6. Chứng minh rằng các hàm số sau 6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x; b) cos2 + cos2 + cos2 + cos2 -2sin2x. Lời giải: a) Cách 1: Ta có: y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx = 6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1 - cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0. Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x. Cách 2: y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) = sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1 Do đó, y' = 0. b) Cách 1: Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp (cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u Ta được y' =[sin - sin] + [sin - sin] - 2sin2x = 2cos.sin(-2x) + 2cos.sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0, vì cos = cos = . Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x. Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên cos2 = cos2 ' cos2 = cos2 . Do đó y = 2 cos2 + 2cos2 - 2sin2x = 1 +cos + 1 +cos - (1 - cos2x) = 1 +cos + cos + cos2x = 1 + 2cos.cos(-2x) + cos2x = 1 + 2cos2x + cos2x = 1. Do đó y' = 0.
Trang 16 Chứng minh rằng các hàm số sau
6 Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;
Lời giải:
a) Cách 1: Ta có:
y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx = 6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1
- cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0
Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x
Cách 2:
y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) = sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1
Do đó, y' = 0
b) Cách 1:
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u
Ta được
.sin(-2x) + 2cos sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,
Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x
Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên
Do đó
Trang 2y = 2 cos2 + 2cos2 - 2sin2x = 1 +cos + 1 +cos - (1 - cos2x)
cos2x + cos2x = 1
Do đó y' = 0