng minh các dãy số  u n , v n có giới hạn hữu hạn khi n  

b) Chứng minh các dãy số  x n có giới hạn hữu hạn khi n  và tìm giới hạn đó

b) Trong mặt phẳng cho ngũ giác đều ABCDEnội tiếp đường tròn tâm O bán kính Rvà điểm M

b) Cho ba số thực dương a,b,c Chứng minh: a b c

b a

a c a c

c b c b

b a

3 3 2 2

3 3 2 2

3 3

Giải

Bài 1a

Phương trình đã cho có điều kiện 0 x 1

Với điều kiện trên ta có: x x x

x

x x

ca bc

bc c b

bc ab

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

a c

ca c

b

bc b

2 2

2

2 2

2

a c

ca c c b

bc b b a

3 2 2

3 2 2

b a

c a c

b c b

c c a

b c b

Công (1) và (2) vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Bài 2

Cho dãy số thực  x với n

1 1

1

1

n n

n

x

x x

a) Chứng minh các dãy số  u , n  v có giới hạn hữu hạn khi n n  

b) Chứng minh các dãy số  x có giới hạn hữu hạn khi n n  và tìm giới hạn đó

GiảiCâu 1a

Tương tự cho dãy  u n

Ta có x1 x3

Vì hàm số f x  nghịch biến trên 0; nên  f x 1  f x 3 hay x 2 x4

Giả sử x2k1x2k1 ta có f x 2k1  f x 2k1 hay x2k x2k2 ( với k  N *)

Với x2k x2k2Ta có : f x 2k f x 2k2 hay x2k 1 x2k 3

Với x2k 1 x2k 3 ta có : fx2k1 fx2k3 hay x2k2 x2k4

Vậy theo quy nạp ta có thì x2 n 1 là dãy tăng ,x 2n là dãy giảm

Hay ta có u n là dãy tăng ;  v là dãy giảm n

   u n , v là các dãy đơn điệu và bị chặn nên n limx2n v;limx2n1u

Dãy số  x có hai dãy con n x2n , x2n1 có cùng giới hạn là u v nên limx n u

Qua giới hạn và từ phương trình 3 4

1

u u u

G O

A

B

C H

E

Gọi E là điểm đối xứng của A qua O.Ta có :BHCE là hình bình hành

Gọi M là trung điểm BC.

Trong tam giác AMK ta có :GG song song 1 AK ; 1 1

Ta có x2012 chia cho 4 dư 0 hoặc 1;2009 y2012chia 4 dư 0 hoặc 1

Suy ra:x20122009y2012chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 2 (1)

Ta có:2011 2012z 2010 chia cho 4 dư 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại các số nguyên x y z, , thỏa phương trình trên

Bài 5

Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm được hai điểm để đoạn thẳng được tạo thành có độ dài bé hơn 1.Chứng minh luôn tồntại một hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho

Giải

C

Xét A tùy ý trong số 2011 điểm trên Vẽ hình tròn  C tâm 1 A ,bán kính 1

-Nếu tất cả các điểm còn lại đều nằm trong  C thì bài toán được chứng minh1

-Nếu tồn tại điểm B (BA) không thuộc  C thì 1 BA 1

Như vậy ta đã chứng minh được  C và 1 C chứa tất cả 2011 điểm đã cho 2

Vậy luôn tồn tại một hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho

12

u u

12

u u

Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của hình (H) là n(n – 4)

Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của hình (H) là n

Số tam giác có ba cạnh không là cạnh của đa giác đều (H) và có ba đỉnh trong n đỉnh

Vậy n = 10

Đề 5

Bài 1

a) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2 y2 z2 12

1:

u u

a) Chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số  u n

a)Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2 y2z2 12

a) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2 y2z2 12

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 2.

Vậy GTNN của biểu thức là P = 1

1:

u u

b)Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số  u n

a) Chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm

156

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ

xy

I



Gọi ba đa giác trong đề bài là S S S và kí hiệu 1, ,2 3 S i là diện tích của đa giácS i