PHAN_KHAO SAT HAM SO

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. 2./ Viết phương trình tiếp tuyến với C biết tiếp tuyến song song với đường thẳ

- Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay

- Học sinh vận dụng thành thạo các kiến thức cơ bản để KSHS và các bài toán về tiếp tuyến, cực trị, tiệm cận, …

II Chuẩn bị :

GV : - Soạn giảng , hệ thống kiến thức cơ bản nhằm giúp học sinh dễ vận dụng khi làm bài

- Trình bày bài tập mẫu, cho học sinh thực hiện các bài tập tương tự

HS : - Xem , học và hệ thống kiến thức cũ ở nhà Thực hiện các bài tập mà GV đã giao

III Nội dung ôn tập:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)

• Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)

• ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau

( ) ( ) ( ) ( )

x g x f

có nghiệm

( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )

Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x y )0; 0

Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )

• Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0)

• Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0

Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 tại:a) Điểm M có hoành độ xM = 0 b) Giao điểm của ( C ) với trục hoành

x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1) ⇔y=0

x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2) ⇔y=9(x+2)⇔ y=9x+18

Vấn đề 2: Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương trình tiếp tuyến y – y 0 = k( x – x 0 )

Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )

x

f

k

x

f có nghiệm Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b

Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :

• (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a

Cho ( C ) : y = f(x) = x3 – 2x + 2 lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết

1) Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1 2) Tiếp tuyến vuông góc với (d)

 x0 = 1 ⇒ y0 = 1 Phương trình tiếp tuyến : y = x

 x0 = – 1 ⇒ y0 = 3 Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4

2) Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1

Gọi (d1) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )

2

112

3

3

2

b x x

x

x

có nghiệm

Trang 11

-( )

3

31



Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(x y )1; 1

Phương pháp

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp

tuyến của (C) tại M là : y – y 0 = f’(x 0 )( x – x 0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A nên y 1 – y 0 = f’(x 0 )( x 1 – x 0 ) giải phương trình tìm x0 thay vào (1).

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k Ta có

(d) : y – y 1 = k( x – x 1 ) (1) là tiếp tuyến của (C)

Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x 3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi

qua A(2 ; –4 )

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm Ta có y0 = x 0 3 – 3x 0 +2 và

f’(x 0 ) = 3x 0 – 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

y – (x 0 3 – 3x 0 + 2) = (3x 0 2 – 3)( x – x 0 ) ⇔y =(3x02−3)x−2x03+2 (1)

Vì tiếp tuyến đi qua A(2)– 4) nên – 4 = (3x 0 2 – 3).2 – 2x 0 3 + 2

30

• x 0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2

• x 0 = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k

Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 (d) là tiếp tuyến của (C)

( ) ( ) ( )

3

13

3

3

2

x k x

x

k x

có nghiệm

Từ (1) và (2) ta có x 3 – 3x + 2 = (3x 2 – 3) (x – 2) – 4

30

0

3 2

• x = 0 ⇒k=−3 Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2

• x = 3 ⇒k = 24⇒phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52

Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường

Phương pháp : Ap dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau

(

)(')

(

'

x g

x

f

x g

x

f

có nghiệm Từ đó suy ra giá trị tham số

Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = x 4 – x 2 + 1 và (D) : y = g(x) = x 2 + m

Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau

GIẢI : (C) và (D) tiếp xúc với nhau

)1(224)

()

(

)(')

(

'

2 2

4

3

m x x

x

x x x x

g

x

f

x g

II ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

BÀI TOÁN Cho đường cong (C m) : y = f(x;m)

1 /- Tìm những điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua

Phương pháp

Gọi M(x0;y0) là điểm cố định của (Cm) ⇔ y0 = f(x0) ∀m

Biến đổi thành phương trình ẩn số m

Aùp dụng : phương trình có nghiệm với mọi m khi tất cả các hệ số đều bằng 0 ta được

hệ phương trình ẩn số x0 ; y0 Giải hệ tìm nghiệm x0 thuộc tập xác định D

Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu điểm cố định

2 /- Tìm những điểm mà (Cm) không đi qua

Phương pháp Gọi M(x0 ; y0) là điểm mà (Cm) không đi qua

⇔phương trình y0 = f(x0) không có nghiệm m Từ điều kiện này suy ra M

Lưu ý : Phương trình vô nghiệm khi : x0∉Dhoặc phương trình

Ví dụ Cho (Cm) : y = mx2−2(x m−2+1)x +3 ( m là tham số )

1) Tìm những điểm mà (Cm) luôn đi qua khi m thay đổi

2) Tìm những điểm mà (Cm) không đi qua với mọi m

−

++

20

−

−+

−

=

⇔

)2(

)1(0322

2

2

1 1

1 1 1 1

2 1

1

x VN

x y x y m x x x

00

322

02

1

1

1 1 1 1

y x y

x x

-Vấn đề 2 Sự tương giao của hai đường

Phương pháp: Cho 2 đường ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình f(x)= g(x) (1 ) Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung Muốn tìm giao điểm ta thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x)

2 Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x 0

Phương pháp ( Chia 2 vế của phương trình cho x – x0 )

=

−

⇔

20

02

0

C Bx

Ax

x

x

Số nghiệm của (1) = Số nghiệm của (2) + 1

Đặt g(x) = Ax 2 + Bx + C Tính : ∆ = B2 – 4AC và g(x 0 ) = Ax 0 2 + Bx 0 +C

0

x g

0)(0

0

0

x g

x g

• Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

00

x g

Cách tìm x 0

 a + b + c + d = 0 Phương trình có nghiệm x 0 = 1

 a – b + c – d = 0 Phương trình có nghiệm x 0 = –1

 x 0 là nghiệm nguyên của phương trình thì x 0 là ước số của d

Khi khơng biết nghiệm

Cách 1 Biện luận phương trình bằng đồ thị

Cách 2 Xét hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d

a) Nếu hàm số không có cực trị thì phương trình chỉ có 1 nghiệm

b) Nếu hàm số có cực trị tính yCĐ yCT

 yCĐ.yCT > 0 : Phương trình có 1 nghiệm

 yCĐ.yCT = 0 : Phương trình có 2 nghiệm

 yCĐ.yCT < 0 : Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = 4x 3 – 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2

Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d)

Giaỉ : Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình

−

⇔

201

Vấn đề 3 Biện luận phương trình bằng đồ thị

Phương pháp: Cho (C) : y = f(x) , dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của

x f y C

:)(

)(:

)(

( y = m là đường thẳng cùng phương với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ m )

Dựa vào đồ thị để kết luận chú ý so sánh m với các giá trị cực trị , nếu đồ thị có tiệm cận ngang thì so sánh với giá trị tiệm cận ngang

Trường hợp 2 : f(x) = am + b tương tự như trường hợp 1 ở đây giao điểm của (d) với trục Oy có tung độ là am + b

Ví dụ Cho (C) : y = x 3 – 3x 2 + 2.

1) Khảo sát hàm số

2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của :

Dựa vào đồ thị ta có :

• m <− 2 ∨ m > 2 Phương trình có 1 nghiệm

• m = −2 ∨ m= 2 Phương trình có 2 nghiệm

• −2< m< 2 Phương trình có 3 nghiệm

Vấn đề 4 Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy ra :

(

0)

(

x khi x f

x khi x f

nên ta có (C 1 ) :

• Giữû phần đồ thị (C) với x > 0

• Bỏõû phần đồ thị (C) với x < 0

• Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị (C) với x > 0

0)()

(

x f khi x f

x f khi x f

nên ta có (C 2 ) :

• Giữû phần đồ thị (C) với f(x) ≥ 0

• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với f(x) < 0

• Bỏõû phần đồ thị (C) với f(x) < 0

(

) (

0 ) ( )

(

) (

x Q khi x Q

x P

x Q khi x

Q

x P

nên ta có (C 3 ):

• Giữû phần đồ thị (C) với Q(x) > 0

• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với Q(x) < 0

• Bỏõû phần đồ thị (C) với Q(x) < 0

4; (C 4 ) : y = f(x) = P(x).Q(x) hay y = f(x) =

)(

)(

x Q

x P

(

0)()

(

x P khi x f

x P khi x

f

nên ta có (C 4 ) :

• Giữû phần đồ thị (C) với P(x) ≥ 0

• Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với P(x) < 0

• Bỏõû phần đồ thị (C) với P(x) < 0

Vấn đề 5 : Quĩ tích của một điểm

Phương pháp chung: Từ điều kiện đã cho tìm tọa độ điểm M(x ; y)

( )( )

Khử m ta được hệ thức liên hệ giữa x và y là phương trình quĩ tích Từ điều kiện của

m suy ra điều kiện của x hay y là giới hạn của quĩ tích Đặc biệt nếu M là trung điểm của AB là giao điểm của (C) : y = f(x) và đường thẳng (d) : y = ax + b ta có :

Hàm số có 2 cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x 2 + 2x + m – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1

 là phương trình quĩ tích điểm cực đại

b) Ta có x = –1 và y = x + 2m – 1 là phương trình các đường tiệm cận ( m ≠2 )

Nên tâm đối xứng I(x ; y) : x y= −x12m 1 ⇔ x y= −21

là phương trình quĩ tích của tâm đối xứng

2/- Cho (C) : y = x 3 – 3x 2 + 2 và đường thẳng (d) đi qua A(0 ; 2) có hệ số góc k Khi

(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt A, B , C tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn BC khi k thay đổi

(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔

9

40

22

2

353

82

là pt quỹ tích của I

Vấn đề 6: khảo sát hàm sớ

Gv: Nhắc lại các bước khảo sát hàm số cho học sinh

Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

 Điểm đồ thị đi qua  Đồ thị(KL: Tính đối xứng của đồ thị)

 Các dạng đồ thị hàm số: vẽ trên bảng phụ cho học sinh xem và giải thích.

B CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Trang 17

-Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các bài toán liên quan…Ứng dụng của tích phân.

* Hàm bậc ba:

Bài 1: Cho hàm số: y =x3 −3x +2, có đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0;2)

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = −3

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d:y =2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

2./ Tìm điều kiện của m: Xét PT:x3 +3x2 − −2 m = ⇔0 x3 +3x2 =m +2, kết quả:

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2./ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I( 1;0)− và có hệ số góc k = 1

a/ Viết phương trình đường thẳng d

b/ Tìm toạ độ giao điểm của d và đồ thị (C)

c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =1

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng: x =1,x =2

3/ Xác định m để HS có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị, viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó

-12

y

x

CT C§

-12

-2

- 1

1 -1 O

-2

2

2 1

O

Bài 7: Cho hàm số y =x3 −mx2 +m −1 , m là tham số.

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =3

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 1 1

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Viết phương trình tíếp tuyến ∆ với (C ) tại điểm A( 0 , - 2)

3/ d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt

m

m m

<



⇔  ≠ ⇔ <

1/ Điểm cực đại: (0; 2)− Điểm cực tiểu:(2; 4)

2/ PTTT với (C) tại điểm A(0; 2)− .

Bài 9: Cho hàm số: y =2x3- 3x2- 1, đồ thị (C)

-2 2

2

4 2

y

y'

x

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: y =x - 1

3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x3- 3x2- m = 0

4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình: y =ax - 1

é =ê

êë

Thay vào PT đt (d) ta có

toạ độ giao điểm

3/ Biện luận theo m số nghiệm PT:2x3- 3x2- m =0 >

2x - 3x - m =0Û 2x - 3x - 1=m - 1

> Đặt: y =2x3- 3x2- 1, đồ thị (C) vừa vẽ và y =m - 1: đồ thị là đường thẳng(d) cùng phương Ox

> Số nghiệm của PT = số giao điểm của (C) & (d) > Biện luận 5 trường

B từ kết quả trên ⇒ M là trung điểm của đoạn AB

Diện tích tam giác OAB: 1.3.4 2

+

=

− có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y =m x( + +1) 3 tại 2 điểm phân biệt A,B nhận I(-1;3) làm trung điểm AB

- 23

2 3

2 1

- 2 - 1 O

để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B nhận I làm trung điểm AB<=> (*) có 2 nghiêm

phân biệt x1, x2 thoả mãn : 1 2 1

2

12

m

m m m

+

=

− (C ).

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại giao điểm của (C) và trục tung

3/ Tìm tất cả các điểm trên (C ) có toạ độ nguyên

−

=

−

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = −x m luôn cắt (C) tại hai

điểm phân biệt

x = không là nghiệm của pt (*) và ∆ =(m +4)2 −4.(2m + =1) m2 +12 > ∀0, m Do đó,

pt (*) luôn có hai nghiệm khác 2 Vậy đường thẳng y = −x m luôn cắt (C) tại hai điểm

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox

3/ Tìm m để đường thẳng d : y = − +x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

HD Bài 14:

Hàm số được viết lại: 2 1

1

x y x

+

=

- 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

>Tập xác định: D = ¡ \ 1{ } >

3'

>Điểm đặc biệt: A(- 2; 1); B(0; - 1);C(2;5); D(3;7

− +

=+ có đồ thị ( C ).

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2/ Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D):y = - 2x

-∞

-

-1

O 1

x

y

2/ Nếu gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm thì từ giả thiết ta có 2

0 1)(

2

+

−

x =-2 suy ra x0=0 và x0 = - 2

với x0 = 0 thì y0 = 1 ta có pttt tại M0 là y = -2x + 1 nên cắt Ox tại M(1/2;0)

Với x0 = - 2 thì y0 = - 3 ta có pttt tại M0 là y = - 2x - 7 nên cắt Ox tại M(-7/2;0)

Vậy có hai điểm thoả ycbt M(1/2;0) và M(-7/2;0)

Bài 16: Cho hàm số: 2

3

x y x

x

−

=+ (C)

Bài 18: Cho hàm số: 2 1

1

x y x

+

=+ có đồ thị là (C).

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm trên (C) những điểm có tổng kcách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất

3/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Bài 19: Cho hàm số: 2 3

1

x y

x

−

=

− có đồ thị là (C).

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ

3/ Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: y = − +x 3 và tiếp xúc

=+ có đồ thị là (C).

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đường thẳng x =0, x =2.

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

* Hàm trùng phương

Bài 21: Cho hàm số: y =x4 −2x2

1/ Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số

2/ Định m để phương trình: x4 −2x2 +logm − =1 0có 4 nghiệm phân biệt

HD Bài 21:

2/ Phương trình có bốn nghiệm phân biệt ⇔ − < −1 1 logm < ⇔0 10<m <100

Trang 25

-Bài 22: Cho hàm số: 1 4 3 2 3

y = x − x + có đồ thị (C)

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết PTTT với đồ thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 =2.

3/ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm : x4−6x2+ +1 m =0

1/ Tìm điều kiện của m để hàm số có ba cực trị

2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = -0 1

> Hàm số có ba cực trị ⇔ y' =0 có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu ba lần ⇔PT(2) có

hai nghiệm phân biệt x x1, 2 ≠ ⇔0 m > 0

x y

3 2

3

- 2

O 1

- 3

- 3

3 2

C§

CT CT