Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn V.. Tìm giá trị nhỏ nhất của t.. Gọi S là tổng diện tích của 9 hình vuông này... Khi 2p + 1 là số chính phương thì đó là s
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 24-6-2011
Môn : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
19
19 0
x y xy
x y
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y ax a
Xác định tham số a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn:
1 1
1
x x
Bài 3: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình : x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 1 x
b) Tìm các số nguyên tố p sao cho hai số 2(p + 1) và 2(p2 + 1) là hai số chính phương
Bài 4: (2 điểm)
Cho hai đường tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (S) tại C, tiếp xúc với đường tròn (T) tại E và sao cho khoảng cách
từ A đến lớn hơn khoảng cách từ B đến
a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua đường thẳng
Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn (V)
b) GọiR S, R T và R Vlần lượt là các bán kính của các đường tròn (S), (T) và (V) Chứng minh rằng: 2
S T V
R R R
Bài 5: (2 điểm)
a) Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
x + y + z + t = 8 và xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18
Tìm giá trị nhỏ nhất của t
b) Cho 9 hình vuông có các độ dài cạnh tính bằng mét là n + 1, n + 2, n + 3,
n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9, với n là số nguyên dương Gọi S là tổng diện tích của 9 hình vuông này
Có hay không một hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là một số nguyên mét?
- HẾT -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC
HỌC THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 24-6-2011
Môn : TOÁN CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 (2đ)
Giải hệ phương trình : 2 2
3 3
Với S = -1 và P = -6, ta có x và y là các nghiệm của phương trình: t2 t 6 0
Giải ra : t1 3;t2 2
0,50
Bài 2
(1,5đ)
Cho parabol (P):y x 2và đường thẳng (d):y ax a Xác định tham số a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2thỏa mãn:
1 2
1
x x
Lúc đó x1, x2 khác 0
1 2
1
(x x ) 2 x x 2x x x x (**)
0,25
nên (**) trở thành: a a a 0 Kết hợp với > 0, ta có: a > 4 0,25
Bài 3 (2đ)
Câu 3a
(1đ5) Giải phương trình : x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 1 x
x
0,25
x
0,25
Câu 3b
(1đ) Tìm các số nguyên tố p sao cho hai số 2(p + 1) và 2(p2 + 1) là hai số chính phương
Khi 2(p + 1) là số chính phương thì đó là số chính phương chẵn và p là số nguyên tố
lẻ Đặt: 2(p + 1) = (2x)2 và 2(p2 + 1) = (2y)2 , với x, y nguyên dương, 0 < x < y < p
0,25
Ta có : 2(y2 - x2 ) = p(p - 1) nên 2(y - x)(y + x) chia hết cho p
Do p lẻ và 1 < y – x < p, 1 < y + x < 2p nên phải có y + x = p (a)
Lúc này: 2(y - x) = p - 1 (b)
0,5
Trang 3Từ (a) và (b), ta có p + 1 = 4x Do đó: 2(4x) = 4x2 Suy ra x = 2 và p = 7
Bài4 (2đ) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn (V)
Câu 4a
(1,25đ)
Câu 4b
(0,75đ) Chứng minh rằng: R RS T RV2
Hai tam giác VCS và TEV đồng dạng nên :VC
TE =
SC
VE hay SC.TE = VC.VE
Mà SC = R S , TE = R T , VC = VE = R V nên : R S R T = (R V)2
0,25
Bài 5 (2đ)
Câu 5 a
(1đ) Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn đồng thời các điều kiện: x + y + z + t = 8 và
xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18 Tìm giá trị nhỏ nhất của t
2(x + y + z )2 = 2( x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2zx )
= (x - y)2 + (y - z)2 +(z - x)2 + 6(xy + yz + zx) 6(xy + yz + zx)
0,25
Do đó: 2(8 - t)2 6[18 - t(8 - t)] t2 - 4t - 5 0 (t - 2)2 9 -1 t 5 0,25
Câu 5 b
(1đ) Cho 9 hình vuông có các độ dài cạnh tính bằng mét là n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6,
n+7, n+8, n+9, với n là số nguyên dương Gọi S là tổng diện tích của 9 hình vuông
này Có hay không hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là một số nguyên
mét?
Giả sử tồn tại hình vuông diện tích bằng S và có độ dài cạnh là a (a
(n+1)2 + (n+2)2 + (n+3)2 + (n+4)2 + (n+5)2 + (n+6)2 + (n+7)2 + (n+8)2 + (n+9)2 = a2
0,25
Hay : 9n2 + 90n + 285 = a2 Chú ý 9n2 + 90n + 285 là số nguyên chia cho 9 dư 6 0,25
A
B
D
E C
V
T S
Trang 4Số chính phương a2 chia cho 9 chỉ có thể dư 0; 1; 4; 7 Ta gặp mâu thuẩn 0,25
