Bài tập hàm số lượng giác

Ôn tập hàm số lượng giác VD2.. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a... Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a.

Trang 1

Ôn tập hàm số lượng giác VD2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a y = 3 + 2sinx b y =

4

cos 3

2  2x c y = 2 sin 3x 5

Giải

a Vì -1  sinx  1 nên -2  2sinx  2 do đó 13 + 2sinx 5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1

 x =  k

2 , k Z

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1

 x = -  k

2 , k Z

b Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó 21 

4

cos 3

2  2 x



4

5

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

4

5

, đạt được khi cosx = 1

 x = k , k Z

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 21 , đạt được khi cosx = 0

 x =  k

2 , k Z

c Vì -1  sin3x  1 nên 3  2sin3x +5  7 do đó 3  2sin3x  5  7

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi sin3x = 1

 3x =  k

2 , k Z  x = 6 k3, k Z

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin3x = -1

 3x = - k

2 , k Z  x = -6 k3, k Z

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)

Cách giải

Chia hai vế phương trình (1) cho a 2 b2 ta được

2 2 2

2 2

b a

c x

b a

b x b

a







2 2 2 2



b b

a

) Đặt cos 2 2

b a

a





b







Pt (2) trở thành: cos sinx + sin cosx = a2 b2

c



Trang 2

 sin(x +  ) = 2 2

b a

c

 (3) Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý:

 Pt (1) có nghiệm  pt(3) có nghiệm  1

2

b a c

 a2 + b2 c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 c 2

 sinx  cosx = 2sin(x 

4



)

4 Phương trình asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x = d

Cách giải

Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)

asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d

 a.1 cos2 2x + b.sin x22 + c.1cos2 2x= d

 bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c

Cách 2:

Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x 0 ta được phương trình bậc hai:

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

 (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0

B Ví dụ và bài tập

VD1: Giải các phương trình sau:

a 2sinx – 2= 0 b 2tanx – 5 = 0

c ( 3cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d 2sin2x – sin2x = 0

Giải

a 2sinx – 2= 0  2sinx = 2  sinx =

2

 sinx = sin

4



2 4

2

k x

k

x





















2 4 3

2

k x



















Vậy nghiệm của phương trình là: ( )

2 4 3

2

k x



















b 2tanx – 5 = 0  2tanx = 5  tanx = 25  x = arctan52 + k (kZ)

Trang 3

Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan52 + k (kZ)

c ( 3cotx – 3)(2cosx –1) = 0  













) 2 ( 0 1 cos 2

) 1 ( 0 3 cot 3

x x

(1)  3cotx = 3  cotx = 3  cotx = cot6  x = 6 + k (kZ) (2)  2cosx =1  cosx = 12  cosx = cos3

2 3

2

k x





















2 3

6

Z k k

x

k x

























d 2sin2x – sin2x = 0

 2sin2x – 2sinx.cosx = 0  2sinx(sinx – cosx) = 0

 







0 cos

sin

0

sin

x x

x

 



x x

k x

cos sin



 









) 2 sin(

k

x



2 2

Z k k x x

k x

















4

Z k k

x

k

x















4

Z k k x

k x















Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 4sinx – 3 = 0 b 3cotx + 3= 0 c 1 - 3tan(5x + 200) =0

d 2cos3x + 1 = 0 e sin(3x + 1)= 4 f cos(x + 25 )= 3

g (2cosx + 2)(tan(x +100) - 3) = 0 h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0

i 8sinx.cosx.cos2x = 3 j sin2x +2cox = 0 k tan(x +1) – 2008=0

l 3tan2x + 3tanx = 0 m 4sin2x – sin22x = 0 n 3- 2sin3x = 0

Trang 4

p cot(x + 4 ) = 1 q cos2(x – 300) = 43 r 8cos3x – 1 = 0

Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:

a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x + 4 ) = -1c 0

2 cos 1

2 sin



x

a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0

c 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d tan4x + 4tan2x - 5 = 0

Giải

a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0

Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:

2t2 – 5t -3 = 0 











) (

2 1

) ( 3

nhân t

loai t

Với t = - 21 ta được

sinx = - 21  sinx = sin(-6 )  ( )

2 6 7

2

k x





















2 6 7

2

k x





















b cot22x – 4cot2x -3 = 0

 







 3 2 cot

1 2 cot

x

3 cot 2

1 cot 2

Z k k arc

x

k arc

x



















2 3 cot 2

1

2 1 cot 2

1

Z k k arc

x

k arc

x



















2 3 cot 2

1

2 1 cot 2

1

Z k k arc

x

k arc

x



















c 2cos2x +3sinx - 3 = 0

 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0

 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0

 2sin2x – 3sinx + 1 = 0

 







2

1 sin

x x

Trang 5

Với sinx = 1  x = 2 ( )

2 k  kZ



Với sinx = 21  sinx = sin6  ( )

2 6 5

2

k x



















2 2

2 6 5

2 6

Z k k

x

k x























d tan4x + 4tan2x - 5 = 0













) ( 5 tan

1 tan

2

loai x

x

 tanx  1  ( )

x    

Vậy nghiệm của pt là: ( )

x    

a 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b 4sin2x – 4sinx – 3 = 0

c cot2x – 4cotx + 3 = 0 d tan2x + (1 - 3)tanx - 3 = 0

e 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f tan4x – 4tan2x + 3 = 0

g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + 5 = 0

i sin22x – 2cos2x + 43 = 0 j 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0

a 3sinx + cosx = 2 b cos3x – sin3x = 1

c 3sin2x + 4cos2x = 5 d 2sinx – cosx = 3

Giải

a 3sinx + cosx = 2

Chia hai vế pt trên cho 3 2 1 2 = 2 ta được

2

3 sinx + 21 cosx = 1

 cos

6



.sinx + sin

6



.cosx = 1  sin(x +6 ) = 1

 x + 6 = 2 + k2

 x = 3 + k2

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = 3 + k2

b cos3x – sin3x = 1

Trang 6

Chia hai vế pt trên cho 1 2  (  1 ) 2 = 2 ta được

12 cos3x - 12 sin3x = 12

 cos4 cos3x - sin4 sin3x = 12

 cos(3x + 4 ) = 12

 cos(3x + 4 ) = cos4























2 4 4 3

k x

3

2 6 3

2

Z k k x

k x

















Vậy ngiệm của phương trình trên là: ( )

3

2 6 3

2

Z k k x

k x

















c 3sin2x + 4cos2x = 5

Chia hai vế pt cho 3  2 4 2 = 5 ta được

53sin2x + 54 cos2x = 1

Kí hiệu  là cung mà sin = 54 , cos = 53 ta được

sin2x cos + sin cos2x = 1

 sin(2x +  ) = 1

 2x +  =

2



+ k2

 x = 4 - 2 + k

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = 4 - 2 + k (với sin = 54 , cos

 = 53 )

d 2sinx – cosx = 3

Ta có 22 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm

a sinx + 3cosx = 2 b 2sinx – 5cosx = 5

Trang 7

c 2cosx – sinx = 2 d sin5x + cos5x = -1

e 3sinx – 4cosx = 1 f 2sin2x + 3sin2x = 3

g sin5x + cos5x = 2cos13x h sinx = 2sin3x – cosx

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3

Giải

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x

ta được:

2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x

 tan2x + 4tanx – 5 = 0

 









 5 tan

1 tan

x

) 5 arctan(

k x





















) 5 arctan(

k x





















b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3

Áp dụng công thức hạ bậc ta được

4

2

2 cos

+ 3

2

sin x

–

2

2 cos

= 3

 sin2x + cos2x = 1

 2sin(2x +4 ) = 1  sin(2x +4 ) = 12

2 4

3 4 2

2 4 4

2

Z k k x

k x





















4

Z k k

x

k

x















4

Z k k x

k x















a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1

c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3

e 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0

Trang 8

g 3sinx.cosx – sin2x =

2

1

2  i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0

a cos3x – cos4x + cos5x = 0 b sin7x – sin3x = cos5x

c cos5x.cosx = cos4x d sinx + 2sin3x = - sin5x

e 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f sin2x – cos2x = cos4x

g 2tanx + 3cotx = 4 h cosx.tan3x = sin5x

i 2sin2x + (3 + 3)sinx cosx + ( 3- 1)cos2x = -1

j tanx.tan5x = 1

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	396 KB