Viết phương trình đường tròn T ngoại tiếp tam giác ABC.. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định.. Viết phương trình đường tròn đó.
Trang 1
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH Thời gian: 150 phút - Năm học: 2008 - 2009
––––––––––
Bài 1: (8 điểm)
a Giải phương trình
x x x x
b Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng 2 nghiệm
2
2(1 )
x y
Bài 2: (6 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1)
a Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC
b Giả sử M là điểm chuyển động trên (T) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định Viết phương trình đường tròn đó
Bài 3: (2 điểm)
Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến thuộc
các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và có mc = 3
2 c Chứng minh rằng: ma + mb + mc = 3( )
2 a b c
Bài 4: (4 điểm)
Cho hai số thực x, y dương thoả mãn điều kiện x + y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
4
x y xy
Trang 2
ĐÁP ÁN VÀ SƠ LƯỢC - THANG ĐIỂM
––––––––––
Bài 1: (8 điểm)
2
2 x 4 4 x x = 4
b Cách 1:
2
2
x y
x y
Vậy x và y là nghiệm của phương trìnb bậc 2:
2 2
Hệ đã cho có 2 nghiệm (1) và (2) đều có nghiệm kép
'(1) ='(2) = 0 (2 điểm)
a = 0 Cách 2: Sử dụng tính đối xứng giữa các nghiệm
Cách 3: Dùng đồ thị
Bài 2: (6 điểm)
a E(x;y) tâm đường tròn (T) EA2 = EB2 = EC2 (1 Điểm)
(x-1)2 + (y-2)2 = x2 + (y - 1)2 = (x+2)2 + (y-1)2
3
y
Vậy (T) có phương trình: (x+1)2 + (y-3)2 = 5 (1 điểm) Đường tròn (T) có tâm E (-3;1) bán kính R = 5
b Gọi I là trung điểm BC ta có: I (-1; 1) (1 điểm)
Kẻ GK // ME, K EI
KE = -2 KI K (-1; 5
Mặt khác: KG = 1 5
3EM 3
Trang 3
Vậy trọng tâm G của tam giác MBC nằm trên
đường tròn tâm K, bán kính 5
3)2 =
5 9
Bài 3: (2 điểm)
Ta có mc = 3
2 c mc2 = 3 2 2( 2 2) 2 3 2 2 2 2
2
c c a b c (1 điẻm)
3
2
a a
b
b
(1 điểm)
ma + mb + mc = 3 ( )
2 a b c
Bài 4: (4 điểm)
+ Trước hết ta chứng minh: 1 1 4 , a b, 0 (1)
a b a b (1 điểm) + Áp dụng (1) vào biểu thức P ta được
4
x y xy
4
2 2
2
(x y ) (x y ) (x y ) Vậy Min P = 7 khi x = y = 1