HSG Toán 8 Mới nhất

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán.. III- Phơng pháp đổi biếnBài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành n

- Biến đổi thành thạo các biểu thức nguyên

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

a – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi biểu thức nguyên

A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 –

z3] –

– [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]

= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

Ví dụ 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lời giảia) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z) Tơng tự :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx

V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)

= 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm)

4 Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4

5 Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945

13 Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 H·y tÝnh : D = a + b

14 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2

GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 3 Trêng THCS Qu¶ng §«ng

15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

C Nội dung bài giảng:

B – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 5

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1

5n 2

++ là phân số tối giản nN ;b) Cho phân số

Lời giảia) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1 Vậy phân số 3n 1

5n 2

++ là phân số tối giản.

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;… + ab; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :

29(1 + 2 + … + ab + 69) – 5.69 = 69690

Ví dụ 6 Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1

a + + =b c a b c

+ + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau Từ đó suy ra rằng :

ê + =ê

ê + =ë

ê ê

ê ë

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x).

§iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x

Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm

VÝ dô 9 Cho x 1 3

x+ = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :

2 2

Ví dụ 10 Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 ax2 b c

2n 1

+

- . b) Chứng minh rằng phân số

=+ + và

2

xN

2 3 2

n 1 n

-=

+ .a) Chứng minh rằng a1 = a5

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

F Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Néi dung bµi gi¶ng:

Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung

Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

GV: NguyÔn Quèc Huy Trang 11 Trêng THCS Qu¶ng §«ng

III- Phơng pháp đổi biến

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán chocác biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Giải

a, Giả sử thay x bởi y thì P = 2 2

( ) ( ) 0

y y z y z y 

Nh vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P

có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z) Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thìcũng chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3

đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối vớitập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y

= 1, z = 0

ta đợc k = -1

Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Ngày soạn: 13/03/2010

Tuần dạy: 28

A Mục tiêu:

- HS nắm đợc định lí Bezu và ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan đến

đa thức nh chia đa thức, tính giá trị đa thức…

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử Thực hiện

nh sau:

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm củaf(x) không

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)  (x a)p(x)

Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a

Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc Sau đó viếtkết quả cuối cùng cho hợp lí

Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất

định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đathức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau

Ví dụ: ( ) 2 2 3





ax bx x

P ; Q(x) x2  4x p

Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:

a = 1(hệ số của lũy thừa 2)

2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)

*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)

Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)

Khi đó ta có: P(x) Q(x).M(x) N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x

( là hằng số) Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số củacác hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d)

Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:

) ( ).

1 ( 2 6

3 2

3

Vỡ đẳng thức đỳng với mọi x nờn cho x = -1 ta dược:

6 0

2 6

2

a

a a

a a

*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)

x Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x) x4 9x3 21x2xk chia hết cho đa thức:

2 )

Bài 13: Cho đa thức: P(x) x4x3 x2axb và ( ) 2 2





x x x

Q Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức ( ) 4 3 1





ax bx x

2

) 1

P và Q(x) x2  xb Xác định a và b

để P(x) chia hết cho Q(x)

Ngày soạn: 20/03/2010

Tuần dạy: 29

Chuyên đề IV: xác định đa thức

A Mục tiêu:

- HS tiếp tục nắm đợc các phơng pháp cơ bản và nâng cao khi giải các bài toán về

đa thức, đặc biệt là phơng pháp NiuTơn

- Thực hiện thành thạo dạng toán phân tích này

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

Dạng 2: Phương phỏp nội suy NiuTơn

Phương phỏp:

Để tỡm đa thức P(x) bậc khụng quỏ n khi biết giỏ trị của đa thức tại n + 1 điểm

1 3

2

1 ,C ,C , ,C n

C  ta cú thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

) (

) )(

( )

)(

( ) (

2 2 18 25 9

18 25

7 25

2 2

1 1 0

b b b

Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:

25 19 )

( ) 1 ( 18

n n

S        

Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

GV: Nguyễn Quốc Huy Trang 17 Trờng THCS Quảng Đông

36 ) 2 ( 5 3 2 ) 1 ( ) 2 (

6 ) 1 ( 3 2 1 ) 0 ( ) 1

(

0 ) 0 ( 0 ) 1 ( ) 0 (

, 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 1 (

P

P P

P

P P

P

P P

4 )(

3 )(

2 )(

1 ( ) 3 )(

2 )(

1 (

3 ) 2 )(

1 (

3 0

3 1

2 3 2 3 3 36

, 3 1

2 6

, 0 0

0

4 4

3 3

2 2

1 1 0

b b

b b

b b b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

2

1 ) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2

1 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3

(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)

Bài 5: cho đa thức ( ) 2 , ( , , 0 )







ax bx c a b c x

1) Tính a, b, c theo , ( 1 )

2

1 ), 0

2

1 ), 0

không thể cùng âm hoặc cùng dương

Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:

1985 )

2 (

85 ) 1 (

19 ) 0 (







P P P

Ngày soạn: 27/03/2010

Tuần dạy: 30

A Mục tiêu:

Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chiahết, tìm số d và tìm điều kiện chia hết

2 Hiểu cỏc bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3 Cú kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán

1 Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó

có một thừa số là m

+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tốcùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số dkhi chia m cho n

Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)

=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)

Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d

Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:

- Tồn tại một bội số của 5 (nên A  5 )

- Tồn tại một bội của 7 (nên A  7 )

- Tồn tại hai bội của 3 (nên A  9 )

- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A  16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau  A 5.7.9.16=5040

Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :

a/ a3 –a chia hết cho 3

Ta xết mọi trờng hợp về số d khi chia a cho 5

Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :

+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bêntrái của số liền trên

- Nếu n lẻ thì : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 116+1=17(HĐT 9)

 A không chia hết cho 17

+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thứcNiu Tơn)

- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17

- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn,  n Nd/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứngminh quan hệ chia hết

 VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004… + ab.2004

= BS9 – 2 = BS9 + 7

Vậy 2100 chia cho 9 d 7

b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1

Ta có:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức NiuTơn)

Vậy 2100 chia cho 25 d 1

* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân

GV: Nguyễn Quốc Huy Trang 21 Trờng THCS Quảng Đông

 ( 51994)3 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625

 51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 d 15625

Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625

3 Tìm điều kiện chia hết

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị củabiểu thức B:

 1n2 – n + 1

Xét hai trờng hợp:

+ n2 – n + 1 = 1  n2 – n = 0  n(n – 1) = 0  n = 0, n = 1 thử lại thấy t/

m đề bài

+ n2 – n + 1 = - 1  n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn

 VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7

Giải:

Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1

- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k

8 – 1 = 7Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2 BS7 + 1

Ngày soạn: 04/04/2010

Tuần dạy: 31

C Mục tiêu:

Sau khi học tiếp chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể làm các bài tập chứngminh quan hệ chia hết, tìm số d và tìm điều kiện chia hết

2 Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3 Cú kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn

b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ

Giải

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4)

Với n chẵn, n = 2k ta có:

n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8

b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)

Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:

n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)

= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16

Bài 2: Chứng minh rằng

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n

Giải:

Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1

Xét các trờng hợp:

+ Với n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8+ Với n = 2k +1  A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2

8Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a  1 để chứng minh A9

Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3

 a2 là số chính phơng không chia hết cho 3 a2 chia cho 3 d 1

 a2 – 1 chia hết cho 3 (2)

Mà (3,8) = 1 (3)

Từ (1), (2), (3)  a2 – 1 chia hết cho 24

Bài 4: Chứng minh rằng:

Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7

Giải:

Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p

- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chiahết cho p

Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504

Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8

Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8

Vậy A8 , 19 9a nN (1)

+ Nếu a7  a3

7  A7 Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)Vậy A7 ,  nN (2)

+ Nếu a3  a3

9 A9Nếu a không chia hấe cho 3  a = 3k 1 a3 = ( 3k  3)3= BS91

Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4

GV: Nguyễn Quốc Huy Trang 25 Trờng THCS Quảng Đông

Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhờ khách đến thăm trờng gặphai học sinh Ngời khách hỏi:

- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?

Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thì 1 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng này là số chẵn thì

a{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999 Vậy Maisinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980

- Rèn kỹ năng suy luận lôgic, kỹ năng chứng minh hình học.

- Biết đợc mối liên hệ giữa các phơng pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio, dụng cụ vẽ hình

C Nội dung bài giảng:

1 C

ác bài toán tổng quát về đ ờng phân giác

1/ Cho  ABC vụựi AB > AC ẹieồm M ( khaực A ) thuoọc ủửụứng phaõn giaực trong vaứ

N ( khaực A ) thuoọc ủửụứng phaõn giaực ngoaứi cuỷa goực A Chửựng minh raống :

a/ AB – AC > MB – MC

b/ AB + AC < NB + NC

2/ Ba ủửụứng phaõn giaực trong AD , BE , CF cuỷa  ABC gaởp nhau taùi O Tửứ O dửùng

OG vuoõng goực vụựi BC

a/Chửựng minh goực BOD = goực COG b/Tớnh goực BOC theo A

c/Tớnh goực GOD theo goực B vaứ goực C

3/ Cho  ABC , caực ủửụứng phaõn giaực AA’, BB’, CC’ Goùi L laứ giao ủieồm cuỷa AA’ vaứ B’C’ , K laứ giao ủieồm cuỷa CC’ vaứ A’B’ Chửựng minh : BB’ laứ phaõn giaực cuỷa goực KBL

4/ Cho  ABC coự doọ daứi 3 caùnh laứ a,b,c vaứ la , lb , lc laứ ủoọ daứi 3 ủửụứng phaõn giaựcửựng vụựi caực caùnh BC , CA , AB Chửựng minh :

c b

a l l l

c b a

1 1 1 1 1 1

2

1 2

1 2

1

b c bc

c b

a

bc

c