toán 9 bồi dưỡng

Phương trình này không có nghiệm nguyên.. Phương trình ngày không có nghiệm nguyên... Kẻ O1M vuông góc với AB, O1N vuông góc với AC.

ĐỀ KIỂM TRA

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: Chứng minh rằng (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) nếu a, b, c cùng chẳng hoặc cùng lẻ

Bài 2: Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên:

x2 – m(m + 1)x + 3m –1 = 0

Bài 3: Biết rằng phương trình x2 – 3x +1 = 0 có nghiệm x = a Hãy tìm một giá trị b

Z để phương trình x16 – bx8 + 1 có nghiệm x = a

Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho là số hữu tỉ

a) Chứng minh rằng b2 = ac

b) Với , chứng minh rằng: P = a2 + b2 + c2 là hợp số

Bài 5: Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O, R) A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB, H là trực tâm của tam giác

a) Cho AH = R, tính góc A

b) Chứng minh rằng: OA1 + OB1 + OC1

Bài 1: Chứng minh rằng (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) nếu a, b, c cùng chẳn hoặc cùng lẻ

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x+y) , ta có:

(a + b + c)3 = a3 + (b + c)3 +3a(b + c)(a + b + c)

= a3 + b3 + c3 +3bc (b + c) +3a(b + c)(a + b + c)

= a3 + b3 + c3 + 3(b + c)(bc + a2 + ab + ac)

= a3 + b3 + c3 + 3(b + c)(c + a)(a + b)

Do đó (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) = 3(b + c)(c + a)(a + b)

Nếu a, b, c cùng chẳn hoặc cùng lẻ thì b + c 2 và c + a 2 và a + b 2

3(b + c)(c + a)(a + b) 24

(a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) .ĐPCM

Bài 2: Xác định số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên:

Lời giải:

Xét các trường hợp:

– m = 0 Phương trình (1) trở thành x2 – 1 = 0 Phương trình này có hai nghiệm

x1 = –1, x2 = 1 m = 0 thỏa mãn bài toán

– m = 1 Phương trình (1) trở thành x2 – 2x + 2 =0 Phương trình này vô nghiệm

– m = –1 Phương trình (1) trở thành x2 – 4 = 0 Phương trình này có hai nghiệm

x1 = –2, x2 = 2 m = –1 thỏa mãn bài toán

– m = 2 Phương trình (1) trở thành x2 – 6x + 5 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5 m = 2 thỏa mãn bài toán

– m = –2 Phương trình (1) trở thành x2 – 2x – 7 =0 Phương trình này không có nghiệm nguyên

– m = –3 Phương trình (1) trở thành x2 – 6x – 10 = 0 Phương trình ngày không

có nghiệm nguyên

– m = –4 Phương trình (1) trở thành x2 – 12x – 13 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x1 = –1, x2 = 13 m = –4 thỏa mãn bài toán

– m > 2 hoặc m < –4 Khi đó điều kiện cần để (1) có nghiệm nguyên là:

= m2(m + 1)2 – 4(3m –1) phải là số chính phương

Ta sẽ chứng minh rằng: (m2 + m – 2)2 < < (m2 + m + 2)2

m4 + 2m3 – 3m2 – 4m + 4 < m4 + 2m3 + m2 –12m + 4

< m4 + 2m3 + 5m2 + 4m +4

Mặt khác = m2(m + 1)2 – 4(3m –1) 4 và m(m + 1) –1, m(m + 1) + 1 là các

số lẻ nên (m(m + 1) –1)2, (m(m + 1) + 1)2

Do đó chỉ có thể xảy ra: = m2(m + 1)2 m2(m + 1)2 – 4(3m –1) = m2(m + 1)2

3m –1 = 0 Không tồn tại m nguyên thỏa mãn!

không phải là số chính phương với m > 2 hoặc m< –4

Phương trình (1) không có nghiệm nguyên với m > 2 hoặc m< –4

Kết luận: Các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên là:

m = –4, m = –1, m = 0, m = 2

Bài 3: Biết rằng phương trình x2 – 3x +1 = 0 có nghiệm x = a Hãy tìm một giá trị b

Z để phương trình x16 – bx8 + 1 có nghiệm x = a

Lời giải:

Ta có: Phương trình x2 – 3x +1 = 0 có nghiệm x = a

phương trình (x2 – 3x +1)( x2 + 3x +1) = 0 cũng có nghiệm x = a

Mặt khác:

(x2 – 3x +1)( x2 + 3x +1) = (x2 + 1)2 – 9x2 = x4 – 7x2 +1

Do đó phương trình x4 – 7x2 +1 = 0 cũng có nghiệm x = a

Lý luận tương tự, vì:

x8 – 47x4 +1 = (x4 – 7x2 +1)( x4 + 7x2 +1)

x16 – 2207x8 +1 = (x8 – 47x4 +1)( x8 – 47x4 +1)

các phương trình x8 – 47x4 +1 =0 và x16 – 2207x8 +1 = 0 đều có nghiệm x = a Lấy b = 2207 là số nguyên thỏa mãn bài toán

Bài 4: Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho là số hữu tỉ

a) Chứng minh rằng b2 = ac

b) Với , chứng minh rằng: P = a2 + b2 + c2 là hợp số

Lời giải:

a) Ta có:

ĐPCM

b) Xét các trường hợp:

– d = (a, c) >1, đặt a = dx, c = dy với x, y là các số nguyên dương và (x, y) =1

Ta có: P = a2 + b2 + c2 = a2 + ac + c2 ( theo kết quả câu a)

= d2(x2 + xy + y2) P là hợp số ĐPCM

P = a2 + b2 + c2 = a2 + ac + c2 = x4 + x2y2 + y4

= (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2) (1)

x2 – xy + y2 = (x – y)2 + xy > 1

Từ (1) suy ra P là hợp số ĐPCM

Bài 5: Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O, R) A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB, H là trực tâm của tam giác

a) Cho AH = R, tính góc A

b) Chứng minh rằng: OA1 + OB1 + OC1

Lời giải:

a) Kéo dài BO cắt (O) tại K

Vì BK là đường kính của (O) nên KA AB, KC BC

AH || CK (cùng vuông góc với BC) và CH || AK (cùng vuông góc với AB)

tứ giác AKCH là hình bình hành

CK = AH = R

Tam giác vuông BKC có BK là cạnh huyền, KC là cạnh góc vuông và

BK = 2R = 2KC nên tam giác BKC là nửa tam giác đều, hay là BKC = 600

Vậy A = 600

b) Gọi O1, O2, O3 lần lượt là các điểm đối xứng của O qua đường phân giác các góc

A, B, C của tam giác ABC

Kẻ O1M vuông góc với AB, O1N vuông góc với AC

Ta có AO1N = AOC1 và AO2M = AOB1

OC1 = ON, OB1 = OM

Mặt khác

OB1.AB + OC1.AC R.BC

(1) Chứng minh tương tự, ta được:

(2)

(3) Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

(4) Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:

Từ đó ta có:

2(OA1 + OB1 + OC1) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : 2(OA1 + OB1 + OC1) 3R