CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH pptx

Cơ hệ không tự do Nếu các thành phần xác định vị trí hay vận tốc của cơ hệ chịu một số điều kiện ràng buộc nào đó do các vật thể khác gây nên thì cơ hệ gọi là cơ hệ không tự do.. Liên kế

CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH

- Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ

không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích

- Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ

học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng

Bài 1.

Phân loại cơ hệ, liên kết đặt vào cơ hệ

Xét cơ hệ N chất điểm Mk chuyển động hệ qui chiếu Oxyz

Vị trí của cơ hệ được xác định bởi 3N thành phần xác định vị trí

1

i i i

x , y ,z ; i = ,N

Vận tốc của các điểm thuộc cơ hệ xác định bởi 3N thành phần vận tốc

1

i i i

x , y ,z ; i & & & = ,N

I Khái niệm về cơ hệ

1 Cơ hệ tự do

Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các thành phần xác định vị trí và vận tốc lấy giá trị bất kỳ trong không gian qui chiều

Ví dụ: Hệ mặt trời, mỗi hành tinh được coi là 1 chất điểm

2 Cơ hệ không tự do

Nếu các thành phần xác định vị trí hay vận tốc của cơ hệ chịu một số điều kiện ràng buộc nào đó do các vật thể khác gây nên thì cơ hệ gọi là cơ hệ không tự do

3 Liên kết đặt vào cơ hệ

Những điều kiện ràng buộc về vị trí hay vận tốc thuộc hệ do các thành phần khác gây nên gọi là liên kết đặt vào cơ hệ

Về mặt toán học, các liên kết này được biểu thị bởi các đẳng thức hay bất đẳng thức gọi là các phương trình liên kết hay bất phương trình liên kết

0

0

N N N

f x , y ,z , ,x , y ,z

g x , y ,z , ,x ,y ,z ,x ,y ,z , ,x , y ,z

α α

≥

≥

& & & & & &

1,m

α = , m là số liên kết

Ví dụ:

1 Khi mô tả chất điểm A luôn nằm trên mặt đường nằm ngang dùng pt yA = 0

2 Khi chất điểm M nằm trong mặt phẳng Oxy, treo trên dây OM=l và dây luôn

căng, không giãn, được biểu diễn bằng phương trình xM2 + yM2 = l

Hình 1

3 Hệ mô tả bởi hình trên chịu liên kết mô tả bởi phương trình

2

x + y + y = l, với l là chiều dài dây nối các vật.

II Phân loại liên kết đặt vào cơ hệ

1 Liên kết giữ, không giữ

• Liên kết giữ là các liên kết được mô tả bằng những đẳng thức thì chúng gọi là các liên kết giữ fα = 0 hay gα = 0

• Liên kết không giữ là các liên kết được viết dưới dạng bất đẳng thức

0

fα ≥ hay gα ≥ 0 Liên kết không giữ tùy trường hợp gọi là các liên kết giữ nếu xảy ra dấu “=” và coi là liên kết không giữ nếu xảy ra dấu bất đẳng thức

2 Liên kết dừng, không dừng

• Liên kết dừng nếu phương trình liên kết không chứa rõ hiển thời gian t

(Sclêônôm) Nghĩa là f g 0 ,

• Liên kết không dừng nếu phương trình liên kết có chứa thời gian t

(Rêônôm) Nghĩa là f g 0 ,

3 Liên kết Hôlônôm, phi Hôlônôm

• Liên kết Hôlônôm (liên kết hình học) nếu trong phương trình liên kết chỉ chứa các thành phần vị trí Phương trình liên kết fα ≥ 0 , α = 1 ,m

• Liên kết phi Hôlônôm nếu trong phương trình liên kết chứa các thành phần vị trí và vận tốc Phương trình liên kết gα ≥ 0 , α = 1 ,m

Bài 2.

Khái niệm về bậc tự do, Tọa độ suy rộng của cơ hệ

1 Bậc tự do của cơ hệ

Mỗi cơ hệ tại mỗi thời điểm có vô số di chuyễn khả dĩ Vì hệ chịu liên kết nên các di chuyễn này không độc lập với nhau

Bậc tự do của cơ hệ chính là số di chuyển khả dĩ độc lập của cơ hệ

Xét trường hợp cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của m liên kết

Số bậc tự do của cơ hệ và được xác định như sau:

• Nếu cơ hệ chuyển động trong không gian Oxyz

3

• Nếu cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng

2

• Nếu cơ hệ chuyển động trên đường thẳng

2 Tọa độ suy rộng

Tọa độ suy rộng là tập hợp tất cả các thông số cần thiết, độc lập và đủ để xác định vị trí của cơ hệ trong không gian Tọa độ suy rộng có thể là tọa độ Descartes của các chất điểm thuộc cơ hệ, góc quay, các tọa độ cong… Tùy trường hợp ta có thể chọn tọa độ nào để bài toán xác định vị trí của cơ hệ đơn giản nhất

Ký hiệu tọa độ suy rộng là q ,q ,q 1 2 3

Bản chất vật lý của tọa độ suy rộng là bất kỳ, do đó thứ nguyên của nó không phải chỉ là độ dài như tọa độ Descartes

Đạo hàm theo thời gian của tọa độ suy rộng q&i gọi là vận tốc suy rộng.

Số tọa độ suy rộng q , jj = 1 ,n bằng với số bậc tự do của cơ hệ

Vị trí của cơ hệ được xác định nhờ các tọa độ suy rộng, nên giữa tọa độ Descartes của chất điểm và tọa độ suy rộng có sự liên hệ với nhau:

hoặc ở dạng vector

rrk =r t,q , jrk( )j =1,n (2.b)

Ví dụ

1 Bánh xe đống chất bán kính R, chuyển động lăn không trượt trên đường thẳng 0x nằm ngang (như hình vẽ)

Xét chuyển động của bánh xe, Bánh xe chuyển động song phẳng, xác định

nó bởi 3 tham số (x y0, ,0 ϕ), nhưng bánh xe là cơ hệ không tự do, nó chịu các liên kết được mô tả bởi phương trình

0

=



 − =



x

y

A

O

Vậy số bậc tự do của cơ hệ là: n = 3 – 2 =1

2. Cơ cấu tay quay thanh truyền 0AB được xem là hai chất điểm chuyển

động trong mặt phẳng xy, chịu các liên kết cho bởi các phương trình

B



 = −

y

F

A

O

B h

l

r

ϕ ψ

Vậy số bậc tự do của cơ hệ: n=2.2-3=1.

Ta có thể chọn tọa độ suy rộng là góc quay ϕ của OA.

Bài 3

Di chuyển thực, di chuyển khả dĩ

Xét cơ hệ N chất điểm chuyển động trong không gian Oxyz chịu m liên

kết hôlônôm, giữ

( )k 0 1

1 Di chuyển thực

Tại thời điểm t, giả sử các chất điểm ở vị trí xác định bởi r rk

thỏa mãn các phương trình liên kết (1) Trong khoảng thời gian ( t,t dt + ), dưới tác dụng của các lực ngoài, chất điểm thực hiện một dịch chuyển dr rk = r dt r&k gọi là di chuyển

thực trong khoảng thời gian ( t,t dt + )

Lấy vi phân (1) theo thời gian, ta được

1

0

N

k

k k

α

=

Nghĩa là, di chuyển thực trong khoảng thời gian ( t,t dt + ) phải thỏa mãn phương trình (2)

2 Di chuyển khả dĩ (di chuyển ảo)

Tại thời điểm t cố định, mỗi chất điểm có thể ở vô số các vị trí thỏa mãn

các phương trình liên kết, mà vị trí thực của nó chỉ là một trong số chúng Gọi r rk

%

là vị trí vô cùng gần với vị trí thực r rk

Ký hiệu δ δ δ δ = − r rk( x, y, z ) r r %k r rk (gọi là

biến phân của r rk

), ta có

1

0

N

k

k k

f

r

α

=

∂

∂

∑

Các gia số δ r rk gọi là di chuyển khả dĩ của cơ hệ và thỏa mãn công thức (3)

Vậy, di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập các di chuyển vô cùng bé mà các chất điểm của cơ hệ có thể thực hiện được từ vị trí khảo sát sang vị trí lân cận mà vẫn thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét

Note:

• Khái niệm chuyển khả dĩ hoàn toàn khác với khái niệm di chuyển thực Di chuyển thực là di chuyển mà các chất điểm thực hiện trong khoảng thời gian ( t,t dt + ), còn di chuyển khả dĩ đơn thuần là các gia số δ r rk vô cùng bé thỏa

mãn các phương trình (3), được tính tại thời điểm cố định t

• Khi liên kết là dừng ta có di chuyển thực vô cùng bé trùng với một trong các di chuyển khả dĩ

Bài 4.

Lực suy rộng

1 Định nghĩa lực suy rộng

Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực chủ động F rk

Giả sử cơ

hệ có n bậc tự do.

Công của lực chủ động trên di chuyển khả dĩ δ r rk gọi tắt là công khả dĩ (công ảo) xác định như sau:

với r rk = r t,q ,q , ,q rk( 1 2 n) , ta có

( 1 2 )

1

n k

i i

r

q

=

∂

∂

∑ r

r r

(2) Thế (2) vào (1), ta được

k

r

q

∂

r

với

gọi là lực suy rộng thứ i của cơ hệ.

2 Phương pháp thực hành xác định lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy

rộng qi nào đó

Do tất cả các δ q , jj = 1 uur ,n đều độc lập với nhau, để xác định Qi ứng với

tọa độ suy rộng qi nào đó, ta cho độ dời ảo δ ≠ qi 0 còn tất cả cácδ = qj 0 , j i ≠ ,

sau đó tính công δ Ai của tất cả các lực tác dụng trên di chuyển khả dĩ δ qi Ta được,

( )

1

k

=

Hệ số của δ qi trong (5) cho ta lực suy rộng Qi cần tìm.

Trong trường hợp tất cả các lực tác động lên cơ hệ đều có thế, nghĩa là tồn tại hàm thế Π sao cho k

k

F

r

Π

∂

= −

∂

r

r Khi đó ta có

Ví dụ

Cơ cấu tay quay thanh truyền 0AB được xem là hai chất điểm chuyển

động trong mặt phẳng xy Tác dụng lên tay quay OA ngẫu lực M và lực Fr lên con chạy B Xác định lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng ϕ.

Giải

Ta tính công khả dĩ của các ngẫu lực M và lực Fr tác dụng lên hệ

B

2 2

2 2

2 2

1

1

sin

sin

B

B

B

l

l

ϕ

+

2

sin

sin

ϕ

∑

2

sin

sin

ϕ

ϕ

ϕ

Bài 5.

x y

F

A

O

B h

l

r

ϕ

M

Ψ

Nguyên lý di chuyển khả dĩ

1 Liên kết lý tưởng

Các liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công của các phản lực liên kết trên các di chuyển khả dĩ đều bằng không, nghĩa là

0

= = = =

trong đó R rk

- Phản ản lực liên kết đặt lên chất điểm thứ k

δ r rk - Di chuyển khả dĩ của chất điểm thứ k

Trong thực tế, các liên kết vật rắn bỏ qua ma sát, tính đàn hồi của vật liệu được coi là liên kết lý tưởng

2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Phát biểu: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng

và lý tưởng cân bằng là tổng công của các lực chủ động tác dụng lên cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ bất kỳ bằng không.

0

= = = =

trong đó F rk

là lực hoạt động tác dụng lên chất điểm thứ Mk thuộc cơ hệ, k

r

δ r là di chuyển khả dĩ của chất điểm thứ Mk Phương trình (2) còn gọi là

phương trình công khả dĩ

3 Phương trình cân bằng trong tọa độ

Giải sử cơ hệ có n bậc tự do, chọn các tọa độ suy rộng q ,q , ,q1 2 n Ta có

phương trình (2), nguyên lý di chuyển khả dĩ, trở thành

0

với

1

N

k

r

q

=

∂

=

∂

∑ r r lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qi Vì các qi độc lập

nên ta chọn δ qi là độc lập và tùy ý Từ (), ta có

0

i

Ta được n phương trình cân bằng dạng (), gọi là phương trình cân bằng dạng tọa

độ suy rộng

Nếu các lực tác dụng là lực có thế, ta có phương trình cần bằng

0

i

i

Q

q

Π

Với Π Π = ( ) qi - Hàm thế năng của lực tác dụng

Note:

Ưu điểm của định luật công khả dĩ là khi giải bài toán cân bằng cơ học, ta không cần quan tâm đến các phản lực liên kết (liên kết là lý tưởng) Do đó nó rất thuận lợi cho giải các bài toán tìm điều kiện cân bằng Khi gặp các bài toán tìm

phản lực, hay liên kết là khơng lý tưởng ta phải áp dụng nguyên lý giải phĩng liên kết hay thành phần khơng lý tưởng tương ứng và coi các phản lực này như lực tác dụng

Ví dụ

Xác định quan hệ giữa các lực PrvàQr

đđể cơ cấu Culit cân bằng tại vị trí

khảo sát Biết OC = R ; OK = l

Giải

Xét cơ hệ Bỏ qua ma sát giữa các ổ trục nĩ là hệ Holomom, giữ, dừng và

lý tưởng

Hệ cĩ một bậc tự do Chọn tọa độ suy rộng là ϕ

y

x

ϕ

A

C Q K

P B O

Các lực tác dụng lên cơ hệ ,P Qr r

Áp dụng nguyên lý cơng khả dĩ khi hệ cân bằng, ta được

0

δ = rδr + rδr =

0

Q xδ Q yδ P xδ P yδ

Với

0 ;

cos const

l

ϕ

⇒

2

cos 0

cos

l

Pl QR

ϕ δϕ

ϕ

⇒ 2 0 2

R

Bài 5

PHƯƠNG TRÌNH TỒNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC

(NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT – LAGRANGE)

1 Phương trình tổng quát động lực học

Xét cơ hệ N chất điểm Mk có khối lượng mk chuyển động trong không

gian Oxyz chịu liên kết Hôlônôm, giữ, lý tưởng Giả sử chất điểm Mk chịu tác

dụng của các lực chủ động F rk

và phản lực liên kết R rk

Áp dụng nguyên lý d’Alambert ta có

0

qt

k k k

Nhân vô hướng hai vế phương trình (1) với δ r rk và rồi lấy tổng theo k, ta có

0

qt

Vì liên kết là lý tưởng

1

0

N

k k k

R r δ

∑ r r , (2) trở thành

1

0

N

qt

k

hay

1

0

N

k k k k k

Phương trình (3) gọi là phương trình tổng quát động lực học.

Hoặc viết dưới dạng tọa độ Descarst Oxyz là

1

0

N

kx k kx kx ky k ky ky kz k kz kz

k

=

Phát biểu Nếu cơ hệ chuyển động và chịu liên kết lý tưởng thì tổng công của tất

cả lực chủ động và lực quán tính trên di chuyển khả dĩ bất kỳ bằng không

Trường hợp cơ hệ ở trạng thái cân bằng W rk = 0, ta có

0

= = = =

Phương trình (5) chính là nguyên lý di chuyển khả dĩ

2 Ví dụ.

1 Một sợi dây không dãn, không trọng lượng mắc qua hai ròng rọc cố

định A, B, trên dây có ròng rọc di động C (hvẽ) Bỏ qua ma sát và khối lượng của các ròng rọc Tính gia tốc của các vật

Hệ gồm các vật m ,m ,m1 2 3 Các vật

chuyển động theo phương thẳng đứng, chọn trục tọa độ như hình vẽ Các lực chủ động tác dụng lên các vật lên cơ hệ là trọng lượng của các vật

Áp dụng phương trình tổng quát động lực học

( m g m x1 − 1 1&& ) δ x1+ ( m g m x2 − 2 2&& ) δ x2 + ( m g m x3 − 3 3&& ) δ x3 = 0 (a)

Phương trình liên kết (lý tưởng)

Chọn tọa độ suy rộng là x ,x1 3, từ (a) ta có

&& && &&

Thay vào phương trình (a), ta được

δ

δ

&& &&

&& &&

Vì các chuyển dịch δ δ x , x1 3 độc lập và bất kỳ, nên

&& &&

&& &&

Giải hệ phương trình trên, ta được &&&& && x ,x ,x1 2 3.

2 Người ta vắt qua ròng rọc cố định O một sợi dây mềm nhẹ, chiều dài l,

trên một đầu dây treo vật nặng M1 có khối lượng m1, còn đầu kia của dây treo ròng rọc M2 có khối lượng m2 Vắt qua ròng rọc M2 sợi dây mềm nhẹ chiều dài l 2

2 vật có khối lượng tương ứng là m3, m4 Xem liên kết là lý tưởng

1

m

O

2

x

3

x

2

m

3

m

Đưa vào hệ trục Oy thẳng đứng hướng xuống Lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực của các vật

Phương trình tổng quát động lực học

1

1

0

0

N

N

ν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

δ

=

=

∑

∑

&& && &&

&& &&

&& && Các di chuyển khả dĩ δy1 ,

δy2 , δy3 , δy4 không độc lập về hệ không tự do với phương trình liên kết tương ứng là

( 13 22) (1 4 2) 2





Ta chọn hai di chuyển khả dĩ độc lập là δy , y2 δ 4 Vậy

Thế vào ta được

m g y−&& −δy +m g y−&& δy +m g y−&& δy −δy +m g y−&& δy =

2 0

δ δ

&& && &&

&& &&

Vì δy3 , δy4 là tùy ý nên

0





&& && &&

&& &&

Hơn nữa 1 2

0



 + − =



&& &&

&& && &&

M 1

m g 1

y

M 3

m g 3

M 4

m g 4

m g 2

M 2

( ) ( ) ( )

2

2

1

2

2

= − =

&& &&

&&

&& && &&

Bài 7.

PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II

Ta chỉ xét cơ hệ chịu liên kết Hô lô nôm, giữ, lý tưởng có n bậc tự do.

1 Phương trình Lagrange loại II

• Trường hợp tổng quát

1

j

 & 

• Trong trường hợp lực có thế

 & 

L T V = − gọi là hàm Lagrange (là hiệu giữa động năng T và thế năng V của cơ hệ)

• Chú ý

Phương trình Lagrange loại II được ứng dụng phổ biến để nghiên cứu chuyển động của các cơ hệ hôlônôm, lý tưởng

2 Quy trình thiết lập phương trình Lagrange loại II

o Bước 1 Xét tính chất liên kết

o Bước 2 Xác định số bậc tự do n của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và

chọn tọa độ suy rộng

o Bước 3 Xác định biểu thức động năng

o Bước 4 Tính các lực suy rộng Qi hoặc thế năng V.

o Bước 5 Tính

j j

∂ ∂ & hoặc tính L T V = −

j

L q

∂

L q

∂

∂ & .

o Bước 6 Viết phương trình Lagrange II, và giải chúng (nếu cần)

3 Ví dụ

1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của con lắc eliptic gồm vật

A chuyển động trên mặt phẳng ngang nhẵn, và treo vào A con lắc toán học B có

khối lượng A, độ dài l.

2 Bánh xe được xem là đĩa tròn đồng chất trọng lượng P, bán kính R có

thể lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng 1 góc α với phương nằm ngang Gắn vào trục O của bánh xe đồng chất OA trọng lượng Q, chiều dài OA=l có thể quay không ma sát quanh O (như hình vẽ) Hệ đang đứng yên, OA thẳng đứng hướng xuống Thả cho chuyển động Xác định tại thời điểm thả:

a Gia tốc tâm O

b Gia tốc thanh OA

O

α

C A

l

Giải

Xét hệ gồm bánh xe và thanh OA Hệ có hai bậc tự do

Chọn tọa độ suy rộng S O O= 1 , ϕ là góc lệch của thanh OA với phương thẳng

đứng

Ta có

cos

sin

O

O

α

α

=



2

2

C

C

l

l







O

α

C A

x O

y

P Q

ϕ

s

( )

2

cos 4

l

& & &

& & &

& & & &

& &

& & & &

Động năng của cơ hệ

0

Do bánh xe lăn không trượt

;

O

= = & = &

Và chú ý:

;

cos

= &+ &+ &+ && +

2

3

s

&

& &

&

&

Tính lực suy rộng Qs và Qϕ : k O C

k

∑

2

l

Vậy

k

k

∑

2

s

Ql

Phương trình Lagrange loại hai đối với cơ hệ có dạng

;

s

Thay kết quả vào ta được