SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2011 CẤP TỈNH

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc haiMỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Trang 1

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG

Trang 2

MỞ ĐẦU

1/Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ” Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0) trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực α Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp Hơn nữa , theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải Do đó chúng ta gặp phải vấn đề

“Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học trình sách giáo khoa hiện hành” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm

tòi, sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng

giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”2/Nội dung sáng kiến

A.Mở đầu

B.Nội dung đề tài

I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa

II.Bài tập thực hành

C Kết quả và bài học kinh nghiệm

Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011.

Người viết

Lê Quốc Hoàng

- 2

Trang 3

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

 Nếu ∆ <0 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu ∆ =0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.

 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R∈ :

 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ <P 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0

P S

Trang 4

ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là '( ) 0,f x ≥ ∀ ∈x K

đồng thời f x'( ) 0= chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là '( ) 0,f x ≤ ∀ ∈x K

đồng thời f x'( ) 0= chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.

iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

• Định lí 1 : Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0

Trang 5

2 Phương pháp giải toán

*Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a≠0)

⇔h m( )≥g x( ) ,∀ ∈x ( ;α +∞)

⇔h m( ) ≥ [ ;Max g xα +∞) ( )c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )α β

⇔h m( )≥g x( ) ,∀ ∈x ( ; )α β

⇔h m( ) ≥Max g x[ ; ]α β ( )b) Hàm số (1) đồng biến trong

Trang 6

000( ) 0

( ) 0

00( ) 0

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo

về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa

*Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 1( ) 3 ( ) 2 ( )

3 m+ x − m− x + m− x+ (1) (m≠ −1)

Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1).

b) Đồng biến trên khoảng (1;+∞).

c) Đồng biến trên khoảng ( 1;1)− .

Trang 7

0 ' 0

( 1) 0

2( 1) 0

a

f

S

 >



 ∆ ≤



 >

⇔ ∆ >







 − − >





2

1 0

11 4 0

0 1

m

 + >





 + >



⇔  − − ≥ − + >

 >

 +



1 2

m

 ≥



⇔ 

 ≤ <



4 11

m

⇔ ≥

11

m≥ thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (−∞ −; 1)

Đặt : ( ) 22 2 3

g x

− − +

=

− +

2 2 2 6 18 '( ) ( 4 6) x g x x x − ⇒ = − + a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng (−∞ −; 1) ⇔ ≥y' 0,∀ ∈ +∞x (1; ) ( ), ( ; 1) m g x x ⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ − ( ; 1] ( ) m Max g x −∞ − ⇔ ≥ Xét : y g x= ( ) ,∀ ∈ −∞ −x ( ; 1] Ta có bảng biến thiên: x −∞ -1

g’(x ) +

g(x) 4

11

-1 Từ bảng biến thiên ta được : 4 11 m≥ Kết luận : 4 11 m≥ thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (−∞ −; 1) b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞) ( ) 0, (1; ) f x x ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ 0 ' 0 0 ' 0 (1) 0 2.1 0 a a f S  >   ∆ ≤   > ⇔ ∆ >   ≥    − <   b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞) ' 0, (1; ) y x ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ( ), (1; ) m g x x ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ [1; ) ( ) m Max g x +∞ ⇔ ≥ Xét : y g x= ( ) ,∀ ∈ +∞x [1; ) Ta có bảng biến thiên: x 1 3 +∞

g’(x ) - 0 +

g(x) 0 -1

-4

- 7

Trang 8

biến trong khoảng (1;+∞)

Từ bảng biến thiên ta được : m≥0

Kết luận : m≥0 thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1;+∞)

c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)−

( ) 0, ( 1;1)

0' 0

0( 1) 02( 1) 0(1) 02.1 0' 0

0( 1) 0

+ 0

-g(x)

1

24

- 8

Trang 9

2 2

11 4 0

01

m

m m m

Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta

đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh.

a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (−∞; )α

b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ;α +∞).

c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )α β

Trang 10

0000( ) 0

a a

S P

a a

S P

( ) 0

00( ) 0

Trang 11

*Ví dụ 2: Cho hàm số : y = 1( 2 ) 3 ( ) 2

3 m − x + m− x − x+ (1) (m≠ ±1)

Tìm các giá trị của m để hàm số (1):

a) Nghịch biến trên khoảng (−∞; 2).

b) Nghịch biến trên khoảng (2;+∞).

0' 0

Txđ : D = Ry’ = f(x) = (m2−1)x2− 2(m−1)x−2Đặt t = x – 2 ta được :

y’ = g(t) =

(m −1)t +(4m +2m−6)x+4m +4m−10a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (−∞; 2)

( ) 0, 0

⇔ ≤ ∀ <

000000

a a

S P

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng

- 11

Trang 12

(2;+∞) ⇔ f x( ) 0,≤ ∀ ∈x (2;+∞)

0' 0

a a

S P

*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài

toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự hứng thú đối với học sinh.

*Bài toán 3: Cho hàm số :

Trang 13

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (−∞; )α

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ;α +∞)

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; )α β

0( ) 0

ad

ad I

f S

αα

g x h m x e

[ ; )

( ) ( ),

e d

g x h m x e

( ) ( )

[ ; ]

;( ) ( ), ( ; )

;

e d

g x h m x e

Trang 14

0( ) 0

ad

ad II

f S

αα

000

a

a ii

S P

000

a

a iii

S P

Trang 15

(III)

000( ) 0

( ) 0

00( ) 0( ) 0

ad

ad f S f S

ad f f

ααββ

αβ

*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với

cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2;+∞).

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

Trang 16

0' 0

9

Kết luận: Vậy m≤9thì hàm số (2) đồng biến trên (−∞ −; 1)

0' 0

Trang 17

' 0

(1) 02.1 0(2) 02.2 0

*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài

toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều.

*Bài toán 4: Cho hàm số :

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (−∞; )α

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;α +∞)

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )α β

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

0( ) 0

ad

ad I

g x h m x e

Trang 18

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ;α +∞)

[ ; )

( ) ( ),

e d

g x h m x e

( ) ( )

[ ; ]

;( ) ( ), ( ; )

;

e d

g x h m x e

0( ) 0

ad

ad II

f S

αα

000

a

a ii

S P

Trang 19

' 0, ( ; )

( ; )( ) 0, ( ; ) ( )

( ) 0

00( ) 0( ) 0

ad

ad f S f S

ad f f

ααββ

αβ

000

a

a iii

S P

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1;+∞).

Trang 20

' 0' 0( )

(1) 02.1 0

I

f S

00

i

S P

m m m

(1) 02.1 0

II

f S

00

ii

S P

m m m

Trang 21

P

S P

P

S P

Trang 22

g t

⇔ = có hai nghiệm t 1 ,t 2thõa mãn : t1< <t2 0

' 000

S P

Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các

nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực α Nhưng với cách làm trên ta đã

đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0 Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương

tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

Trang 23

P

S P

P

S P

- 23

Trang 24

Kết luận: Không có giá trị nào

của m thõa mãn yêu cầu của bài

toán

d) Hàm số(1) có hai cực trị x 1 , x 2 thõa mãn :

x <x < .( ) 0

g t

⇔ = có hai nghiệm t 1 ,t 2thõa mãn : t1< <t2 0

' 000

S P

Kết luận: Không có giá trị nào của m thõa

mãn yêu cầu của bài toán

S P

Trang 25

và g( e ) 0

− − ≠

0' 0( )

00

P i

S P

và g( e ) 0

− − ≠

- 25

Trang 26

( ) 0' 0( )

( ) 0

af II

af S

α

αα

00

P ii

S P

af S

αα

S P

Trang 27

phương trình f x( ) 0= có nghiệm trong

khoảng (−∞;1) (I) và f(2 ) 0m ≠ (I’)

(I)

(1) 0' 0(1) 02.1 0

Txđ : D = R\{2m}

2

4'

g t = có nghiệm t < 0 (i)

và g m(2 − ≠1) 0(i’).

0' 0( )

00

P i

S P

(1;+∞)khi và chỉ khi :

phương trình f x( ) 0= có nghiệm trong

khoảng (1;+∞) (I) và f(2 ) 0m ≠ (I’)

b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng (1;+∞)khi và chỉ khi phương trình :( ) 0

g t = có nghiệm t > 0 (i)

và g m(2 − ≠1) 0(i’).

- 27

Trang 28

(I)

(1) 0' 0(1) 02.1 0

00

P i

S P

phương trìnhg t( ) 0= có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : t1 < <0 t2(iii)

phương trìnhg t( ) 0= có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : t1 < <t2 0(iv)

và g m(2 − ≠1) 0(i’).

- 28

Trang 29

(IV)

' 0(1) 02.1 0

af S

S P

a) Đồng biến trên khoảng (−∞;1).

b) Đồng biến trên khoảng (1;+∞).

c) Đồng biến trên khoảng (1; 2)

Bài 2: Cho hàm số : y = 1( 2 ) 3 ( ) 2

3 m − x + m− x − x+ (1) (m≠ ±1)

Tìm các giá trị của m để hàm số (1):

a) Nghịch biến trên khoảng (−∞;1).

b) Nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2;+∞)

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1;+∞).

- 29

Trang 30

Trang 31

Giải bài tốn về tính đơn điệu, cực trị khi khơng sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

KẾT QUẢ

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài tốn tưởng chừng như khơng thể giải quyết nếu khơng cĩ cơng cụ là định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằng cách ứng dụng đạo hàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et Chính vì các em nhận thấy với mỗi bài tốn nếu ta chịu tìm tịi sang tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích nên rất hứng thú với mơn học do dĩ mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học là học sinh yếu, TB nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh TB, khá và giỏi, trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Khi tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đã cĩ em đạt giải điều mà nhiều năm trước đây đã khơng đạt được, Cụ thể:

1) Kết quả học tập bợ mơn:

2008-2009

2009-2010

2) Kết quả thi HSG cấp tỉnh:

Năm học Kết quả thi HSG cấp tỉnh lớp 12

Giải nhất Giải nhì Giải ba Giải khuyến

Trang 32

BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học Từ những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại

đa số các em học sinh đều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10 đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng toán trong chuyên đề này đã trình bày các

em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10, ngay cả các em học sinh lớp

12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn Từ thực tế đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vận dụng, khai thác một số dạng toán có chứa tham số, quy lạ về quen nên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm:

“ Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2”

Rất mong sự góp ý của quý thầy, cô

Nhận xét và xếp loại của tổ chuyên môn

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	1,38 MB