SANG KIEN KINH NGHIEM 2011

"Rốn luyện giải toỏn cho học sinh thụng qua bài toỏn giải phương trỡnh nhờ hệ phương trỡnh"Sở giáo dục&đào tạo thanh hoá Trờng thpt tĩnh gia IV thanh hoá Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài "

Trang 1

"Rốn luyện giải toỏn cho học sinh thụng qua bài toỏn giải phương trỡnh nhờ hệ phương trỡnh"

Sở giáo dục&đào tạo thanh hoá

Trờng thpt tĩnh gia IV thanh hoá

Sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài

"Rốn luyện giải toỏn cho học sinh thụng qua bài toỏn

giải phương trỡnh nhờ hệ phương trỡnh"

Giáo viên: MAI TIẾN LINH

Trang 2

"Rốn luyện giải toỏn cho học sinh thụng qua bài toỏn giải phương trỡnh nhờ hệ phương trỡnh"

- Khỏt vọng và quyết tõm giải được bài toỏn là nhõn tố chủ yếu của quỏ trỡnh giảimọi bài toỏn.Đối với những bài toỏn mà đó biết trước được phương phỏp giải thỡbài toỏn đú chưa thực sự thu hỳt được tõm trớ và quyết tõm giải đến cựng

- Rốn luyện giải toỏn cho học sinh nú bao gồm cả hai nội dung chớnh sau.Một làrốn luyện khả năng tỡm lời giải.Hai là rốn luyện kỹ năng giải bài toỏn ,trong quỏtrỡnh rốn luyện, hai nội dung trờn cú thể tiến hành đồng thời nhưng cũng cú khitỏch thành 2 quỏ trỡnh riờng biệt.Người giải toỏn cần nhận thức rừ ý nghĩa và tỏcdụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đú

- Với bài toỏn giải phương trỡnh mỗi dạng toỏn thỡ cú một phương phỏp giải khỏcnhau.Việc giải phương trỡnh đặc biệt là phương trỡnh chứa căn thường gõy ranhiều khú khăn phức tạp đối với học sinh nhất là học sinh yếu, kộm bởi lẽ nếugiải bài toỏn bằng phương phỏp nõng lờn lũy thừa để làm mất dấu căn thỡ dẫn đếnphương trỡnh bậc cao và khụng biết cỏch giải.Tuy nhiờn nếu biết cỏch đặt ẩn phụmột cỏch thớch hợp thỡ cú thể chuyển phương trỡnh chứa dấu căn về hệ phươngtrỡnh hai ẩn nờn sử dụng được cỏch giải quen thuộc.Thụng qua bài toỏn này cú thểrốn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương trỡnh và giải hệ phương trỡnh

2 Thực trạng của vấn đề

- Đối với chơng trình toán THPT phần giải phơng trình vô tỷ là một phần toán khó

đòi hỏi học sinh phải t duy nhạy bén và có kỹ năng giải bài tập linh hoạt Mà ở

đây phần lớn các em thờng rất ngại làm những bài tập dạng này lý do là biến đổi

nó phức tạp và việc tìm ra đợc phơng pháp giải tổng quát là không có, tùy vàodạng toán mà có các phơng pháp giải khác nhau.Cho nên khi đa ra các bài tập liênquan đến phơng trình dạng này phần lớn các em không làm đợc hoặc có làm đợcnhng đáp số lại sai.Do vậy để giúp các em giải quyết tốt phần bài tập này tôi nghĩcần phải đa ra một hệ thống bài tập và các phơng pháp giải cơ bản trong phạm vi

kiến thức toán các em đã đợc học Do vậy tụi làm đề tài : '' Rốn luyện giải toỏn cho học sinh thụng qua bài toỏn giải phương trỡnh nhờ hệ phương trỡnh '' dành

cho học sinh cuối cấp chuẩn bị cho thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng Với sángkiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phơng pháp giải bài tập toán , giúp các

em có đợc một số kỹ năng, kỹ xảo khi làm bài tập

3 Giải phỏp

Trang 3

"Rèn luyện giải toán cho học sinh thông qua bài toán giải phương trình nhờ hệ phương trình"

- Ý tưởng của phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế là sửdụng các phép biến đổi tương đương hay phép biến đổi hệ quả để đưa đến mộtphương trình chỉ còn một ẩn số Tuy nhiên trong đề tài này tôi xin đưa ra quytrình ngược lại tức là các phương trình đã cho tuy có 1 ẩn, nhưng tính chất phứctạp của chúng Để bài toán có thể dễ giải hơn, ta chỉ còn cách phát hiện ra ẩn phụ

để chuyển việc giải bài toán một phương trình một ẩn phụ khó giải thành hệphương trình nhiều ẩn nhưng dễ giải hơn Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán

mà việc giải phương trình dẫn đến giải hệ phương trình

B.Giải quyết vấn đề :

1 Cơ sở lý luận của phương pháp

• Kiến thức cơ bản mà khi học phần này cần nắm được

- Phương pháp giải phương trình bậc 2, bậc 3( Trong trường hợp tìm được một nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ), phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit,bất phương trình bậc nhất, bậc 2 và tập xác định của hàm số (chứa căn chẵn)

- Sử dụng thành thạo các phép biến đổi cơ bản

• f x( ) = g x( ) ⇔ f x( )=g x( ) 0≥

•

2

( ) ( )( ) ( )

Trang 4

• Phương pháp giải hệ đối xứng loại II

Bước 1 : Trừ 2 vế của 2 phương trình trong hệ bao giờ cũng thu được phương

Bước 2 : Giải hệ cho từng trường hợp

2 Nội dung chính của đề tài

n

n n n

Trang 5

• Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -3, x = 6

Bài 2: Giải phương trình sau : 3 x− −1 3 x− =3 3 2

Giải :Đặt u= 3 x−1 , v= 33− ⇒ + = − + −x u3 v3 (x 1) (3 x).Khi đó ta có hệ phương

00

2

u v

u uv

u

x v

• Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 3, x = 1

Bài 3 : Giải phương trình sau 3 x− −1 3 x− =3 3 2

Giải :Đặt u= 3 x−1, v= 3 x−3 Khi đó ta có hệ phương trình

Trang 6

• Với u = 3 2 ⇒ =v 0, phương trình có nghiệm : x = 3

• phương trình (5) có ∆ = 3 4 16 4− 3 = −15 4 03 < nên phương trình (5) vô nghiệm

• Vậy phương trình có 1 nghiệm : x = 3

Dạng 2 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương

trình thông thường là hệ đối xứng.Để giải các bài toán loại này ta tiến hành các bước sau

• Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

Bước 2 : Biến dổi phương trình về dạng : f[x, ( )ϕ x ] = 0

Bước 3 : Đặt t = ( )ϕ x ta biến đổi phương trình thành hệ phương trình

( )( , ) 0

Trang 7

Đặt t = 2−x (t 0)≥ ⇒ x= −2 t2.(*) Khi đó ta có hệ phương trình sau

x

x x

=

 = −

Trang 8

Bài 6 : Giải phương trình sau : 2 33 x− +2 3 6 5− x − = ∀ ∈8 0 x R (Đề thi đại

học và cao đẳng khối A năm 2009)

Giải :Điều kiện : 6

5

x≤ (*)Đặt u= 3 3x−2 , v= 6 5 ,v 0− x ≥ (1).Khi đó ta có hệ phương trình sau

vào (1) ta được nghiệm : x = -2 (Thỏa mãn (*)

Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = -2

Bài 7 : Giải phương trình sau: 45x+71−4 5x+ =6 1

x x

x

 ≥ −

+ ≥

Trang 9

Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 2

Bài 8 : Giải phương trình sau : 4 x + 497− =x 5 (1)

Giải : Tập xác định : 0≤ ≤x 97(*)

Đặt u= 4 x , v=4 97−x.Khi đó phương trình (1) đưa về hệ phương trình sau

u v

• Với u = 2 ⇒ 4 x = ⇔ =2 x 16(Thỏa mãn điều kiện (1))

• Với u = 2 ⇒ 4 x = ⇔ =3 x 81( Thỏa mãn điều kiện (1))

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 16 và x = 81

Trang 10

Bài 9 : Giải phương trình sau : x2− x+ =5 5 (1)

Giải :Đặt x− =5 y (y 0)≥ (*)

Điều kiện : x + 5 0≥ ⇔ ≥ −x 5 (*).Khi đó phương trình (1) chuyển thành hệ

phương trình

2 2

2

x x

x= + thỏa mãn điều kiện (1)

• Với x + y + 1 = 0 ⇔y = -x -1 thay vào (*) ta có phương trình : x2 +x - 4

= 0 ⇔

2

x x

x= − − thỏa mãn điều kiện (1)

• Vậy phương trình có 2 nghiệm : 1 21

Trang 11

Đặt ẩn phụ : 1−x2 =t (t 0)≥ Phương trình (1) chuyển thành hệ phương trình sau

2

t

t t

Trang 12

2x 2x 5 y (4)2y 2y 5 x (5)

x y=





Trang 13

• Khi x = y (2) ⇔2x2 - 3x - 5 = 0 ⇔

1

55

22

x

x x

4

1 3 54

y

y y

=



 = −



• Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x = 0 ; x = -2 ; x = 6 ; x = -8

Bài 14 : Giải phương trình sau : 2x2 −6x+ =5 33 x2 −3x+2(1)

Giải :Đặt t = 3 x2 −3x+2 (2)⇒ =t3 x2 −3x+ ⇒2 2x2 −6x+ =5 2t3+1

Trang 14

Trang 15

• u = v = -2 ⇔x = 1

• Kết luận : Nghiệm của phương trình là : x = 1

Bài 16 : Giải phương trình sau : 3 x− +2 x+ =1 3 (1)

Giải :Điều kiện : x≥ −1(*)

• Kết luận : Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

Bài 17 : Giải phương trình sau : sinx+ 2 sin− 2x +sinx 2 sin− 2x =3(1)

Giải : Đặt u = sinx với điều kiện : 1− ≤ ≤u 1, v = 2 sin x− 2 với điều kiện 1≤ ≤v 2(*).Khi đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình sau :

1 1

Trang 16

Khi đó phương trình (1) trở thành

22

8 18

9

8

u v

• Kết luận phương trình có 2 nghiệm : x = 1 và x = 4

Bài 15 : Giải phương trình sau 22x − 2x + =6 6(1)

Giải :Đặt 2x = u ( u > 0 )

(1) ⇔ u2 − u+ =6 6

Đặt v= 2x +6 (v ≥ 6)⇒ = +v2 u 6 Khi đó ta có hệ phương trình

2

2 2 2

6

1 06

Trang 17

• Kết luận : Nghiệm của phương trình là x=log 32 , log2 1 21

2

Bài 20 : Giải phương trình sau 27x + =2 3 33 x+ 1−2 (1)

Giải :Đặt u = 3x , u > 0, phương trình (1) Trở thành u3 + =2 3 33 u−2 (2)

• Kết luận : nghiệm của phương trình là x = 0

Bài 21 : Giải phương trình sau 3 2 log− x = −1 logx−1

Trang 18

"Rèn luyện giải tốn cho học sinh thơng qua bài tốn giải phương trình nhờ hệ phương trình"

3

10 3

( Thỏa mãm điều kiện (*))

Kết luận : phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm x = 100, x = 10, x = 1010

C Kết luận :

I Kiểm nghiệm lại kết quả:

1 Kết quả của biện pháp mới:

Ban đầu học sinh chưa làm quen được phương pháp mới, các em còn nhút nhát,thụ động, đợi đến giáo viên gọi thì các em mới phát biểu Và các em không tựmình phân tích được bài giải mà phải có sự gợi ý của giáo viên nên kết quảtiết dạy không cao Dần về sau học sinh hoạt động tích cực và có tính tự giác,các em mạnh dạn đứng lên phân tích và tự mình trình bày bài giải một cáchlogíc, có khoa học

2 Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:

a Đối với bản thân:

- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỷ về kiến thức chuyên môn và các kiến thứcliên quan đến bài dạy Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dầntheo thời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên mônvững vàng

- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên cónhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống

b Đối với học sinh:

- Học sinh học môn không còn gò bó theo khuôn mẫu, mà các em phát huyđược tính cực, độc lập, sáng tạo trong học tập

- Học sinh học môn từ những bước đi cơ bản vững chắc, dẫn đến đam mê, rồi

Trang 19

c Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:

Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được Vàđặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh Nên tôi đã đemphổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp quí báu và đã mạnhdạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã manglại thành công

3 Nguyên nhân thành công và tồn tại:

a Nguyên nhân thành công:

- Bản thân, đã có sự đam mê môn tốn học từ lúc khi còn ngồi dưới ghế nhàtrường phổ thông

- Được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình của các anh em đồng nghiệptrong tổ chuyên môn

- Lớp tôi phụ trách phần lớn học sinh đều có tinh thần vượt khó, tự giác họctập

b Tồn tại:

- Các bài toán có liên quan đến căn thức nên các em khơng cĩ mấy hứng thú vì

nĩ khĩ và khơng cĩ định hướng trước để giải được nĩ

- Các bài toán liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau địi hỏi các em phải cĩkiến thức vững vàng về phương trình và hệ phương trình nắm được các phươngpháp giải cơ bản các

4 Bài học kinh nghiệm:

Đối với các bài toán địi hỏi cần phải cĩ sự tư duy như các dạng tốn ở trên, thìhọc sinh đôi lúc phân tích hướng giải không đúng với ý đồ của giáo viên Khiđó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em, sau đóchỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra

Trang 20

Theo phương pháp trên làm cho học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực vàgiải quyết vấn đề một cách sáng tạo có khoa học Kết quả thu được góp phầnkhông nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành giáo dục đề ra

Tơi xin chân thành cảm ơn

1 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn

đại số sơ cấp - Nhà xuất bản Hà Nội

Trần Phương - Lê Hồng Đức

2 Các dạng tốn luyện thi đại học - Nhà xuất bản Hà

Nội

Phan Huy Khải

3 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ,

logarit - Nhà xuất bản Hà Nội

Lê Hồng Đức

4 Tuyển chọn theo chuyên đề Tốn học và tuổi trẻ

quyển 1,2,3,4 - Nhà xuất bản giáo dục

Nhiều tác giả

5 Chuyên đề nâng cao đại số THPT - Nhà xuất bản giáo

dục

Phạm Quốc Phong

Trang 21

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	664 KB