Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ
Trang 1ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 9 HUYỆN QUỐC OAI
NĂM HỌC 2008 – 2009
Bài 1 (4 ñiểm)
a) Phân tích thành nhân tử :
( )2
x x −7 −36x b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x :
x x 1 x+ +2 x 3+ + 1
Bài 2 (3 ñiểm)
Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày Xác ñịnh số công nhân ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm
Bài 3 (4 ñiểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và 0
ADC DCB 90+ = Gọi I, N, J,
M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD
a) Tứ giác INJM là hình gì ?
b) Giả thiết ADC BCD > và A, B chuyển ñộng sao cho AD = BC, hỏi ñiểm I di chuyển trên ñường nào ?
Bài 4 (5 ñiểm)
a) Tìm các số x, y, z thỏa mãn :
1, x y z 12
b) Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 2x2+ =x 3y2+ Chứng minh rằng y 2x 2y 1, x+ + −y, 3x 3y 1+ + là các số chính phương
Bài 5 (4 ñiểm)
Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O
a) Chứng minh OA OB OC 1
AA '+ AB'+ AC'= ? b) Chứng tỏ rằng AA ' 2bc
b c
<
+ (trong ñó AC = b, AB = c) ?
Trang 2HƯỚNG DẦN GIẢI
Bài 1 (4 ñiểm)
a) Phân tích thành nhân tử :
x x x 7 6 x x 7 6
x x 7x 6 x 7x 6
x x 6x x 6 x 6x x 6
x x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1
x x 1 x x 6 x 1 x x 6
x x 1 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2
= − + − − − + − +
b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x :
2 2
2
t 2t 1
Bài 2 (3 ñiểm)
Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày Xác ñịnh số công nhân ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm
Giải
Gọi x là số công nhân tổ A ban ñầu (x∈N *)
Mỗi ngày tổ A may ñược 20x (sản phẩm)
Sau sáu ngày tổ A may ñược 120x (sản phẩm)
Nếu ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân thì số công nhân tổ A là x + 10 (công nhân)
Số sản phẩm mà số công nhân này may ñược là 16800 – 120x (sản phẩm)
Thòi gian may số sản phẩm này là
16800 120x
20 x 10
− + (ngày)
Trang 3Thời gian tổ B hoàn thành công việc là
16800 120x 6
20 x 10
− +
+ (ngày) Nếu ựược hỗ trợ 10 công nhân ngay từ ựầu thì tổ A sẽ hoàn thành công việc trong
16800
20 x 10+ (ngày)
Do tổ B hoàn thành công việc sau tổ A một ngày nên thời gian ựể tổ B hoàn thành công việc là
16800
1
20 x 10 + + (ngày)
Ta có phương trình :
1 6
− + = +
Giải phương trình :
1 6
5
5 x 10
840 5x 50 840 6x
x 50
− + = +
−
Vậy tổ A ban ựầu có 50 công nhân
Số ngày tổ A hoàn thành công việc nếu có 60 công nhân là 16800 : 1200 = 14 ngày
Số ngày tổ B hoàn thành công việc là 15 ngày
Số công nhân ban ựầu của tổ B là 16500 : 300 = 55 (công nhân)
đáp số : Tổ A Ờ 50 công nhân; Tổ B Ờ 55 công nhân
Bài 3 (4 ựiểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và 0
ADC DCB 90+ = Gọi I, N, J,
M lần lượt là trung ựiểm các cạnh AB, AC, CD, BD
a) Tứ giác INJM là hình gì ?
b) Giả thiết ADC BCD > và A, B chuyển ựộng sao cho AD = BC, hỏi ựiểm I di chuyển trên ựường nào ?
Trang 4Giải
a) Theo tính chất ñường trung bình tam giác ta có : MI // 1AD // NJ
2
1
MI // BC // MJ
2
= = mà AD = BC nên tứ giác INJM là hình thoi Kéo dài AD và
BC cắt nhau tại E, do 0
ADC DCB 90+ = nên DE⊥CE⇒MI⊥NI nên tứ giác INJM là hình vuông
b) Gọi K là giao ñiểm của IJ và EC, kẻ phân giác Et của BEC, dễ thấy Et // IJ (do
JIN=JKC 45= =TEC ở vị trí ñồng vị) mà J cố ñịnh, Et cồ ñịnh nên I chạy trên ñoạn thẳng JK (ñi qua J và song song với phân giác của BEC)
Bài 4 (5 ñiểm)
a) Tìm các số x, y, z thỏa mãn :
1, x y z 12
Giải
a=x , b=y , c z= ⇒ + + =a b c 12
Ta có :
Trang 5( )( ) ( )( ) ( )( )
2
1
a a b b c b a b b c c a b b c
a ab b bc ac b ab b bc ac
c ab b bc ac
a 3ab 3b 3bc c ac a
a c ab b
b c bc
2
2 2
a c ab b b c bc
ab 2b 2bc
2b
2ab 4b 4bc
Mặt khác :
2
2
2b
c
a
Vậy ñẳng thức xảy ra khi a= = = b c 4
b) Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 2x2+ =x 3y2+ Chứng minh rằng y 2x 2y 1, x+ + −y, 3x 3y 1+ + là các số chính phương
Giải
Ta có :
2 2
x y 2x 2y 1 y
Ta ñi chứng minh (x−y; 2x 2y 1+ + = ) 1
Trang 6Thật vậy :
d x y; 2x 2y 1
2x 2y 1 d
2x 2y 1 d 4y 1 d 1 d do y x y 2x 2y 1 d y d
−
−
⋮
⋮
⋮
⋮
Do ñó (x−y; 2x 2y 1+ + = hay 2x 2y 1, x y) 1 + + − là các số chính phương Tương tự :
2 2
x y 3x 3y 1 x
Và (x−y; 3x 3y 1+ + = hay 3x 3y 1, x y) 1 + + − là các số chính phương Tóm lại 2x 2y 1, x y, 3x 3y 1+ + − + + là các số chính phương
Bài 5 (4 ñiểm)
Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O
a) Chứng minh OA OB OC 1
AA '+ AB'+ AC'= ?
b) Chứng tỏ rằng AA ' 2bc
b c
<
+ (trong ñó AC = b, AB = c) ?
Trang 7Giải
a) Kẻ AH, OG vuông góc với BC, ta có : OBC
ABC
OA ' OG S
AA '= OH =S
Tương tự ta cũng có các tỷ số OAC OAB
; BB'= S CC'=S
1
b) Từ C kẻ ñường thẳng song song với AB cắt AA’ tại N
Dễ thấy NC = AC = b và A ' N NC b A ' N bAA '
AA ' = AB = ⇒c = c
Áp dụng bất ñẳng thức tam giác vào ACN∆ ta có :
2b AA ' AA ' 2b AA '
2bc 2bc b c AA ' AA '
b c
+
+