Cơ sở giải tích lồi

Từ những công trình đầu tiên trên tập lồi của Minkowski, Hellyđến nay giải tích lồi đã trải qua gần tròn một thế kỷ hình thành vàphát triển, và hiện đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu

GIẢI TÍCH LỒI

Huỳnh Thế Phùng Đại học Khoa học, Đại học Huế

Mục lục

1.1 Tập affine 7

1.2 Tập lồi 11

1.3 Nón và Quan hệ thứ tự 14

1.4 Định lí Carathéodory 17

1.5 Định lí Hahn-Banach 18

1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính 20

1.7 Hàm cỡ 22

1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ 25

Bài tập 28

Chương 2 Không gian tôpô lồi địa phương 31 2.1 Không gian tôpô 31

2.2 Không gian vec-tơ tôpô 37

2.3 Không gian tôpô lồi địa phương 42

2.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất 45

2.5 Không gian tích - Phần bù tôpô 47

2.6 Sự liên tục của hàm cỡ - Nửa chuẩn 50

2.7 Các tính chất tôpô của tập lồi 52

2.8 Nón lùi xa của tập lồi 57

Bài tập 59

Chương 3 Không gian liên hợp 61 3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 61

3.2 Định lí Tách 62

3.3 Tôpô yếu trên X 67

3.4 Tôpô yếu* trên X ∗ 70

3.5 Cặp đối ngẫu tổng quát 74

3.6 Trường hợp không gian định chuẩn 76

3.7 Nón liên hợp 80

Bài tập 85

Chương 4 Hàm lồi 87 4.1 Định nghĩa hàm lồi 87

4.2 Các phép toán trên hàm lồi 92

4.3 Hàm nửa liên tục dưới 96

4.4 Hàm lồi liên tục 98

4.5 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine 101

4.6 Hàm tựa 103

4.7 Hàm liên hợp 106

4.8 Hàm K−lồi 111

Bài tập 113

4 Mục lục

5.1 Định nghĩa dưới vi phân 115

5.2 Mối liên hệ với khái niệm đạo hàm 117

5.3 Các phép toán qua dưới vi phân 124

5.4 Các định lí giá trị trung bình 130

5.5 Tính đơn điệu của dưới vi phân và gradient 135

Bài tập 136

Chương 6 Các điều kiện tối ưu 139 6.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất đẳng thức lồi 139

6.2 Bài toán tối ưu - Các định lí tồn tại cơ bản 145

6.3 Nón tiếp xúc và nón pháp tuyến 148

6.4 Hướng chấp nhận được và hướng giảm 158

6.5 Điều kiện tối ưu cơ bản 162

6.6 Các điều kiện tối ưu điểm yên ngựa 163

6.7 Các điều kiện tối ưu dạng điểm dừng 168

6.8 Điều kiện tối ưu dạng điểm dừng suy rộng 175

Bài tập 177

Từ những công trình đầu tiên trên tập lồi của Minkowski, Hellyđến nay giải tích lồi đã trải qua gần tròn một thế kỷ hình thành vàphát triển, và hiện đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọngcủa toán học hiện đại, ở đó xuất hiện ngày càng nhiều các kết quảđẹp mà có thể được sử dụng như các công cụ sắc bén trong việc khảocứu các lĩnh vực khác của toán học như phép tính biến phân, phươngtrình đạo hàm riêng, lí thuyết xác suất và đặc biệt là lí thuyết tối ưu.Những nhà toán học có nhiều đóng góp quan trọng vào lĩnh vực này

có thể kể đến F Berstein, A Brønsted, F Browder, C Carathéodory,

Ky Fan, W Fenchel, D Gale, E.G Goldstein, B Gr¨umbaum, P.C mer, E Helly, R Holmes, B Jensen, P.J Kelly, V.L Klee, Đ.T Lục,

Ham-H Minkowski, J.J Moreau, T.S Motzkin, J.-P Penot, B Pshenichnyi,R.T Rockafellar, S.N Robinson, E.G Strauss, H Tietze, A.W Tucker,Hoàng Tụy, F.A Valentine, D.E Varberg Một điều thú vị là, mặc dùrất gần gũi với một lĩnh vực khá trừu tượng là giải tích hàm, hầu hết cáckết quả sâu sắc trong giải tích lồi đều có liên quan hoặc phụ thuộc vàođặc điểm hình học của tập lồi, nên thường được giải thích, minh họa mộtcách sáng sủa Cũng nhờ vậy, qua giải tích lồi, nhiều kết quả quan trọngtrong giải tích hàm đã được làm sáng tỏ một cách không ngờ Giáo trìnhnày nhằm cung cấp cho độc giả những kết quả cơ bản nhất của giải tíchlồi, mà đã trở thành kinh điển của giải tích hiện đại, thông qua sự sắp xếpcủa tác giả dựa trên kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho sinh viên vàhọc viên cao học ngành toán Mặc dù phần lớn các kết quả vẫn còn đúngcho các không gian trên trường số phức, toàn bộ giáo trình này chỉ khảosát trên không gian vec-tơ và không gian lồi địa phương thực Nội dung

6 Lời nói đầu

giáo trình gồm 6 chương Chương Một trình bày các khái niệm và tínhchất của tập lồi trên không gian vec-tơ (không có tôpô) cùng các định líquan trọng như Định lí Carathéodory, Định lí Hanh-Banach và Định líTách cơ bản Chương Hai khảo sát các tính chất tôpô của tập lồi trongkhông gian lồi địa phương Chương Ba giới thiệu không gian liên hợp vàcác định lí tách tập lồi Các tôpô yếu và cặp đối ngẫu cũng được khảosát tỉ mỉ trong chương này Chương Bốn trình bày khái niệm hàm lồi, cáckết quả cơ bản về tính liên tục, hàm liên hợp, hàm tựa và các phép toántrên hàm lồi Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng các phép toántrên dưới vi phân được trình bày trong Chương Năm Các định lí giá trịtrung bình và tính đơn điệu của dưới vi phân cũng được thiết lập trongchương này Chương cuối cùng dành để khảo sát các điều kiện tối ưu sửdụng công cụ giải tích lồi Tài liệu này được viết dành cho sinh viên, họcviên cao học ngành toán và cả những nhà nghiên cứu có sử dụng công

cụ giải tích lồi Người đọc cần có các kiến thức đại số tuyến tính, tôpôđại cương và một ít kiến thức giải tích hàm trước khi đọc giáo trình này.Tuy vậy, để tài liệu mang tính độc lập tương đối, ngoại trừ các kết quả

cơ bản của tôpô đại cương ở đầu Chương Hai, hầu hết các kết quả nêutrong giáo trình đều được chứng minh chi tiết Để tạo điều kiện cho ngườiđọc củng cố kiến thức và tự mình khám phá sâu hơn, rãi rác trong từngchương và cuối mỗi chương chúng tôi có đưa thêm các bài tập, mà một sốtrong chúng có thể được sử dụng lại như những bổ đề để chứng minh cáckết quả khác Vì tính sư phạm, phần lớn các bài tập cho không gian vô

hạn chiều chỉ sử dụng các không gian l p Người đọc có kiến thức tốt về líthuyết độ đo có thể dễ dàng phát biểu lại các bài tập này trên các không

gian L p(Ω) tương ứng và giải Một số hình vẽ minh hoạ trong tài liệu cũngnằm trong nỗ lực của chúng tôi nhằm làm cho người đọc trực nhận vấn

đề nhanh hơn Mặc dù đã cố gắng hết sức, tài liệu vẫn khó tránh khỏi cácthiếu sót Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ quý đồngnghiệp và các bạn

Tập lồi trên không gian vec-tơ

Cho X là một không gian vec-tơ trên trường số thực và x, y ∈ X, ta

kí hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) và [x, y) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y Tức là

L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R}, [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}, (x, y) = [x, y] \ {x, y},

L(x, y) [x, y] [x, y)

Hình 1.1 Đường thẳng, đoạn thẳng và nửa khoảng

8 1.1 Tập affine

Một tập con M của X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L(x, y) ⊆ M Chẳng hạn

trong không gian ba chiều, tập hợp một điểm, đường thẳng, mặt phẳng

là các tập affine Trong khi đó, hình cầu, hình đa giác nói chung khôngphải là tập affine

M

Hình 1.2 M là tập affine

Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau:

Mệnh đề 1.1 Giao của một họ bất kì các tập affine là một tập affine Cho A ⊆ X là một tập con của X Ta gọi bao affine của A, kí hiệu aff A, là giao của tất cả các tập affine chứa A Từ Mệnh đề 1.1, aff A là tập affine và là tập affine bé nhất chứa A Thật ra tập aff A có thể được

biểu diễn một cách tường minh hơn Ta gọi vec-tơ có dạng

c) A là tập affine khi và chỉ khi A = aff A,

d) A là tập affine khi và chỉ khi với mọi a ∈ A, A − a là một không gian con của X Nói cách khác, A = a + V với V là một không gian con của X Hơn nữa, không gian V được xác định duy nhất bởi A.

Chứng minh (c) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của bao affine a) Giả sử A là tập affine Với mọi a i ∈ A và λ i ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, sao

b) Đặt B là tập ở vế phải Dễ kiểm chứng được rằng B là tập affine

và B ⊇ A Vì vậy B ⊇ aff A Mặt khác, theo a) ta cũng có bao hàm thức

A − a là một không gian con của X Giả sử ngược lại, A = a + V với V

là không gian con Với mỗi x, y ∈ A và λ ∈ R ta có

λx + (1 − λ)y = λ(x − a) + (1 − λ)(y − a) + a ∈ V + a = A.

Vậy A là tập affine Để chứng minh tính duy nhất của V ta lấy bất kì a,

a1, a2 ∈ A Lúc đó a − a1 + a2 ∈ A, vì đó là một tổ hợp affine các vec-tơ

10 1.1 Tập affine

thuộc A Từ đây suy ra A−a1+a2 ⊆ A, hay A−a1 ⊆ A−a2 Do bao hàm

thức đúng với mọi a1, a2 ∈ A nên V = A − a không phụ thuộc vào a.

Không gian con (duy nhất) V trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với A Ta gọi chiều và đối chiều của A chính là chiều

và đối chiều của V , tức là dim A := dim V và codim A := codim V Nếu codim A = 1 ta nói A là một siêu phẳng.

Một ánh xạ F từ X vào một không gian vec-tơ thực Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu

F (λx1+ µx2) = λF (x1) + µF (x2), ∀x1, x2 ∈ X, λ, µ ∈ R.

Có thể kiểm chứng được tập hợp L(X, Y ) các ánh xạ tuyến tính từ X vào

Y cũng là một không gian vec-tơ thực với các phép toán cộng ánh xạ và tích của ánh xạ với số vô hướng Khi Y = R, ta ký hiệu X# := L(X, R),

là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X Có thể chứng minh được rằng, với mọi F ∈ L(X, Y ), tập

Ker F := {x ∈ X | F (x) = 0}

là một không gian con của X Đặc biệt, nếu f ∈ X#\ {0} thì Ker f là

một không gian con có đối chiều bằng 1 Tổng quát hơn ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.3 Một tập con A của X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại

f ∈ X#\ {0} và α ∈ R sao cho

A = f −1 (α) = {x ∈ X | f (x) = α}.

Chứng minh Giả sử A là siêu phẳng, ta có A = a + V với V là không gian con có đối chiều bằng 1 Lấy x0 ∈ X \ V ta có X = V + span{x0}, trong đó span{x0} là không gian sinh bởi x0 Với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất v ∈ V và λ ∈ R sao cho x = v + λx0 Bằng cách đặt f (x) = λ ta

có f là một phiếm hàm tuyến tính trên X với Ker f = V Bây giờ đặt

α = f (a) ta có A = f −1 (α) Ngược lại, nếu A = f −1 (α) với f ∈ X#\ {0}, thì có thể kiểm chứng được ngay A là một tập affine song song với Ker f , nên là một siêu phẳng trong X.

Một tập hợp C ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C

ta có (x, y) ⊆ C Nói cách khác, C lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1)

ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Trong không gian R n, mặt phẳng, đoạn thẳng,đường thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi Trong khimặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi

x

y

x

y

Hình 1.3 Tập lồi và tập không lồi

Kết quả dưới đây là hiển nhiên:

Mệnh đề 1.4 Giao của một họ bất kì các tập lồi là lồi.

Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của aff C Tức là dim C := dim aff C.

Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊆ X, kí hiệu co A,

là giao của tất cả các tập lồi chứa A Từ Mệnh đề 1.4, co A cũng là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A.

12 1.2 Tập lồi

A

co A

Hình 1.4 Bao lồi của một tập

với các hệ số λ i không âm, được gọi là một tổ hợp lồi của các vec-tơ {a1, , a m } Với một kĩ thuật tương tự như đã thực hiện với tập affine,

ta nhận được kết quả sau:

Mệnh đề 1.5

a) Một tập lồi thì chứa mọi tổ hợp lồi của các vec-tơ của nó,

b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vec-tơ thuộc A},

c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C.

Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A Lúc đó, A = −A, hơn nữa nếu A 6= ∅ thì 0 ∈ A Một tập vừa lồi vừa cân đối được gọi là tập tuyệt đối lồi.

Mệnh đề 1.6

a) Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R Lúc đó A + B, αA cũng lồi; b) Ảnh và ảnh ngược của một tập lồi (cân đối) qua một ánh xạ tuyến tính là tập lồi (cân đối).

Chứng minh.

a) Lấy a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B và λ ∈ (0, 1) ta có

λ(a1+ b1) + (1 − λ)(a2+ b2) = [λa1+ (1 − λ)a2] + [λb1+ (1 − λ)b2] ∈ A + B,

λ(αa1) + (1 − λ)(αa2) = α(λa1+ (1 − λ)a2) ∈ αA.

Vậy A + B và αA là các tập lồi.

b) Giả sử F ∈ L(X, Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y là các tập lồi Với mọi

do λF (A) = F (λA) và λF −1 (B) = F −1 (λB) nên F (A) và F −1 (B) cũng

Rõ ràng, một tập C-cực biên cũng là C-bán cực biên và đối với tập đơn tử:

E = {¯ x} thì hai khái niệm này là trùng nhau, lúc đó ta nói ¯ x là điểm cực biên của C Tập tất cả các điểm cực biên của C được kí hiệu là ext(C).

Để minh hoạ ta xét C là một hình tròn (không suy biến) trên mặt phẳng với biên là đường tròn L, lúc đó ext(C) = L, bản thân C và mọi tập con của L đều là tập C-cực biên, trong khi mọi nửa hình tròn là tập C-bán cực biên nhưng không phải là C-cực biên Ta dễ dàng kiểm chứng được

kết quả sau:

Bổ đề 1.1 Cho C là tập lồi trong X.

a) Hợp của một họ các tập C-(bán) cực biên là tập C-(bán) cực biên;

14 1.3 Nón và Quan hệ thứ tự

b) Giao của một họ lồng nhau (tức mọi cặp tập đều so sánh được theo quan hệ bao hàm) các tập C-(bán) cực biên cũng là tập C-(bán) cực biên; c) Cho E ⊆ D ⊆ C, với D là tập C-cực biên Nếu E là D-(bán) cực biên thì E cũng C-(bán) cực biên;

d) Nếu E là C-cực biên thì ext(E) = ext(C) ∩ E.

Một tập K ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0

ta có λk ∈ K Nếu hơn nữa, K là tập lồi, thì nó sẽ được gọi là nón lồi.

a) Giao của một họ bất kì các nón (nón lồi) là nón (nón lồi),

b) Nếu K, L là các nón (nón lồi) thì K + L cũng là nón (nón lồi).

Ta lần lượt gọi bao nón và bao nón lồi của một tập A ⊆ X, kí hiệu con A và con co A, là nón và nón lồi bé nhất chứa A.

a) con A = {λa | λ > 0; a ∈ A},

b) con co A = {x | x là tổ hợp dương chặt của A}.

Chứng minh.

a) Dễ kiểm chứng rằng tập ở vế phải là nón bé nhất chứa A.

b) Đặt K là tập ở vế phải Ta kiểm chứng được K là nón lồi chứa A,

vì thế K ⊇ con co A Ngược lại, lấy k ∈ K \ {0} ta có

16 1.3 Nón và Quan hệ thứ tự

Chứng minh Vì K1, K2 đều chứa gốc nên K1 + K2 ⊇ K1 ∪ K2 Từ đó

K1 + K2 ⊇ co(K1 ∪ K2) Ngược lại lấy bất kì k i ∈ K i , i = 1, 2, ta có 2k i ∈ K i ⊆ co(K1∪ K2), suy ra

có K1+ K2 = (0, +∞) trong khi đó co(K1∪ K2) = [0, +∞).

Với K là một nón lồi khác rỗng trong X ta có thể định nghĩa một

quan hệ hai ngôi 6K trên X như sau:

x 6K y ⇐⇒ y − x ∈ K, ∀ x, y ∈ X.

Dễ thấy đây là một quan hệ thứ tự (thoả mãn tính chất bắc cầu, và cả

tính chất phản xạ nếu K chứa gốc) trên X Vì vậy ta gọi “ 6K” là quan hệ thứ tự sinh bởi nón K Chú ý rằng quan hệ này còn thoả mãn tính chất: Nếu x 6K y thì x + z 6K y + z và λx 6K λy với mọi z ∈ X và λ ≥ 0 Một quan hệ thứ tự thoả mãn các tính chất trên sẽ được gọi là quan hệ thứ tự vec-tơ và X được gọi là một không gian vec-tơ được sắp thứ tự Ngược lại, nếu (X, ≤) là một không gian vec-tơ được sắp thứ tự thì ta có thể kiểm chứng được rằng tập K = {x ∈ X | 0 ≤ x} là một nón lồi trong X và “≤” chính là quan hệ thứ tự được sinh bởi K.

Một ví dụ quen thuộc về không gian được sắp thứ tự là Rn Lúc đó

nón K = R n

+ sẽ xác định một quan hệ thứ tự “≤”: Với mọi x, y ∈ R n ta có

x ≤ y ⇐⇒ x 6K y ⇐⇒ y − x ∈ R n+ ⇐⇒ x i ≤ y i , 1 ≤ i ≤ n Hơn nữa, tập H = {x ∈ R n | x i > 0, ∀i} cũng là nón lồi và sinh ra quan

hệ thứ tự “<”:

x < y ⇐⇒ x 6 H y ⇐⇒ y − x ∈ H ⇐⇒ x i < y i , 1 ≤ i ≤ n.

1.4 Định lí Carathéodory

Định lí 1.10 Cho A ⊆ X Lúc đó, với mọi k ∈ (con co A) \ {0}, tồn tại

hệ độc lập tuyến tính {a1, a2, , a m } ⊆ A và các số dương λ1, , λ m sao cho k = λ1a1+ λ2a2+ · · · + λ m a m

Chứng minh Do k ∈ con co A \ {0}, k được biểu diễn dưới dạng tổ hợp dương của các vec-tơ thuộc A:

Lặp lại thủ tục trên một số hữu hạn lần ta biểu diễn được k dưới dạng tổ

hợp dương của một hệ độc lập tuyến tính

Định lí 1.11 (Carathéodory) Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊆ X Lúc

đó, với mọi x ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ có không quá n + 1 vec-tơ thuộc A Tức là tồn tại hệ {a0, a1, , a m } ⊆ A, với m ≤ n, và các số

18 1.5 Định lí Hahn-Banach

Chứng minh Đặt Y = X × R và B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y Dễ thấy co B = co A × {1} Do đó, với mọi x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈

co B ⊆ con co B Theo Định lí 1.10, tồn tại m vec-tơ độc lập tuyến tính {(a0, 1), (a1, 1), , (a m , 1)} ⊆ B và các số dương λ i sao cho

Ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu

nó thoả mãn hai tính chất sau:

a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X (dưới cộng tính);

b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0 và x ∈ X (thuần nhất dương).

Định lí 1.12 (Hahn-Banach) Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M# thoả mãn

graphf graphF

M

X

epi ϕ R

O

Hình 1.7 Minh hoạ Định lí Hahn-Banach.

Trên U ta định nghĩa quan hệ hai ngôi ≺ xác định bởi

(Y, g) ≺(Z, h) ⇐⇒ Y ≤ Z; h| Y = g.

Có thể kiểm chứng (U, ≺) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắp thẳng đều tồn tại phần tử cận trên Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tối đại (Y, g) Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y Với mọi cặp y, z ∈ Y ta có

g(y) − g(z) = g(y − z) ≤ ϕ(y − z) ≤ ϕ(y + v) + ϕ(−z − v),

suy ra

λ = sup{g(y) − ϕ(y + v) | y ∈ Y } ≤ µ = inf{g(z) + ϕ(−z − v) | z ∈ Y } Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) − tλ Dễ kiểm chứng được rằng h ∈ Z#, với Z = Y + span{v}, thỏa mãn h| Y = g Mặt khác, h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z Thật vậy, nếu t > 0 thì do

h(y + tv) = g(y) − tλ ≤ g(y) − t³g³y

20 1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính

Tóm lại, (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g) ≺(Z, h), mâu thuẫn với giả thiết (Y, g) là phần tử tối đại Vậy Y = X và F = g là phiếm hàm cần tìm.

Hệ quả 1.1 Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X Lúc đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên M, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho

F | M = f và kF k = kf k.

Chứng minh Sử dụng Định lí Hahn-Banach với ϕ(x) = kf kkxk.

Hệ quả 1.2 Cho X là không gian định chuẩn và x0 ∈ X \ {0} Lúc đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho

kf k = 1 và f (x0) = kx0k.

Chứng minh Dùng Hệ quả 1.1 với M = span{x0} và f (λx0) = λkx0k.

Một tập con A của X được gọi là hấp thụ nếu

∀v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊆ A.

Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A − x0 là hấp thụ Tập tất

cả các điểm bọc của A, kí hiệu core A, được gọi là lõi của A Như vậy,

x0 ∈ core A ⇐⇒ ∀ v ∈ X, ∃ ε > 0, ∀λ ∈ (−ε, ε) : x0+ λv ∈ A Một tập có lõi khác rỗng được gọi là tập đặc Một điểm y ∈ X được gọi

là điểm dính tuyến tính của A nếu tồn tại a ∈ A sao cho [a, y) ⊆ A Tập hợp tất cả các điểm dính tuyến tính của A được kí hiệu là lin A Vậy

lin A := {y ∈ X | ∃ a ∈ A, [a, y) ⊆ A}.

A−x0

Hình 1.8 x0 là điểm bọc của A

Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của không gian định chuẩn, trong khi điểm dính tuyến tính lại là một khái niệm chặt hơn điểm dính (xem Bài tập 2.7, 2.10).

Mệnh đề 1.13 Nếu C ⊆ X là tập lồi, thì core C và lin C cũng vậy.

Chứng minh Giả sử c1, c2 ∈ core C và t ∈ (0, 1) Lúc đó, với mọi v ∈ X tồn tại ε > 0 sao cho c i + λv ∈ C với mọi λ ∈ (−ε, ε) Vì C lồi nên

tc1+ (1 − t)c2+ λv = t(c1+ λv) + (1 − t)(c2+ λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−ε, ε) Vậy tc1+ (1 − t)c2 ∈ core C, hay core C lồi.

Để chứng minh lin C lồi ta lấy y1, y2 ∈ lin C và t ∈ (0, 1) Theo định nghĩa, tồn tại c1, c2 ∈ C sao cho [c1, y1) ⊆ C và [c2, y2) ⊆ C Dễ kiểm chứng được rằng [c t , ty1+ (1 − t)y2) ⊆ C với c t := tc1+ (1 − t)c2 ∈ C Vậy

ty1+ (1 − t)y2 ∈ lin C, hay lin C lồi.

Bài tập 1.1 Chứng minh rằng nếu M là tập affine trong không gian

X mà core M 6= ∅ thì M = X Từ đó suy ra, nếu A là tập hợp sao cho

core A 6= ∅ thì aff A = X Đối với chiều ngược lại, chứng minh rằng nếu A

là tập lồi trong không gian hữu hạn chiều mà aff A = X thì core(A) 6= ∅.

Định lí sau cho ta một đặc trưng của không gian vô hạn chiều:

Định lí 1.14 X là không gian vô hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại tập lồi

C 6= X sao cho lin C = X.

22 1.7 Hàm cỡ

Chứng minh Giả sử X hữu hạn chiều và C ⊆ X là tập lồi sao cho lin C =

X, ta chứng minh C = X Từ các giả thiết ta có ngay core C 6= ∅ (xem các bài tập 1.1 và 1.4) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết 0 ∈ core C Với mỗi x ∈ X, tồn tại x1 ∈ C sao cho [x1, 2x) ⊆ C Vì 0 ∈ core C tồn tại

Ngược lại, giả sử X vô hạn chiều Ta có thể chọn một cơ sở sắp thứ

tự tốt {e i | i ∈ I} cho X (điều này là có thể, theo Bổ đề Zermelo) Ta gọi C là tập con các phần tử của X sao cho toạ độ cuối cùng của nó, viết theo cơ sở này, là dương Rõ ràng đó là một tập lồi thực sự của X Ta

sẽ chứng minh lin C = X Thật vậy, lấy phần tử tuỳ ý x ∈ X, ta có thể chọn e j là vec-tơ cơ sở đứng sau mọi vec-tơ cơ sở tham gia vào biểu diễn

x Rõ ràng e j ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1) ta có (1 − λ)e j + λx ∈ C, nghĩa là [e j , x) ⊆ C, hay x ∈ lin C.

Cho C là một tập lồi hấp thụ trong X Ta định nghĩa hàm cỡ , hay phiếm hàm Minkowski, của C là hàm được xác định bởi

p C (x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}, x ∈ X.

Vì C hấp thụ nên 0 ≤ p C (x) < ∞ với mọi x ∈ X.

Định lí 1.15 p C là phiếm hàm dưới tuyến tính và

{x ∈ X | p C (x) < 1} = core C; {x ∈ X | p C (x) ≤ 1} = lin C.

Từ đó,

C † := {x ∈ X | p C (x) < 1} ⊆ C ⊆ {x ∈ X | p C (x) ≤ 1} =: C †

1+ε < 1, nên x0 ∈ C † Vậy C † = core C.

• C † = lin C: Nếu x0 ∈ C † thì, do hàm p C thuần nhất dương, ta có

[0, x0) ⊆ C Vì vậy x0 ∈ lin C Ngược lại, nếu x0 ∈ lin C thì tồn tại c ∈ C

Bổ đề 1.2 Cho p và q là hai phiếm hàm thuần nhất dương, không âm a) Nếu (∀x ∈ X : p(x) < 1 =⇒ q(x) ≤ 1) thì q(x) ≤ p(x) với mọi x, b) Nếu (∀x ∈ X : p(x) > 1 =⇒ q(x) ≥ 1) thì p(x) ≤ q(x) với mọi x Chứng minh Vì b) là một cách phát biểu khác của a) nên ta chỉ cần chứng minh a) Với mọi x ∈ X và số nguyên dương n ta có

1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ

Cho A và B là hai tập con của X Một phiếm hàm tuyến tính khác không f được gọi là tách A và B nếu

f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)), ∀ a ∈ A, b ∈ B.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một số α ∈ R sao cho

f (a) ≤ α ≤ f (b), ∀ a ∈ A, b ∈ B.

Lúc đó, ta cũng nói siêu phẳng H(f ; α) := f −1 (α) = {x ∈ X | f (x) = α} tách A và B Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳng H(f ; α) tách A và x0 Nói chung, siêu phẳng tách hai tập, nếu

có, là không duy nhất

H(f ; α)

Hình 1.10 Siêu phẳng tách hai tập hợp

Có một cách diễn đạt khác: Ta nói siêu phẳng H(f ; α) để tập A ⊆ X

về một phía nếu A là tập con của một trong hai nửa không gian sau:

H+(f ; α) := {x ∈ X | f (x) ≥ α}; H − (f ; α) := {x ∈ X | f (x) ≤ α} Như vậy, siêu phẳng H(f ; α) tách hai tập A và B khi và chỉ khi nó để hai tập này về hai phía khác nhau Tức là A ⊆ H − (f ; α) và B ⊆ H+(f ; α) Chú ý rằng nếu f (a) = f (b) = α với mọi a ∈ A và b ∈ B thì, theo định nghĩa, H(f ; α) cũng được gọi là tách A và B Ta sẽ nói H(f ; α) tách

26 1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ

thực sự A và B nếu điều đó không xảy ra, tức là A và B không cùng nằm

trên một siêu phẳng, hay ta có đồng thời hai bất đẳng thức:

sup{f (a), a ∈ A} ≤ inf{f (b), b ∈ B};

inf{f (a), a ∈ A} < sup{f (b), b ∈ B}

(hoặc ngược lại) Để thấy rõ hơn điều này chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.1 Trong R2 cho các điểm O(0; 0), M(1; 1), N(2; 2), P (3; 3), Q(4; 4) và gọi A, B, C lần lượt là các đoạn thẳng ON, MP , P Q Lúc đó siêu phẳng x − y = 0 (ở đây f (x, y) = x − y và α = 0) tách A và B, đồng thời tách A và C Rõ ràng các phép tách này là không thực sự Ta có thể tách thực sự A và C chẳng hạn bởi phiếm hàm g(x, y) = x + y Tuy nhiên

có thể thấy rằng không tồn tại một siêu phẳng tách thực sự A và B.

Bổ đề 1.3 Giả sử siêu phẳng H(f ; α) để tập hợp A về một phía Khi đó H(f ; α) ∩ core A = ∅.

Chứng minh Vì f 6= 0 nên tồn tại x0sao cho f (x0) = 1 Giả sử chẳng hạn

A ⊆ H − (f ; α) Nếu a ∈ core A thì tồn tại ε > 0 sao cho a + εx0 ∈ A, từ đó suy ra f (a) + ε = f (a + εx0) ≤ α Do đó f (a) < α nên a 6∈ H(f ; α).

Nhận xét 1.1 Từ mệnh đề này ta thấy một phiếm hàm khác không thìkhông thể nhận giá trị hằng trên một tập đặc Từ đó suy ra nếu một siêuphẳng tách hai tập mà một trong chúng là đặc thì phép tách là thực sự

Định lí 1.17 Cho C là một tập lồi và x0 ∈ X \ C Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:

a) core C 6= ∅,

b) X là không gian hữu hạn chiều,

thì có một siêu phẳng tách thực sự C và x0.

Chứng minh.

a) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết 0 ∈ core C Đặt M := span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) := λ với mọi λ ∈ R Lúc

đó g ∈ M#, hơn nữa, do p C (x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ p C (m) với mọi m ∈ M.

Áp dụng Định lí Hahn-Banach tồn tại f ∈ X# sao cho f | M = g và

f (x) ≤ p C (x) với mọi x ∈ X Rõ ràng f (x0) = 1 Mặt khác, với mọi c ∈ C

ta có f (c) ≤ p C (c) ≤ 1 = f (x0) Nên f tách C và x0 Phép tách này là

thực sự vì C đặc.

b) Cũng giả thiết 0 ∈ C Giả sử dim X = n Nếu dim C = n thì ta trở

về trường hợp a) (Bài tập 1.1) Nếu dim C < n và x0 6∈ span C thì tồn tại siêu phẳng chứa C và không chứa x0, nên đó chính là siêu phẳng cần tìm

Cuối cùng, nếu dim C < n và x0 ∈ span C =: Y thì do C là tập đặc trong

Y nên theo a) tồn tại g ∈ Y# tách thực sự C với x0 Mở rộng g ta nhận được phiếm hàm f ∈ X# cũng tách thực sự C và x0

Định lí 1.18 (Định lí Tách cơ bản) Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau Nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:

Định lí 1.19 Giả sử (C i)1≤i≤m là các tập lồi, có lõi khác rỗng và C m+1

là tập lồi khác rỗng sao cho

m+1\

i=1

C i = ∅.

28 1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ

Lúc đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính f i , 1 ≤ i ≤ m + 1, không đồng thời bằng không, sao cho f1+ f2+ · · · + f m+1 = 0 và

f1(x1) + f2(x2) + · · · + f m+1 (x m+1 ) ≤ 0, ∀x i ∈ C i (1.1)

Chứng minh Dễ thấy rằng với Y = X m ta có Y# = (X#)m Mặt khác,nếu đặt

C = C1× C2× · · · × C m; L := {(x, x, · · · , x) ∈ Y | x ∈ C m+1 }, thì C là tập lồi trong Y có lõi khác rỗng, L là tập con lồi của Y và

C ∩ L = ∅ Theo Định lí 1.18 tồn tại F = (f1, f2, , f m ) ∈ Y#\ {0} tách

C và L, tức là:

f1(x1) + f2(x2) + · · · + f m (x m ) ≤ (f1+ f2+ · · · + f m )(x m+1 ); ∀x i ∈ C i Vậy {f i } 1≤i≤m+1 , với f m+1 = −(f1+f2+· · ·+f m), là họ hàm phải tìm

Đôi lúc người ta còn sử dụng khái niệm tách chặt Cụ thể nếu kí hiệu

H0− (f ; α) := {x ∈ X | f (x) < α}; H0+(f ; α) := {x ∈ X | f (x) > α}, thì siêu phẳng H(f ; α) gọi là tách chặt A và B nếu A ⊆ H0− (f ; α) và

B ⊆ H0+(f ; α) (hoặc ngược lại) Dễ thấy hai tập tách chặt được thì cũng

tách thực sự được và rời nhau Tuy nhiên hai tập tách thực sự được khôngnhất thiết rời nhau và hai tập lồi, rời nhau có thể không tách chặt được.Nhận xét 1.2 Định lí tách đóng một vai trò đặc biệt trong giải tích lồi,đến nỗi hầu như trong tất cả các kết quả quan trọng và đẹp đẽ nhất củagiải tích lồi đều thấy thấp thoáng đằng sau là bóng dáng của định lí này

Và quả thật, ít có một lĩnh vực nào của khoa học nói chung và toán họcnói riêng lại phụ thuộc nhiều như vậy vào chỉ một định lí của nó

Bài tập

1.2 Chứng minh một tập A lồi, là cân đối khi và chỉ khi A = −A.

1.3 Tìm một tập A không lồi trong R thoả mãn tính chất:

∀ x, y ∈ A : x + y

2 ∈ A.

1.4 Chứng minh lin A ⊆ aff A với mọi tập con A của X.

1.5 Cho A và B là hai tập lồi rời nhau Chứng minh rằng với mọi x ∈ X ta có co(A ∪ {x}) ∩ B = ∅ hoặc co(B ∪ {x}) ∩ A = ∅.

1.6 Chứng minh rằng nếu V là tập lồi trong không gian định chuẩn X thỏa mãn

V ∩ S(x; r) = ∅, thì hoặc V ⊆ B(x; r), hoặc V ∩ B 0 (x; r) = ∅ Trong đó, S(x; r), B(x; r),

B 0 (x; r) lần lượt là mặt cầu, hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x, bán kính r.

1.7 Trong X = C[0, 1], không gian vec-tơ các hàm liên tục trên [0, 1], ta kí hiệu K

là tập các hàm không âm Chứng minh K là nón lồi chứa gốc trong X Hãy xác định aff K, core K và quan hệ 6K.

1.8 Cho C là tập lồi trong X Chứng minh:

a) Nếu C là tập affine và dim C ≥ 1 thì ext(C) = ∅;

b) ¯ x ∈ ext(C) nếu và chỉ nếu, với mọi v ∈ X, ¯ x ± v ∈ C suy ra v = 0;

c) Nếu D ⊆ C thì ext(C) ∩ co D = ext(C) ∩ D;

d) Nếu C là nón thì 0 ∈ ext(C) khi và chỉ khi C ∩ (−C) = {0};

e) Nếu f ∈ X# và E = {¯ x ∈ C | f (¯ x) = min

x∈C f (x)} 6= ∅ thì E là C-cực biên;

f ) Với mọi tập lồi D ⊆ C, C \ D là tập C-bán cực biên Đặc biệt, giao của C và

một nửa không gian bất kì là tập C-bán cực biên;

g) Mọi tập con của ext(C) đều là C-cực biên;

h) Mọi tập affine, C-bán cực biên cũng là tập C-cực biên.

1.9 Cho tập hợp {a1, a2, , a m } ⊆ R n , với m ≥ n + 2 Chứng minh rằng tồn tại các

số λ i ∈ R không đồng thời bằng không sao cho

30 1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ

1.12 Cho A là tập lồi và x0 ∈ core(A) Chứng minh

core(A) = [

x∈A

[x0, x).

1.13 Trong không gian các ma trận thực vuông cấp n (n ≥ 1) ta kí hiệu C là tập các

ma trận nửa xác định dương Chứng minh C là nón lồi trong X Hãy xác định core(C) 1.14 Chứng minh X là không gian hữu hạn chiều khi và chỉ khi, với mọi tập lồi C ⊆ X

ta có lin(lin C)) = lin C.

1.15 Cho hai tập lồi A và B sao cho core A 6= ∅ Chứng minh rằng phiếm hàm f tách

A và B khi và chỉ khi nó tách core A và B.

1.16 Chứng minh rằng nếu siêu phẳng H(f ; α) tách hai tập A và B mà một trong hai tập là nón, thì H(f ; 0) cũng tách chúng (tức là siêu phẳng tách đi qua gốc).

1.17 Chứng minh rằng nếu phiếm hàm f ∈ X# bị chặn trên (hoặc dưới) trên một

không gian con V thì đồng nhất bằng không trên V Suy ra, nếu f bị chặn trên (hoặc dưới) trên một tập affine thì f nhận giá trị không đổi trên tập đó.

1.18 Giả thiết thêm các tập C i trong Định lí 1.19 thoả mãn

a) C lồi, aff C = X nhưng core C = ∅ (xem thêm Bài tập 1.1).

b) 0 6∈ C nhưng không tồn tại siêu phẳng tách C và 0.

1.20 Cho C là một tập lồi hấp thụ trong không gian vec-tơ X và f ∈ X# Chứng minh rằng

a) Tập hợp dưới đây là một nón lồi trong X × R:

K = {(λx, λ) | λ ∈ [0, +∞); x ∈ C};

b) Tập H = {(x, f (x)) | x ∈ X} là một siêu phẳng trong X × R;

c) H tách K và {(0, 0)} khi và chỉ khi f (x) ≤ p C (x) với mọi x ∈ X.

Không gian tôpô lồi địa phương

Mục này nhằm giới thiệu các kiến thức cơ bản nhất của tôpô đạicương Để giảm thiểu bề dày của giáo trình ở đây chúng tôi chủ yếu trìnhbày các kết quả Độc giả có thể tham khảo các chứng minh chi tiết từ cáctài liệu khá kinh điển, chẳng hạn J.L Kelley (1955)

Cho tập hợp khác rỗng X Một họ τ ⊆ P(X) các tập con của X được gọi là một tôpô nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

i) ∅, X ∈ τ ,

ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,

iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.

Lúc đó (X, τ ) (hay, đơn giản hơn, X) được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là một tập mở (theo tôpô τ ) trong X Một tôpô σ trên X được gọi là mạnh hơn τ (hay τ yếu hơn σ) nếu τ ⊆ σ Tức

là mọi tập mở theo τ cũng mở theo σ Rõ ràng P(X) và {∅, X} lần lượt

là các tôpô mạnh nhất và yếu nhất trên X.

32 2.1 Không gian tôpô

Bây giờ cho A ⊆ X, x0 ∈ X, ta nói x0

- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x0 ∈ U ⊆ A,

- là một điểm ngoài của A nếu nó là điểm trong của X \ A,

- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.

Ta gọi phần trong (biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm trong (điểm biên) của A và kí hiệu là int A (∂A) Như vậy,

+ x0 ∈ int A ⇐⇒ ∃ U ∈ τ : x0 ∈ U ⊆ A,

+ x0 ∈ ∂A ⇐⇒ [∀ U ∈ τ, x0 ∈ U =⇒ (U ∩ A 6= ∅ và U \ A 6= ∅)] Nếu x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0 A được gọi là tập đóng nếu ∂A ⊆ A Với A là tập bất kì, ta gọi bao đóng của A

là tập A := A ∪ ∂A và mỗi phần tử thuộc A được gọi là điểm dính của A.

Ta có ngay kết quả dưới đây:

c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.

Không gian tôpô X được gọi là Hausdorff , hay tách được, nếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y ∈ X, tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅ Như vậy, trong không gian Hausdorff tập hợp dạng {a},

a ∈ X, luôn luôn là tập đóng.

Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B ⊆ τ được gọi là một cơ sở của

τ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B.

Kí hiệu U x là họ tất cả các lân cận của điểm x Một họ V x ⊆ U x được gọi

là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ U x đều tồn tại V ∈ V x sao cho

thì tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở.

Cho một họ C ⊆ P(X) tùy ý Dễ kiểm chứng được rằng họ sau đây

thỏa mãn điều kiện của Hệ quả 2.2, nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào

đó trên X (với quy ước giao của một họ rỗng bằng X nên X ∈ B) Lúc

đó, ta nói C là tiền cơ sở của τ và τ được gọi là tôpô sinh bởi C.

Một tập được sắp thứ tự (I, Â) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I tồn tại γ ∈ I sao cho γ Â λ và γ Â µ Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạ ϕ từ một tập được định hướng I vào X Nếu kí hiệu x λ := ϕ(λ) thì ta có thể nói (x λ)λ∈I là một dãy suy rộng trong X Giả sử (x λ)λ∈I là một dãy suy rộng, J cũng là một tập định hướng và

φ là một ánh xạ từ J vào I, với λ µ := φ(µ); µ ∈ J thỏa mãn:

∀λ0 ∈ I, ∃ µ0 ∈ J, ∀µ Â µ0 : λ µ Â λ0.

34 2.1 Không gian tôpô

Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy con của ϕ hay (x λ µ)µ∈J là dãy con của (x λ)λ∈I

và kí hiệu (x λ µ)µ∈J ⊆ (x λ)λ∈I

Dãy suy rộng (x λ ) trong không gian tôpô (X, τ ) được gọi là hội tụ đến x nếu với mọi V ∈ U x , tồn tại λ0 sao cho với mọi λ Â λ0 ta có x λ ∈ V Lúc đó, ta kí hiệu x λ → x và gọi x là giới hạn của dãy (x λ) Rõ ràng,trong không gian Hausdorff, giới hạn của một dãy suy rộng, nếu có, làduy nhất

thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên.

Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn A được gọi là tập compact địa phương nếu với mọi a ∈ A tồn tại lân cận U của a sao cho U ∩ A là tập compact Nếu bản thân X là tập compact (compact địa phương) thì nó được gọi là không gian compact (compact địa phương).

Định lí 2.4 A compact ⇐⇒ ∀(x λ ) ⊆ A, ∃(x λ µ ) ⊆ (x λ ) : x λ µ → a ∈ A.

Một tập con A của X được gọi là không liên thông nếu tồn tại các tập

mở U, V sao cho U ∩ A và V ∩ A khác rỗng, U ∩ V ∩ A = ∅ và U ∪ V ⊇ A Ngược lại thì gọi là liên thông Nếu bản thân X là tập liên thông thì nó được gọi là không gian liên thông.

Mệnh đề 2.5 Nếu (A λ ) là họ các tập liên thông trong X có giao khác rỗng, thì hợp của chúng cũng là tập liên thông.

Hệ quả 2.3 Nếu A1, A2, · · · , A m là các tập liên thông trong X thỏa mãn

A i−1 ∩ A i 6= ∅ với mọi 2 ≤ i ≤ m, thì hợp của chúng là tập liên thông.

Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và M ⊆ X Lúc đó

τ M := {U ∩ M | U ∈ τ } cũng là một tôpô trên M và được gọi là tôpô tương đối trên M cảm sinh

từ tôpô τ Một tập A ⊆ M là τ M −mở nếu A = U ∩ M với U mở trong X,

là τ M −đóng nếu A = F ∩ M với F đóng trong X Hơn nữa, nếu kí hiệu

˜

A là bao đóng của A theo tôpô τ M thì ˜A = A ∩ M Tập A ⊆ M được gọi

là trù mật trong M nếu ˜ A = M hay A ⊇ M Một tập trù mật trong X (tức A = X) được gọi tắt là trù mật Cuối cùng, A ⊆ M là τ M −compact khi và chỉ khi nó là τ −compact.

Giả sử X và Y là các không gian tôpô và f là một ánh xạ từ X vào

Y Ta nói f liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận V của f (x) tồn tại lân cận U của x sao cho f (U) ⊆ V , hay f −1 (V ) là một lân cận của x Một ánh xạ được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.

Định lí 2.6 Cho f : X → Y Các mệnh đề sau tương đương:

a) f liên tục,

b) f −1 (V ) mở trong X, với mọi tập mở V ⊆ Y ,

c) f −1 (G) đóng trong X, với mọi tập đóng G ⊆ Y ,

d) f (A) ⊆ f (A), với mọi A ⊆ X,

e) f −1 (B) ⊆ f −1 (B), với mọi B ⊆ Y ,

f ) Với mọi dãy (x λ ) ⊆ X: x λ −→ x =⇒ f (x X λ)−→ f (x) Y

Định lí 2.7 Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục và A ⊆ X.

36 2.1 Không gian tôpô

a) Nếu A compact thì f (A) compact;

b) Nếu A liên thông thì f (A) liên thông.

Nếu f : X → Y là một song ánh liên tục giữa các không gian tôpô X

và Y , thì ánh xạ ngược f −1 : Y → X được xác định, nhưng có thể không liên tục Nếu f −1 cũng liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi Mệnh đề 2.8 Cho song ánh f : X → Y Các mệnh đề sau tương đương: a) f là một phép đồng phôi,

b) Với mọi A ⊆ X, A mở ⇐⇒ f (A) mở,

c) Với mọi A ⊆ X, A đóng ⇐⇒ f (A) đóng.

Mệnh đề 2.9 Cho các ánh xạ giữa các không gian tôpô: X → Y f → Z, g a) Nếu f và g liên tục thì g ◦ f liên tục,

b) Nếu f và g là các phép đồng phôi thì f −1 , g −1 , g ◦ f cũng là các phép đồng phôi.

Cho tập hợp X, không gian tôpô (Y, σ) và ánh xạ f : X → Y Dễ kiểm chứng được τ := f −1 (σ) = {f −1 (V ) | V ∈ σ} ⊆ P(X) là một tôpô Hơn nữa đó là tôpô yếu nhất trên X bảo đảm ánh xạ f liên tục.

Giả sử {(X µ , τ µ ) : µ ∈ M} là một họ, hữu hạn hay vô hạn, các không

gian tôpô Ta kí hiệu tích Đê-các

Cho (z λ)λ∈I là một dãy suy rộng trong Z Lúc đó, với mỗi µ ∈ M, (z λ

µ)λ∈I là một dãy suy rộng trong X µ Từ định nghĩa tôpô tích ta có:

Mệnh đề 2.10 z λ −→ z ∈ Z ⇐⇒ τ ¡z λ

µ

τ µ

−→ z µ ; ∀µ ∈ M¢ Định lí 2.11 Tích của các không gian compact là không gian compact.

Bài tập 2.1 Kí hiệu p λ : Z → X λ là ánh xạ chiếu xác định bởi p λ (z) = z λ với mọi z = (z µ)µ∈I Chứng minh rằng tôpô tích là tôpô yếu nhất trên Z bảo đảm mọi p λ đều liên tục.

Cho không gian vec-tơ thực X Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các ánh xạ + và · liên tục, với tôpô

τ trên X, tôpô thông thường trên R còn X × X và R × X được trang bị

bởi tôpô tích Tức là:

+ Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận

U của x, V của y sao cho U + V ⊆ W.

+ Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 và lân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε).

38 2.2 Không gian vec-tơ tôpô

Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian vec-tơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính.

Bổ đề 2.1 Trong không gian vec-tơ tôpô X,

phép tịnh tiến: T a (x) := a + x,

phép vị tự: ϕ α (x) := αx,

với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.

Chứng minh Vì đó là các song ánh liên tục và T −1

a = T −a , ϕ −1

α = ϕ α −1

Hệ quả 2.4 Cho a ∈ X, α ∈ R \ {0} Ta có

a) V là lân cận gốc ⇐⇒ V + a là lân cận của a,

b) V là lân cận của a ⇐⇒ αV là lân cận của αa.

Từ hệ quả này ta thấy, cấu trúc tôpô của không gian hoàn toàn đượcxác định bởi họ các lân cận gốc Vì họ lân cận của một điểm bất kì nhậnđược từ họ này qua một phép tịnh tiến

Hệ quả 2.5 Cho x λ → ¯ X x, y λ → ¯ X y, t λ → ¯t, xR 0 ∈ X, t0 ∈ R Lúc đó: a) x0+ x λ → x0+ ¯x, x λ + y λ → ¯ x + ¯ y,

b) t0x λ → t0x, t¯ λ x λ → ¯t¯ x.

Mệnh đề 2.12 Nếu V là lân cận gốc trong không gian vec-tơ tôpô thì a) V là tập hấp thụ,

b) Tồn tại lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊆ V

Chứng minh Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta kí hiệu θ là vec-tơ gốc trong X.

a) Với mỗi x ∈ X, vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại ε > 0

và lân cận U của x sao cho λU ⊆ V với mọi λ ∈ (−ε, ε) Suy ra λx ∈ V với mọi λ ∈ (−ε, ε) Vậy V hấp thụ.

b) Vì θ + θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U1,

U2 sao cho U1+ U2 ⊆ V Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1∩ U2 tồn

tại ε > 0 và lân cận gốc W sao cho λW ⊆ U0 với mọi λ ∈ (−ε, ε) Đặt

U := [

|λ|<ε

λW

ta có U là lân cận cân đối của gốc và U + U ⊆ V

Định lí 2.13 Cho X là một không gian vec-tơ.

a) Nếu τ là tôpô tuyến tính thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V thoả mãn i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,

ii) αV ∈ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,

iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊆ V ,

iv) Với mọi V1, V2 ∈ V, tồn tại V ∈ V sao cho V ⊆ V1∩ V2 b) Ngược lại, nếu V ⊆ P(X) là họ thoả mãn các điều kiện (i − iv), thì tồn tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc Cụ thể,

τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V, x + V ⊆ U}.

Chứng minh Để chứng minh a) ta chọn V là tập tất cả các lân cận gốc cân đối, từ đó sử dụng Mệnh đề 2.12 ta suy ra các điều kiện (i − iv) thoả mãn Để chứng minh b) ta chỉ ra rằng τ đã cho là một tôpô tuyến tính nhận V làm cơ sở lân cận gốc Việc kiểm tra τ là một tôpô không có gì khó khăn Tiếp theo ta sẽ chứng minh các tập W ∈ V đều là lân cận gốc.

Thật vậy,

0 ∈ U := [

0≤λ<1

λW ⊆ W.

Ngoài ra, với mọi x ∈ U ta có x ∈ λW , với λ ∈ [0, 1), do đó x + V ⊆ U với

V = (1 − λ)W ∈ V Vậy U ∈ τ và W là lân cận gốc Cuối cùng, với mọi tập mở U 3 0 theo định nghĩa tồn tại V ∈ V sao cho V = 0 + V ⊆ U, nên

40 2.2 Không gian vec-tơ tôpô

V là cơ sở lân cận gốc Ta còn chứng minh τ là một tôpô tuyến tính Với mọi a, b ∈ X và tập mở W 3 a + b Tồn tại V ∈ V sao cho a + b + V ⊆ W Gọi U ∈ V là tập sao cho U + U ⊆ V ta có (a + U) + (b + U) ⊆ W Vậy + là ánh xạ liên tục Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và lân cận W của λx, tồn tại

U ∈ V sao cho λx + U ⊆ W Gọi V1 ∈ V là tập thoả mãn V1 + V1 ⊆ U.

Do V1 hấp thụ tồn tại ε > 0 sao cho tx ∈ V1 với mọi t ∈ (−ε, ε) Đặt

|λ| + ε V1 ∈ V.

Với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε) ta có

µ(x + V ) = λx + (µ − λ)x + µV ⊆ λx + V1+ V1 ⊆ W.

Vậy · là ánh xạ liên tục và τ là tôpô tuyến tính trên X.

Mệnh đề 2.14 Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τ là tách được khi và chỉ khi

Một tập con A của X được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận gốc V , tồn tại số dương α sao cho