Tuyển chọn các bài tập ôn thi cao đẳng, đại học, học sinh giỏi môn toán sẽ giúp bạn nâng cao rõ rệt kiến thức của bản thân, góp phần rất lớn vào kết quả học tập của các bạn
Trang 1TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP ÔN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC – HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Câu 1:
2sin x 3 sin 2x 1 3 cosx 3 sinx
Đáp án
1, 2
t x x t Khi đó phương trình trở thành:
4t t47t2 5t4 6t2 9 t2 4t4 0
t2 32 t 22 0 t2 t 1 t2 t 5 0
(*)
2
2
1 0
5 0
t t
t t
Với 3
2
t thì t2 t 1 0 có một nghiệm là 1 5
2
t
Với 3
2
t thì t2 t 5 0 có một nghiệm là 1 21
2
t
Khi 1 5
2
t thì
2
2
x x x x
2
x
2
x
2
t thì 2
2
x x x x
2
x
2
x Phương trình đã cho được viết lại:
3sin2x2 3 sin cosx xcos2 x3 3 sin xcosx
3 sinx cosx2 3 3 sinx cosx 0
3 sinx cosx 0
hoặc 3 sinxcosx3
6 3
x x x x k, k Z
3 sinxcosx phương trình vô nghiệm.3
Trang 2Câu 2:
a Cho tam giác ABC vuông cân tại B, cạnh AB 2 Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 MB2 MC2 Tìm quỹ tích của điểm M
b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng 600,
BM CN Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC
a. Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua A và tia By qua C.
Ta có: B0;0, A2;0 , C0; 2 Giả sử M x y ;
MA2 MB2 MC2
2 x2 y2 x2 y2 x2 2 y2
x2y2 4x4y 0
Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm I2; 2 , bán kính R 2 2
Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I2; 2 , bán kính R 2 2
b Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Xét trường hợp: BGC1200
Ta có: BC2 GB2 GC2 2GB GC .cos1200 76
2
4
AC
Vậy AC2 = 112
2
4
AB
Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
Xét trường hợp: BGC600
Ta có : BC2 GB2GC2 2GB GC .cos600 28
2
4
AC
Vậy AC2 = 208
2
4
AB
Vậy AB2 = 148 Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
Câu 3: Cho dãy số un xác định bởi u 1 1 và 2
u u với mọi n 1
a Xác định số hạng tổng quát của dãy số un
b Tính tổng S u 12 u22 u32 u20112
a Dễ thấy u n 0, n N*
1 3 2 1 3 2
u u u u
Trang 3Đặt v n u n2 thì có: v n13v n 2 v n1 1 3v n1
Đặt x n v n1 thì ta có:
1 3
x x Từ đây suy ra x là cấp số nhân với n x , công bội 1 2
là 3
2.3 2.3 2.3 2.3 2011
0 1 2 2010
2 3 2011 1
2011
3 1
32011 2012
Câu 4:
Cho a b c , , là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M a b c a b c abc
Chứng minh được: 2 2 2 2
a b c a b c Suy ra: a b c 3 và a b c 3 3a b c
3
8 3
a b c
M a b c abc
Vậy GTLN của M là 8 3
3 Giá trị này đạt được khi 1
3
a b c
Câu 5:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 3 2
2
3
số thực
Viết lại hệ: 2
2
2
Đặt u x 22 ,x v x y Dễ có: u 1
Hệ trở thành: u v. 2m 3
u v m
Trang 4Suy ra:
2
2
u
u
Xét hàm
2 3 2
u
f u
u
với u 1
2 /
2
2
u
Bảng biến thiên:
u 1
/
f u +
f u
2
Kết luận : m 2
Câu 6:
a) Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2
, với x y , là các số thực
b) Giải phương trình: x4 x2 1 3 x2 1 3 3 x , với x y , là các số thực
Câu 7:
a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: 2 x y 2 0 Đường cao kẻ từ B có phương trình: x y 1 0, điểm
1;1
M thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên một
đường thẳng
Chứng minh rằng: 2 2 2 2
Câu 8:
Cho dãy số(un) xác định như sau :
1
1
2
2 1
1 ( 2 1)
n n
n
u
u
u
a) Chứng minh: tan 2 1
b) Tính: u2015
Câu 9:
Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:
a) a2 b2 c2 a b c
1
a b b c c a
Câu 10:
Cho hệ phương trình
2
3 2
2
3
Trang 5
Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với với x y , là các số thực
Bài giải
Câu 6a
Giải hệ phương trình:
2
Điều kiện: x+y 0, x-y 0
Đặt: u x y
v x y
ĐK: u0,v0 ta có hệ:
2
3 (2) 2
u v uv
u v uv
uv
Thế (1) vào (2) ta có:
2
uv uv uv uv uv uv uv
Kết hợp (1) ta có: 0
4
uv
u v
4 0 0 4
u v u v
4
0
u v
(vì u>v).
Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk) Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).
2( 2 1) 1 3 2 1 3 3
Từ pt ta thấy x 0
2
x
Pt trở thành: t2 1 3 3 t
2
3
2
t
t
1
x
đường thẳng có phương trình 2x y 2 0 Đường cao kẻ từ B có phương trình
1 0
x y , điểm M1;1 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của
tam giác ABC
Trang 6Toạ độ B là nghiệm của hệ 1 0
x y
x y
Suy ra B3; 4 Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC d: 2x y 3 0
Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Toạ độ N là nghiệm của hệ
1 0
x y
x y
Suy ra N4; 5 Gọi I là trung điểm MN 5; 2
2
Gọi E là trung điểm BC Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, IE đi qua I vuông góc với BC : 2 13 0
2
Toạ độ E là nghiệm của hệ
13
, 2
x y
E
x y
;
CA đi qua C vuông góc với BN suy ra : 8 0
5
Toạ đô A là nghiệm của hệ
13
2 8 0 5
x y
;
Câu 7b
Trong mặt phẳng cho bốn điệm phân biệt A,B,C,D và không cùng nằm trên đường
Chọn hệ trụcOxy sao cho A C Ox , , B Oy Giả sử trong hệ trục đó ta có: A a ( ,0), ( ,0), (0, ), ( , ) C c B b D m n
AB CD AD BC
2 ( m a c ) 0
DoA a ( ,0) C c ( ,0) a c
Vậy từ (*) suy ra m = 0 , hay D nằm trên trục tung
Vậy (*) AC BD
Câu 8
Cho dãy số(u n ) xác định như sau :
( 1 , 2 , 3 , ) ) 1 2 ( 1 1 2 2
1 1
n u u u u
n n n
b)Tính: u2015
Câu 8a
Ta có :
,x y
Trang 72 tan 8
8
2
8
8
8
(Vì tan
8
dương)
Câu 8b Đặt u1 2 tan a , ta có:
2
tan tan
8
1 tan tan
8
a
a
, 3
tan( ) tan
8
1 tan tan( )
a
a
Ta chứng minh : tan( ( 1) ), 1,
8
n
u a n n n
(*) Với n = 1 u1 tana đúng
Giả sử (*) đúng với n = k , k 1 , hay ta có: tan( ( 1) )
8
k
u a k
Ta có: 1
tan( ( 1) ) tan
tan( )
8
1 ( 2 1) 1 tan( ( 1) ).tan
k k
k
a k u
Vậy (*) đúng với n = k+1
8
n
u a n n n
Cho n = 2015, ta có : 2015 tan( 2014 ) tan( 3 251 ) tan( 3 )
a
( 2 1)2 tan2
8
Câu 9
Cho ba số dương a, b c thoả mãn abc = 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
Câu 9a
2 1 2
a a, b2 1 2 b, c2 1 2 c
Mà a b c 33 abc 3
Vậy: a2 b2 c2 a b c, đẳng thức xảy ra khi a b c 1
Trang 8Câu 9b
3 3 3
ab a b
3 3 3
Tương tự:
3 3 3
b c 1 bc a b c bc a b c a b c
3 3 3
c a 1 ca a b c ca a b c a b c Vậy:
3 3 3
3 3 3
1
a b 1 b c 1 c a 1 a b c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Câu 10
Cho hệ phương trình
2
3 (1) 2
2
3
Tìm m để hệ phương trinh có nhiều hơn hai nghiệm
(1) 3
2
x m y
3 3 2
2
Hpt có nhiều hơn hai nghiệm khi pt (*) có ba nghiệm phân biệt f y( ) có hai nghiệm phân biệt y y và 1, 2 f y f y( ) ( ) 01 2
( )
f y có hai nghiệm phân biệt khi m 0
2 2
1 2
f y f y m m
Vậy
2 2
0
m
( , 2) (2, )
m
