Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vượt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày và dệt thêm được 1200 chiếc.
Trang 1ðỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 - HUYỆN QUỐC OAI
NĂM HỌC 2006 – 2007 Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Chứng minh n4+2n3−n2−2n⋮24∀n∈Z
Bài 2 : Cho ña thức f( )x =x4 −3x3+3x2+ax+b,g( )x =x2−3x+2
a) Khi a = 7, b = -4, tìm dư khi chia f cho g
b) Tìm a, b ñể f chia hết cho g
Bài 3 : Giải các phương trình
3 1
1 1
1
2 4 2
−
− + +
+
x x x x
x
x x
x
x
b) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120x2
Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vượt kế hoạch 60
chiếc nên hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày và dệt thêm ñược 1200 chiếc Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ?
Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho a+1945,a+2006 ñều là số chính phương
2 2
2
Q b a a
b b
a a
b b
a
∈ +
≥ +
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ ⊥ BC cắt AC tại F, AB tại E, vẽ các
hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lượt là giao ñiểm AB và HD, AC và KD
a) Chứng minh AIDJ là hình bình hành
b) Tính
AC
AJ
AB AI +
c) Chứng minh A là trung ñiểm HK
d) Tìm vị trí của D ñể tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất
Trang 2Bài 1 : Chứng minh n4 +2n3ưn2ư2n⋮24∀n∈Z
Giải
- Ta có :
( 1) ( 1)( 2)
1 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3 2
3 4
+ +
ư
=
ư +
= +
ư +
=
ư
ư +
=
ư
ư +
n n n n
n n n n
n n n
n n n n n n n n
- Vì tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 và tích ba số nguyên liên tiếp chia hết
cho 3 mà UCLN(8;3) = 1 nên n4+2n3 ưn2 ư2n⋮24∀n∈Z
2 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 2 : Cho đa thức f( )x =x4 ư3x3+3x2+ax+b,g( )x = x2ư3x+2
c) Khi a = 7, b = -4, tìm dư khi chia f cho g
d) Tìm a, b để f chia hết cho g
Giải
a) Ta có :
( )
( 1) ( ) 10 6
6 10 2 3 2
3
4 7 3 3
2
2 2
2
2 3 4
ư + +
=
ư + +
ư + +
ư
=
ư + +
ư
=
x x g x
x x
x x
x x
x x x x x f
- Vì vậy thương trong phép chia f cho g là 10x – 6
b) Ta có : g( )x = x2 ư3x+2=(xư1)(xư2) nên nhận 1, 2 là nghiệm do đó f chia
hết cho g khi và chỉ khi f nhận chúng là nghiệm
- Nếu 1 là nghiệm của f thì 1ư3+3+a+b=0⇔ a+b=ư1
- Nếu 2 là nghiệm của f thì 16ư24+12+2a+b=0⇔ 2a+b=ư4
- Từ đó suy ra : a=ư3,b=2
2 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 3 : Giải các phương trình
3 1
1 1
1
2 4 2
ư
ư + +
+
x x x x
x
x x
x
x
120 4 3 2
Giải
a) Điều kiện : x ≠ 0 do x2 +x+1>0,x2 ưx+1>0,x4 +x2+1>0
- Mẫu thức chung : x(x2 +x+1)(x2 ưx+1) (= x[x2 +1)2 ưx2]= x(x4 +x2+1)
- Phương trình đã cho ⇔
(tmdk)
x x
x x x
x
x x x x x x x x
2
3 3
2
0 1 1
3 1 1
1 1
3 3
2 2
=
⇔
=
⇔
=
ư
ư +
⇔
= + +
ư
ư +
ư +
b) Phương trình đã cho ⇔ ( 2 )( 2 ) 2
120 6 5 6
- Dễ thấy x ≠ 0, chia cả hai vế cho 2
x ta được :
=
=
±
ư
=
⇔
=
ư
ư
= +
ư
=
+
⇔
= +
ư
= + +
⇔
±
=
+ +
⇔
=
ư
+ +
⇔
=
+ +
+ +
3 , 2
2
265 2
17
0 3 2
4
265 4
289 6 2
17
0 6 5
0 6 17 11
6 6
120 1
6 6 120
6 5
6 7
2
2 2
2
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
3 điểm
0,25 điểm 0,5 điểm
0,75 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
Trang 3Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày
dệt vượt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày và dệt thêm được
1200 chiếc Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ?
Giải
- Gọi số khăn phải dệt theo kế hoạch là x ( x ∈ N, x > 1200)
- Số ngày dệt theo kế hoạch :
500
x
(ngày)
- Số ngày dệt thực tế :
560 1200 +
x
(ngày)
- Theo bài ra ta có phương trình : 3
560
1200
500x = x+ +
- Giải phương trình :
) ( 24000 560
1 500 1 560
1200 3
560
1200 3 560
1 500
1 3
560
1200 500
tmdk x
x x
x
=
ư
+
=
⇔
+
=
⇔ +
+
=
- Vậy theo kế hoạch tổ phải dệt 24000 chiếc khăn
3 điểm
0,5 điểm
1,75 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho a+1945,a+2006 đều là số chính phương
Giải
- Giả sử
1045 30
31 1 61
61 61
2006 ,
1945
2 2
2 2
ư
=
⇒
=
=
⇒
∈
ư
>
+
=
ư
= +
⇒
=
ư +
⇔
=
ư
⇒
= +
= +
a l
k
N l k l k do l
k
l k
l k l k l
k
k a
l a
3 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 6 : Chứng minh rằng 2 ( , *)
2 2
2
Q b a a
b b
a a
b b
a
∈ +
≥ + Giải
- Nếu a, b trái dấu bất đẳng thức hiển nhiên đúng
- Nếu a, b cùng dấu :
2 2 2
2
ư
= +
⇒ +
a
b b
a a
b b
a x
- Ta phải chứng minh x2 ư2≥x ⇔x2 ưxư2≥0⇔(x+1)(xư2)≥0
- Thật vậy, ta thấy (aưb)2 =a2ư2ab+b2 ≥0⇒a2+b2 ≥2ab
x
x ab
ab ab
b a a
b b
a
≥
ư
>
+
⇒
=
≥
+
= +
=
0 2
0 1 2
2
2 2
Cách khác :
0
2 2
2 3
3
2 2
3 3 4 4 2
2 2 2
≥ + +
ư
=
ư +
ư
⇔
≥
ư
ư +
⇔ +
≥ +
b ab a b a a b b b a a
b a
b a a b b a a
b b
a a
b b a
3 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
1 điểm
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ ⊥ BC cắt AC tại F,
AB tại E, vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lượt là giao điểm AB và
4 điểm
Trang 4HD, AC và KD
e) Chứng minh AIDJ là hình bình hành
f) Tính
AC
AJ
AB AI +
g) Chứng minh A là trung điểm HK
h) Tìm vị trí của D để tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất
Giải
N
J
I
K F
H
C B
A
D E
a) Theo tính chất hình chữ nhật ta có các tam giác DJC và BID cân nên các góc
JDC = góc IBD, góc JCD = góc IDB ⇒ DJ // IA, AJ // ID Do đó tứ giác AIDJ
là hình bình hành
b) Từ câu a, theo Talét ta có :
BC
BD AC
AJ BC
DC AB
AI
=
- Do đó : + = + =1
BC
DB CD AC
AJ AB AI
c) Theo câu a và theo tính chất hình chữ nhật ta có các tứ giác AHIJ và AKJI là
hình bình hành nên AH //= JI //= AK hay A là trung điểm HK
d) Dựng hình chữ nhật BNMC nh− hình vẽ ⇒ S BNMC = 2S ABC =const
- Khi D là trung điểm BC thì tổng diện tích S của hai hình chữ nhật bằng diện tích
hình chữ nhật BNMC
- Ta chứng minh khi D không là trung điểm BC thì S luông lớn hơn diện tích
BNMC
- Thật vậy, giả sử BD > CD ⇒ QN > QM, xét hai hình chữ nhật QMKF và QEHN
có QF = QE ( do tam giác EAF cân tại A), QN > QM ⇒
BNMC CDFK
BDEH QMKF
- Vậy khi D là trung điểm BC thì tổng diện tích của hai hình chữ nhật sẽ nhỏ nhất
và bằng hai lần diện tích tam giac ABC
Cách khác :
α α α
tg a a x tg a
x a x tg S
S
a x tg
a x S
tg a x S
CDFK BHED
CDFK
BHED
2 2 2 2
2 2
2
2 2
0
≥ +
= + +
−
= +
⇒
≤
≤
−
=
+
=
0,25 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
0,75 điểm
