Đề thi chọn đội tuyển MTCT tỉnh 07-08

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút không kể t

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2007- 2008

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐIỂM CỦA BÀI THI (Họ tên và chữ ký)Các giám khảo

SỐ PHÁCH

(Do chủ tịch hội đồng chấm thi ghi)

Bằng số

………

. Bằng chữ ……….

……….

……….

……….

Chú ý: 1 Thí sinh được sử dụng hai loại máy tính CASIO fx-500MS và CASIO fx-570MS. 2 Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân Đề bài Kết quả Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A: A= 5  13  5  13  5 

Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số, biết rằng

N là số chính phương và N là bội của 147

Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia

P(x)=1+x+x2+…+x100 cho Q(x)=1-x-x2+x3

Biết rằng khi x=0 thì phần dư là -2449

Câu 4: (5 điểm)

Giải phương trình:

(x2  x 1 ) 4  5x4  6x2 (x2  x 1 ) 2

Câu 5: (5 điểm) Cho đa thức f(x) x2axb thỏa mãn

 1 , 1

2

1

)

(x  x 

Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức f (x)

Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có dạng A=

6 2 1

1 a a

a

a n n và thỏa mãn: 6a n a n1 a2a1=4A

Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC Từ

điểm P trên cung BC không chứa A hạ PKBC, PLAC, PMAB Khi P chuyển động trên cung BC Tìm giá trị nhỏ nhất của

PM

AB PL

AC PK

BC

Tóm tắt lời giải:

Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

y2 = -2(x6-x3y-32)

Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có dạng

2

1x

x và y1y2 Biết rằng x1x2y1y2 chia hết cho y1y2

2

1x

x

Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của tất cả các tam

giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1

Tóm tắt lời giải:

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A:

A= 5  13  5  13  5 

Vì A> 5, bình phương hai vế:

(A-3)[(A+3)(A+1)(A-1)-1]=0

<=> A= 3 (5 điểm)

Có thể dùng máy tính, tính trực tiếp Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số,

biết rằng N là số chính phương và N là bội của

147

1764

3969

7056

Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia

P(x)=1+x+x2+…+x100 cho Q(x)=1-x-x2+x3 Biết

rằng khi x=0 thì phần dư là -2449

Phần dư có bậc nhỏ ≤2 (r(x)=ax2+bx+c)

Và Q(x)=(x-1)2(x+1) Vậy P(x)=H(x).[(x-1)2(x+1)]+r(x) Với x = 0, x = 1,x = -1 ta tìm được:

a=2500 (2 điểm) b=50 (2 điểm) c=-2449 (1 điểm)

Câu 4: (5 điểm)

Giải phương trình:

(x2  x 1 ) 4  5x4  6x2 (x2  x 1 ) 2

5x4-5x2(x2-x+1)2+(x2-x+1)4-x2(x2-x+1)2 =

=…=[x2-(x2-x+1)2][5x2-(x2-x+1)2]=

(x-1)2(x2+1)[x2-( 5+1)x+1]

[x2+( 5-1)x+1]=0 Vậy:

x=1 (1 điểm)

2

5 2 2 1

5   



2

5 2 2 1

5   



Câu 5: (5 điểm) Cho đa thức f(x) x2axb

thỏa mãn  1 , 1

2

1 ) (x  x 

Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức f (x)

Thay x=-1, 0, 1 giải hệ bất phương trình

ta tìm được:

a=0 (2,5 điểm)

b= 21=-0,5 (2,5 điểm)

Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có

dạng A=a n a n1 a2a16 và thỏa mãn:

1 2

1

6a n a n a a =4A

A=153846 (5 điểm)

Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC Từ

điểm P trên cung BC không chứa A hạ PKBC, PLAC, PMAB Khi P chuyển động trên cung BC Tìm giá trị nhỏ nhất của S PK BC AC PL PM AB

Tóm tắt cách giải:

Trên cung BC chứa A lấy N sao cho cung(BN)=cung(CA) PN cắt BC=E (1 điểm)

Hai tam giác PBE và PAC đồng dạng

(vì góc(BPE)=góc(APC) và góc(PBE)=góc(PAC)) (1 điểm) Tương tự: hai tam giác PCE và PAB đồng dạng (0,5 điểm)

Do đó: PK BE AC PL và PK CE PM AB =>BE PKCE PK BC AC PL PM AB (1 điểm)

Vậy SPK BC AC PL PM AB  2PK BC (0,5 điểm)

Do BC cố định nên S nhỏ nhất khi PK lớn nhất tức:

BC

2

1

PK  và S min =4 (1 điểm)

Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của

phương trình: y2=-2(x6-x3y-32)

Ta có: (x2)3+(x3-y)2=64

Mà 64=02+43 hoặc 64=03+82 Vậy có 4 cặp (x,y):

(0,8); (0,-8); (2,8); (-2,-8)

Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

có dạng x1x2 và y1y2 Biết rằng x1x2y1y2

chia hết cho y1y2 x1x2

Ta có hai cặp:

13 và 52 (2,5 điểm)

17 và 34 (2,5 điểm)

Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của các tam giác có

ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1

Giải:

Giả sử ngũ giác đều ABCDE thoả mãn bài toán

Xét BCD và ECD vì SBCD = SECD=1, đáy CD chung

nên các đường cao hạ từ B, E xuống CD đều bằng nhau

nên EB//CD

Tương tự: AC//DE, BD//EA, CE//AB, DA//BC (1 điểm)

Gọi I = EC  BD => ABIE là hình bình hành

=> SIBE = SABE=1 Đặt SICD = x < 1

=> SIBC = SBCD - SICD =1-x = SECD - SICD = SIED

Có:

IBE

IBC IDE

ICD

S

S IE

IC

S

S



 (2 điểm)

hay 1x x 11x

 => x2-3x+1=0 => x =

2

5

3 

do x < 1 => x =

2

5

3 

Vậy SIED =

2

1

5 

(1 điểm)

Do đó SABCDE = SEAB + SEBI + SBCD + SIED = 3 +

2

1

5 

=

2

5

5 

 3,6180340 (1 điểm)

A

B

C

E

D

I