chuyên đề toán 8.

VĂN PHONG CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC §1.. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC 1.. Quy tắc Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức

VĂN PHONG

CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

§1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

1 Quy tắc

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi

cộng các tích với nhau

2 Ví dụ

Ví dụ 1 Làm tính nhân:

a) 2x3(5x2 – 2x + 9)





























2

1 5

2 4 2

y x x x x























3

1 5 2 4 5

3xy x2y xy2 xy x y

Giải:

a) Ta có: 2x3(5x2 – 2x + 9) = 2x3 5x2 - 2x3.2x + 2x3.9

= 10 x5 - 4x4 + 18 x3 b) Ta có:

4 2

1 2

1 2

1 5

2 2

1 4

2

1 4

2

1 5

2 4

2































































































8 7 6 4

2 4

1 5

1

2x  x  x y x



 c) Ta có :

3

1 3 5 3 2 3 4 3 5 3

3 3

1 5 2 4 5

3xy x2y xy2 xy x y  xy x2y  xy xy2 xy xy xy x xy y xy























 x3y2 x2y3 x2y2 x2y xy2xy

15 6

12 15

3

Ví dụ 2 Thực hiện tính nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

A = 2xy(x2yxy2)x2y(xy y2) tại x = 2, y = 3

Giải:

Ta có: A = 2xy(x2yxy2)x2y(xy y2)2xy.x2y2xy.xy2x2y.xyx2y.y2

2x3y22x2y3x3y2x2y3 x3y23x2y3

Với x = 2, y = 3 thay vào biểu thức trên ta được :

A = x3y2 3x2y3 23.323.22.33 8.93.4.2772324396

Ví dụ 3 Tìm x biết:

a) 2x12x23x13x28x216

b) 3x543x52x161x

Giải:

a) 2 12 2 3 1 3 28 2 16









x

x

VĂN PHONG

- 2 - Bổ trợ toán 8

8

16

2

16 2 24 2 6















x

x

x x x x

x

b) 3x543x52x161x

3

2

2

3

3 1 4

7

1 4 3

7

6 6 5 10 4 12 15

3



































x

x

x

x

x x

x x

x x

Ví dụ 4 Tính giá trị của biểu thức:

30 20 20

20 20

6













Giải:

Cách 1 Do x = 19 nên x – 19 = 0 do vậy ta biến đổi biểu thức A chứa nhiều biểu thức dạng x – 19

30 20 20

20 20

6













A

11

11 19 19

19 19

19

5



























Cách 2 Trong biểu thức A ta thay các số 20 bởi x, như vậy ta có:

30 20 20

20 20

6













A

x6(x1)x5(x1)x4 (x1)x3(x1)x2 (x1)x30

11 19 30

30

30

2 2 3 3 4 4 5 5 6

6



































x

x x x x x x x x x

x

x

Bài tập

Bài 1 Thực hiện tính nhân:

2

1 4

3 2

2





x

x

5

2 3

1

2

y x xy xy

y

3

yz yz

x y x



Bài 2 Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của biểu thức:

a) xy(xy)x2y(1y) tại x = 1; y = 2

b) x(x2 y)y(xy2)x(x2 y2) tại x = 1; y = 1

c) xy(xz)y(x2x)z(xyx) tại x = 2; y = 1

Bài 3 Thực hiện phép tính

a) 2x n(3x n31)x n(6x n3 1)

3

1 2

( 6 ) 2 3

(

4x2n x42n  x n x4n  x n

VĂN PHONG

8 190 8





d) 9.2n23.2n125.2n

Bài 4 Tìm x biết rằng:

a) 3x(x2 + 2x) – x2(3x + 6) – 4(x + 1) = 12

b) 4(x – 5) + x(4 – x) + x(x + 9) = 24

c) –x(3x + 4) + 5(x – 7) = x(5 – 3x) + 7(x + 1)

d) 4(x + 1) + 5(2x + 2) = 6(3 + x) + 3(5 – x)

Bài 5 Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = x4 – 50x3 + 50x2 – 50x + 4 tại x = 49

b) B = x100 – 9x99 + 9x98 – 9x97 + + 9x2 – 9x + 10 tại x = 8

§2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

1 Quy tắc

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng

tử của đa thức kia rồi cộng các tích đó với nhau

2 Ví dụ

Ví dụ 1 Làm tính nhân

a) 2x2x1 x1 b) (x1)(x2 x1)

3

2 1 ( 1 3

2

xy

xy  











 d) (x y)(x2 xy y2)

Giải:

a) 2x2x1 x12x2.x2x2.1x.xx.11.x1.1

2 3 2 2 2 1











2x33x2 1

b) ( 1)( 2 1) 2 1 1 2 1 1.1

















x

x3 x2 xx2 x1  x31

3

2 1 1 1 3

2 3

2 1 3

2 ) 3

2 1 ( 1 3

2

























1 9

4

3

2 1 9

4 3 2

2 2

2 2















y x

xy y

x xy

d) (x y)(x2 xyy2)x.x2 x.xyx.y2yx2 y.xyy.y2

3 3

3 2 2 2 2

3

y x

y xy yx xy y x x

















VĂN PHONG

- 4 - Bổ trợ toán 8

Ví dụ 2 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

2 113 ( 2)(6 3)8 12

A

Giải:

Ta có: A2x113x(x2)(6x3)8x12

7

12 8 6 12 3 6 3 1 6





















Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào giá trị của biến x (đpcm)

Ví dụ 3 Tìm x biết:

a) (3x5)2x1(6x1)x24

b) (3x5)x1(x1)x2(2x3)(x2)1

Giải:

a) (3x5)2x1(6x1)x26

2

1 18

9

9 3 6 18

6 3 18

6 2 12

6 5 7

6

6 ) 2 12

6 ( 5 10 3

6

2 2

2 2





















































x

x

x

x x x x

x

x x x x

x x

b) (3x5)x1(x1)x2(2x3)(x2)1

5 2

2 2

5 5 3 3

1 6 3 4 2 ) 2 2

( 5 5 3 3

2 2

2

2 2

2













































x x x

x x x

x x

x x x x

x x x

x x

2 / 1

2 4

3 5 2

3 2

5 2

3 3 2

2 2

2 2































x

x

x x x x

x x x

x

Ví dụ 4 Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết tích của của 2 số sau lớn hơn tích của 2 số trước là 16

Giải:

Gọi x, x + 1, x + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp (x  N)

Theo đề bài ta có:

(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 16

x2 + 2x + x + 2 – x2 – x = 16

2x + 2 = 16

2x = 14

x = 7 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp đó là 7, 8, 9

Bài tập

Bài 1 Làm tính nhân:

a) (x2 + 2x + 1)(x – 1)

b) (x3 + x2 + x + 1)(1 – x)

c) (x2 + 5x + 6)(x – 2)

d) (–x2 + 3x – 2)(x2 + 2x – 1)

VĂN PHONG

Bài 2 Làm tính nhân:

a) (x2y + xy – x)(xy – y)

b) (x2 + xy + y)(x – y)

Bài 3 Thực hiện phép tính sau đó tính giá trị của biểu thức:

a) (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) tại x = 1

b) (x + 1)(x9 – x8 + x7 – x6 + x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1) tại x = 2

c) (x – 2)(x7 + 2x6 + 4x5 + 8x4 + 16x3 + 32x2 + 64x + 128) tại x = 1

Bài 4 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) A = (x2 + 5x – 6)(x – 1) – (x + 2)(x2 – x + 1) –x(3x – 10)

b) B = (x2 + x + 1)(x – 1) – x2(x + 1) + x2 – 5

Bài 5 Tìm x biết rằng:

a) (x + 2)(x + 3) – (x – 1)(x – 2) = 4

b) (x2 + 1)(x – 1) + (x – 1)(x + 2) = (x2 – 1)(x + 1) – x(x + 2)

c) (x2 – 3x + 1)(x + 2) = (x – 3)(x2 + 2x + 2)

§3 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1 Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2 Bình phương của một hiệu: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

3 Hiệu hai bình phương: A2 - B2 = (A + B) (A - B)

Ví dụ 1 Tính:

a) (x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25

b) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2.(2x).3 + 32 = 4x2 + 12x + 9

c) (5 – a)2 = 52 – 2.5.a + a2 = 25 – 10a + a2

9

4 4 9 ) 3

2 ( 3

2 2 2 3 ) 3

2

3

e) (a – 1)(a + 1) = a2 – 12 = a2 – 1

f) (3x – 2y)(3x + 2y) = (3x)2 – (2y)2 = 9x2 – 4y2

Ví dụ 2 Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b) 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2.(2x).1 + 12 = (2x + 1)2

c) 9x2 + 12x + 4 = (3x)2 + 2.(3x).2 + 22 = (3x + 2)2

d) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Ví dụ 3 Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:

a) x2 – 10x + 25 = x2 – 2.x.5 + 52 = (x – 5)2

b) 9x2 – 24x + 16 = (3x)2 – 2.(3x).4 + 42 = (3x – 4)2

2

1 ( ) 2

1 ( 2

1 2 4

1













x

d) (x + y)2 – 2.(x + y).z + z2 = (x + y – z)2

Ví dụ 4 Tính:

a) (x – 5)(x + 5) = x2 – 52 = x2 – 25

4

1 3 ) 2

1 ( ) 3 2

1 )(

3 2

1











y

c) (x + y – z) (x + y + z) = (x + y)2 – z2 = x2 + 2xy + y2 – z2

VĂN PHONG

- 6 - Bổ trợ toán 8

Ví dụ 5 Chứng minh rằng:

a) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

b) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

Giải:

a) Ta có: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x – y)2 + 4xy = x2 – 2xy + y2 + 4xy = x2 + 2xy + y2

Vậy: (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy (đpcm)

Hoặc: Ta có (x – y)2 +4xy = x2 – 2xy + y2 + 4xy = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 (đpcm)

b) Ta có: (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

(x + y)2 – 4xy = x2 + 2xy + y2 – 4xy = x2 – 2xy + y2

Vậy: (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy (đpcm)

Hoặc: Ta có (x + y)2 – 4xy = x2 + 2xy + y2 – 4xy = x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 (đpcm)

Ví dụ 5 Tính:

a) (x + y + z)2

b) (x + y – z)2

c) (x – y – z)2

d) (x – y + z)2

Giải:

a) Ta có: (x + y + z)2 = (x + y)2 + 2(x+ y).z + z2 = x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx b) Ta có: (x + y – z)2 = (x + y)2 – 2(x+ y).z + z2 = x2 + 2xy + y2 – 2xz – 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2zx c) Ta có: (x – y – z)2 = (x – y)2 – 2(x+ y).z + z2 = x2 – 2xy + y2 – 2xz – 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx d) Ta có: (x – y + z)2 = (x – y)2 + 2(x+ y).z + z2 = x2 – 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz + 2zx

Bài tập

Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x2 + 2x + 1 b) 16x2 + 16x + 4

c)

4

1

x2 – x + 1 d) 36x2 + 36x + 9

e) 25x2 – 10xy + y2 f) x2 +

16

1 + 8

1

x

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức sau:

2

2

61

104

31

74





x y

y x

3 2 2 3

9









Bài 3 Tìm x biết:

a) 3(x + 2)2 + 4(4x – 1)2 – 19(x + 2)(x – 2) = 5

b) 4x(1 – x)2 +(2x – 1)(2x + 1) + 3 = 3x(x + 2)2 – (4x + 3)(4x – 3)

c) 2(x + 1)2 +3(x – 1)2 +4(x – 1)(x + 1) = 2(x + 2)2 +3(2 – x)2 +4(2 + x)(x – 1)

VĂN PHONG

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (3x – 1)2 +2(x – 4)(x + 4) - 5(1 +2x)2

b) B = (a + b + c)2 – (a + b)2 – (b + c)2 – (c + a)2

c) C = 4(2x + y)2 – (4x – 1) – (2y + 1)2

d) D = (x + y + z)2 +(x – y – z)2 + (y – x – z)2 +(z – x – y)2

Bài 5 Cho x – y = 5 Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = x2 – 2xy + y2 + 7x – 7y – 1

b) B = 2y2 + 10y + 25 – 2xy

c) C = 2x2 – 10x + 25 – 2xy

Bài 6 Tính giá trị của biểu thức:

a) A = a2 + b2 + c2 biết rằng a + b + c = 1 và ab + bc + ca = 0

b) B = a2 + b2 + c2 biết rằng a + b – c = 2 và ab – bc – ca = 1

c) C = a4 + b4 + c4 biết rằng a + b – c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1

Bài 7 Chứng minh rằng:

a) 4x2 + 4x + 2 > 0 với mọi x

b) x2 – x + 1 > 0 với mọi x

c) 7x2 + y2 + 2x + 4 + 2y > 0 với mọi x

§4 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP)

4 Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + 3AB(A + B) + B3

5 Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = A3 – 3AB(A – B) – B3

Ví dụ 1 Tính:

a) (x + 2)3 b) (x + 2y)3

c) (2x – 1)3 d) (2 – 3x)3

Giải:

a) (x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 6x + 8

b) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

c) (2x – 1)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 – 13 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1

d) (2 – 3x)3 = 23 – 3.22.3x + 3.2.(3x)2 – (3x)3 = 8 – 36x + 54x2 – 27x3

Ví dụ 2 Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc 1 hiệu:

a) x3 + 3x2 + 3x + 1

b) x3 – 3x2 + 3x – 1

c) 8x3 + 12x2 + 6x + 1

d) 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

Giải:

a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3

b) x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3

c) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 = (2x)3 + 3.(2x)2.1 + 3.(2x).12 + 13 = (2x + 1)3

d) 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3 = (2x + y)3

Ví dụ 3 Cho x + y = 3 và xy = 2 Tính x3 + y3

Giải:

Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = (x + y(x2 + 2xy + y2 – 3xy)

VĂN PHONG

- 8 - Bổ trợ toán 8

= (x + y)[(x + y)2 – 3xy]

= 3.[32 – 3.2] = 3.3 = 9 Vậy x3 + y3 = 9

Bài tập

Bài 1 Tính:

a) (2x2 + y)3 b) (y –

2

1 z)3 c) 1 – x – y)3 d) 2x + y – z)3

Bài 2 Tìm x biết rằng:

a) (x + 1)3 – (x + 2)(x – 1)2 – 3(x – 3)(x + 3) = 5

b) (x – 1)(x + 2)2 + (x + 2)(x – 1)2 – (x + 1)3 = 4

c) (x + 1)3 + (x – 1)3 = (x + 2)3 + (x – 2)3

Bài 3

a) Cho x + y = 5 và xy = 6 Tính x3 + y3

b) Cho x – y = 4 và xy = 5 Tính x3 – y3

Bài 4

a) Cho x – y = 1 Tính x3 – y3 – 3xy

b) Cho x + y = 2 Tính x3 + y3 + 3xy

c) Cho x + y = a và xy = b Tính A = x3 + y3 + 2xy(x2 + y2) + 3x2y2(x + y) theo a và b

Bài 5 Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5 Tính xy(x3 + y3)

§5 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP)

6 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7 Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

Ví dụ 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) x3 + 8 b)8x3 + 27y3

c)

8

1

x3 –

27

1

y3 d) –64x3 + 8y3 Giải:

a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 2)

b) 8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y)[(2x)2 – 2x.3y + (3y)2] = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)

c)

8

1

x3 –

27

1

y3 =



















































































































2 2

3 3

9

1 6

1 4

1 3

1 2

1 3

1 3

1 2

1 2

1 3

1 2

1 3

1 2

1

y xy x

y x y

y x x

y x y

x

d) –64x3 + 8y3 =

= (–4x)3 + (2y)3 = (–4x + 2y)[ (–4x)2 – (–4x).2y + (2y)2] = (–4x + 2y)(16x2 + 8xy + 4y2)

Ví dụ 2 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9)

b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y) – (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)

Giải:

VĂN PHONG a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 33 = x3 – 27

b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y) – (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) = (2x)3 – y3 – [(2x)3 + y3] = –2y3

Ví dụ 3 Cho x + y = a và x2 + y2 = b Tính x3 + y3 theo a và b

Giải:

Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = (x + y)(x2 + y2 – xy) (*)

Ta lại có x + y = a nên (x + y)2 = a2

x2 + y2 + 2xy = a2

b + 2xy = a2

xy =

2

2

b

a 

Thay x + y = a, x2 + y2 = b và xy =

2

2 2

b

a 

vào (*) ta được:

x3 + y3 =

2

3 2

2 2

) 2 (

3 3

3 2

ab a

ab a ab ab a ab b a b

a           

vậy x3 + y3 =

2

3

3

ab

a 



Bài tập

Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) a3 + (b +c)3 b) (a + b)3 – c3

c) (a + b)3 + (c + d)3 d) (a – b)3 – (c – d)3

Bài 2 Tính:

a) x2 + y2 biết x + y = 6 và xy = 8

b) x3 – y3 biết x – y = 7 và xy = 8

Bài 3 Tính x3 – y3 biết x – y = 7 và x2 + y2 = 65

§6 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ

CHUNG

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành tích của các đa thức

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2x2 + 7x

b) 5x – x2

c) x2yx + xy2z + xyz2

d) (x – 7)(y + 1) + (7 – x)(2y + 5)

Giải:

a) 2x2 + 7x = x(2x + 7)

b) 5x – x2 = x(5 – x)

c) x2yx + xy2z + xyz2 = xyz(x + y + z)

d) (x – 7)(y + 1) + (7 – x)(2y + 5) = (x – 7)(y + 1) – (x – 7)(2y + 5) = (x – 7)(y + 1 – 2y – 5)

= (x – 7)( –y – 4)

Cách làm trên là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

VĂN PHONG

- 10 - Bổ trợ toán 8

Ví dụ 2 Tìm x biết:

a) x3 – 9x = 0

b) 7x2(x + 2) – 7x – 14 = 0

Giải:

a) x3 – 9x = 0

x(x2 – 9) = 0

x(x – 3)(x + 3) = 0





















0

3

0

3

0

x

x

x

suy ra



















3 3 0

x x x

b) 7x2(x + 2) – 7x – 14 = 0

7x2(x + 2) – (7x + 14) = 0

7x2(x + 2) – 7(x + 2) = 0

7(x + 2)(x2 – 1) = 0

7(x + 2)(x– 1)(x + 1) = 0























0

1

0

1

0

2

x

x

x

suy ra





















1 1 2

x x x

Ví dụ 3 Chứng minh rằng: 55n +1 + 55n chia hết cho 56 (nN)

Giải:

Ta có: 55n +1 + 55n =55.55n + 55n = 55n(55 + 1) = 56 55n 56 (đpcm)

Bài tập

Bài 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 15x2 – 10x

b)

2

1

x2y +

5

1

xy2 - 7

1 xyz

c)

4

3

(x + y)(y – z) -

4

3 (y – z)(x – z) d) 125x3 – 25x2 + 5x

e) (x – 2y)(4y – z) + (2y – x)(4y – 2z)

Bài 2 Tìm x biết rằng:

a) (x + 5)(x + 6) + (x – 6)(2x + 3) = 0

b) (x + 1)(x + 3) + (x + 3)(x + 4) = (2x + 5)(x – 1)

Bài 3 Chứng minh rằng:

a) 4n + 4 – 3.4n + 2 chia hết cho 13

b) 2.7n + 3 – 4.7n + 2 + 3.7n chia hết cho 493