Chuyên đề: PT, BPT Vô Tỷ

☞ Một số phương pháp giải các hệ phương trình đặc biệt... Tóm tắt lý thuyết Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ - phương pháp lũ

☞ Phương trình và bất phương trình vô tỷ

☞ Ba loại hệ phương trình cơ bản

☞ Một số phương pháp giải các hệ phương trình đặc biệt

-2-

Chủ đề 1 Phương trình và bất phương trình vô tỷ

Loại 1 Phương pháp lũy thừa

A Tóm tắt lý thuyết

Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình

vơ tỷ - phương pháp lũy thừa Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này

I Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ

-4-

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình x3  2x  5  2x 1    1 .

Ta thấy x   1 3 khơng thỏa mãn điều kiện

  3 Vậy tập nghiệm của   1 là  1;1  3 

Ví dụ 2 [ĐHD06] Giải phương trình 2x 1   x2 3x 1   0   1

Giải

 

2 2

-5-

Ví dụ 3 Giải phương trình 2x 1   x  4  x  5  2 x   4    1 .

Giải Điều kiện: x  4 Ta cĩ

 1  3x   3 2 2x 1 x   4  3x   3 2 x  5 2 x   4 

 2 2x 1 x   4  2 x  5 2 x   4   2x 1 x   4  x  5 2 x   4 

  2x 1   x  4   2 x   5   x  4    9x  36  0  x  4

Ta thấy x  4 thỏa mãn điều kiện để   1 cĩ nghĩa    1 cĩ nghiệm duy nhất x  4

Ví dụ 4 Giải phương trình x  7  4x 1   5x  6  2 2x  3 (1).

Giải Điều kiện: 3

Hai phương trình: f (x)  g(x) và f (x)2  g (x)2 nĩi chung là khơng tương đương Vì lý do này mà trong ví dụ nĩi trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại

Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng Trong ví dụ nĩi trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được

9x  5 ở hai vế

-7-

Ví duï 6 [ĐHB06] Tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm phân biệt

 2

  2 là phương trình bậc hai có    4 m  2 12  0  m    2 luôn có hai nghiệm phân

biệt x1 , x2 Theo định lý Vi-ét thì  

4   2, m  2: x  2

-11-

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ

A Tóm tắt lý thuyết

Dùng ẩn phụ là một phương pháp thơng dụng để giải phương trình nĩi chung và phương trình vơ tỷ nĩi riêng Đối với phương trình vơ tỷ, phương pháp này cĩ thể được phân loại như sau

☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ

☞ Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn

-12-

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình

* Trước hết, ta tìm điều kiện để  2 có nghiệm

Xét hàm f x  5  2x  x 2 Ta có f x  6 x  12 Ta thấy f x  0  x , dấu bằng xảy

ra  x    1 6 ; f x  6  x , dấu bằng xảy ra  x   1 Do đó tập giá trị của hàm f

Điều kiện phương trình f x  m  * có nghiệm:

☞  * có nghiệm  đường thẳng y  m có điểm chung với đồ thị hàm số y  f x 

☞  * có nghiệm  m thuộc tập giá trị của hàm số y  f x 

Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình có nghiệm Về việc tìm tập giá trị của hàm số y  f x , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a , đạt giá trị lớn nhất là

M tại b và f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a , b thì tập giá trị của f là

m;M

-14-

Ví dụ 3 Giải phương trình 2 1  x x 2  2x 1   x 2  2x 1   1

Giải Đặt t  x 2  2x  1  2 ,  1 trở thành:

-15-

Ví dụ 4 Giải phương trình x 35 3  x 3   x  3 35  x 3    30  1

Giải Đặt t  3 35  x 3  t 3  35  x 3  x 3  t 3  35  2

Vậy tập nghiệm của  1 là 2;3

Chú ý: Định lý Vi-ét đảo

-16-

Ví dụ 5 [ĐHA09] Giải phương trình 2 3x 3  2  3 6  5x  8  0  1

Giải Đk: 6  5x  0  6

5u 15x 10 3v 18 15x

Thay u   2 vào  2a , ta được 3 3x  2   2  3x  2   8  x   2

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x   2

Bài 2 Cho phương trình 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m

1) Giải phương trình với m  3

2) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm

ĐS: 1)  3, 6 2) 6 2 9

m 3 2

-20-

Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích

Nhân tử chung cĩ thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản Việc sử dụng biểu thức liên hợp đơi khi cho ta lời giải bất ngờ

Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:

☞ Biểu thức liên hợp của a  b là a  b :

B Một số ví dụ

x 0

x 3

x 2 x

x 0

x 3 x

x 0

x 3

x 2 x

 x  1 (thỏa mãn điều kiện để  1 có nghĩa)

Vậy  1 có nghiệm duy nhất x  1

-24-

Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt

A Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD05] Giải phương trình 2 x   2 2 x  1  x  1  4  1

Giải Đk: x   1 0  x   1  2

Ta cĩ x  2  2 x  1   x   1 12  x   1 1  x  1  1

Do đo  1  2 x  1  1 x  1  4  x  1  2  x   1 4  x  3 (thõa mãn  2 ) Vậy  1 cĩ nghiệm duy nhất x  3

Ví dụ 2 Giải phương trình x 3 4x 4 x   1

x 3

Giải Đk: x  0  2

 1   x  3   4x 4 x x   3  0   x  3  2 x2  0  x  3  2 x  0

 x  3  2 x  x  3  4x  x  1 (thỏa mãn  2 )

Vậy  1 cĩ nghiệm duy nhất x  1

Ví dụ 3 Giải phương trình 4x   1 4x 2  1  1

x x x