Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ?.
Trang 1ðỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỐC OAI
NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN : TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 : Rút gọn biểu thức
2 2
M
Câu 2 : Tìm thương của phép chia ña thức x2−2x+ cho ña thức 7 x2−2x+ 4
Câu 3 : Phân tích thành nhân tử : x3−7x− 6
Câu 4 : Giải các phương trình sau :
2
)
x
b
+
Câu 5 : Cho xy=m x, + = , tính giá trị biểu thức y 1 4 4
A=x y+xy theo m
Câu 6 : Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyến AM = m Chứng minh rằng
2
2
a
c +b = + m
Câu 7 : Cho hình vuông ABCD, lấy E, F trên các cạnh DA, DC sao cho EBF=450 Gọi G, H là giao ñiểm của AC với BE, BF Chứng minh :
a BOG BCF
b BGF BOC
=
Câu 8 : Ghép 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 thành các cặp số sao cho mỗi cặp có tổng chia hết cho 6 Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ?
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 : Rút gọn biểu thức
2 2
M
Câu 2 : Tìm thương của phép chia ña thức x2−2x+ cho ña thức 7 x2−2x+ 4
Câu 3 : Phân tích thành nhân tử : x3−7x−6
- Ta có :
x − x− = x −x − x+ =x x− x+ − x+ = x+ x − −x = x+ x− x+
Câu 4 : Giải các phương trình sau :
x
+
- Ta có :
2
2
4
0
x
x
+
Câu 5 : Cho xy=m x, + = , tính giá trị biểu thức y 1 A=x y4 +xy4 theo m
A=xy x +y =xy x+y x+y − xy=m − m =m − m
Câu 6 : Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyến AM = m Chứng minh rằng
2
2
a
a
2 a
2
K
H
M
A
B
C
Trang 3- Kẻ BH ⊥AM CK, ⊥ AM Dễ thấy BH = CK = d, HM = KM = e
- Theo Pitago ta có :
2 2
2
2 2
2
4
a
a
a
Câu 7 : Cho hình vuông ABCD, lấy E, F trên các cạnh DA, DC sao cho EBF = 450 Gọi G, H là giao ñiểm của AC với BE, BF Chứng minh :
a BOG BCF
b BGF BOC
=
2 1
H
G
O
D
E
a) Xét ∆BOG, ∆BCF có BOG=BCF=900, B1=B2 (cùng cộng với HBO = 450) Do ñó
BOG BCF g g
2
a
AB=BC=CD=DA=a OA=OB=OC=OD=
2
BG BO a BOG BCF
GBF=OBC= ⇒ ∆BGF ∆BOC c g c
BH BO a BOH BAE g g
BE AB
BG BH
AE
2 2
BGH BFE
BGH BFE c g c
Do ñó S BFE =2S BGH
Câu 8 : Ghép 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 thành các cặp số sao cho mỗi cặp có tổng chia hết cho 6 Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ?
- Giả sử a b+ ⋮6 và a b, ∈ɺ{0; 1; 2; 3; 4; 5} (⇒ a b; ) (∈{ 0; 0 ; 1; 5 ; 2; 4 ; 3; 3) ( ) ( ) ( ) }
- Do ñó với hai bộ {0; 1; 2; 3; 4; 5} ta sẽ ghép ñược nhiều nhất 6 cặp số có tổng chia hết cho 6
- Mặt khác 2010 = 6.335 và 335 = 2.167 + 1 nên với 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 ta có
167 cặp bộ {0; 1; 2; 3; 4; 5} và 1 bộ lẻ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
- Vì vậy có thể ghép tối ña 167.6 + 2 = 1004 cặp hai số có tổng chia hết cho 6