cac buoc khao sat va ve do thi ham so

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN NHẤTA.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN I.KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ : a... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và hai trục tọa độ.

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN NHẤT

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN

I.KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ :

a Hàm số bậc 3 : y ax 3bx2 cx d

B1 : TXĐ D= R

B2 : Tính đạo hàm cấp 1 : y' 3ax2 2bx c , cho y’ = 0 giải pt bậc 2 tìm nghiệm x , suy ra y B3 : Tìm các giới hạn

x y khi a x y khi a

B4 : Lập bảng biến thiên , kết luận các khoảng tăng giảm và các điểm CĐ và CT của hàm số

B5 : Tìm các điểm đặc biệt bằng cách cho x ba giá trị xung quanh hoành độ các điểm CĐ và CT

rồi tìm y ( cho 1 giá trị ở giữa và 2 giá trị ở 2 bên các điểm CĐ và CT )

B6 : Vẽ đồ thị hàm số

b Hàm số trùng phương : y ax 4 bx2 c

B1 : TXĐ D= R

B2 : Tính đạo hàm cấp 1 : y' 4ax32bx2 , cho y’ = 0 giải pt bậc 3 bằng cách đặt x làm thừa

số chung tìm nghiệm x , suy ra y

B3 : Tìm các giới hạn

        

B4 : Lập bảng biến thiên , kết luận các khoảng tăng giảm và các điểm CĐ và CT của hàm số B5 : Tìm các điểm đặc biệt bằng cách cho xx0 tìm y hoặc cho y = 0 giải pt trùng phương tìm x hoặc y = c giải pt trùng phương tìm x

B6 : Vẽ đồ thị hàm số

c Hàm số nhất biến : y ax b

cx d





 c0,ad bc 0 B1 : TXĐ D R \ x0 với x0 là nghiệm dưới mẫu , x0 d

c





B2 : Tính đạo hàm :

'

a b

c d ad bc y

cx d cx d



( khẳng định > 0 hoặc < 0 với mọi x thuộc D ) B3 : Tìm các giới hạn và các tiệm cận

lim , lim ; lim

x

a

c

 TCĐ : x = x0

TCN y a

c



B4 : Lập bảng biến thiên , kết luận các khoảng tăng giảm của hàm số

B5 : Tìm các điểm đặc biệt bằng cách cho

0

0

 

  và cho thêm x hai giá trị tìm y

B6 : Vẽ đồ thị hàm số : vẽ 2 tiệm cận trước , sau đó vẽ đồ thị

II.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Viết phương trình tiếp tuyến của đths ( C) : y = f(x) tại điểm M( x 0 ; y 0 )

B1: Tính y’ = f’(x) ( đạo hàm cấp 1 )

B2: Tính hệ số góc của tiếp tuyến ' 

0

k f x

B3 : pttt y = k( x - x 0 ) + y 0

Chú ý :

Nếu chỉ cho hoành độ x0 thì ta tìm y0 bằng cách thế giá trị x0 vào hàm số đã cho

Nếu chỉ cho tung độ y0 thì ta tìm x0 bằng cách thế giá trị y0 vào hàm số đã cho và giải pt tìm x thì giá trị đó là x0

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đths ( C) : y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

B1 Gọi điểm M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm

B2: Tính y’ = f’(x) ( đạo hàm cấp 1 )

B3: Giải pt f’(x0) = k tìm x0 , thế vào hàm số tìm y0 , được các điểm M , N

B4 : Viết pttt của hàm số lần lượt tại các điểm M , N theo công thức y = k( x - x 0 ) + y 0

3.Dùng đồ thị (C ) : y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của pt : f( x, m ) = 0 (1)

Biến đổi vế trái pt (1) thành biểu thức f(x) của đths vừa khảo sát vẽ đồ thị ở trên ,còn lại chuyển qua vế phải

(1) f(x) = f(m) Đây là pthđgđ của (C ) và đường thẳng  có pt y = f (m)

Dựa vào đồ thị biện luận các trường hợp nghiệm của pt (1)

Chú ý :ta căn cứ vào tung độ của các điểm CĐ và CT

4 Tìm GTLN , GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

 Tính y’ , cho y’ = 0 tìm các nghiệm x1 , x2 … ( loại các nghiệm không thuộc [a ; b] )

 Tính f(a) , f(b) , f(x1) , f(x2 ) , …

 Kết luận :

Số lớn nhất trong các số trên là GTLN của hàm số Kí hiệu là

 ; 

max

a b y

Số nhỏ nhất trong các số trên là GTNN của hàm số Kí hiệu là

 ; 

min

a b

y

Chú ý :

Nếu y’ = 0 vô nghiệm ( tức y’ > 0 hoặc y’ < 0 trên đoạn [ a ; b ] ) thì GTLN và GTNN của hàm số chính là giá trị ở 2 đầu mút f(a) , f(b)

Đối với hàm số lượng giác ta có thể đặt t =  x với xa b;   t  ;  Đưa bài toán

về dạng tìm GTLN , GTNN trên đoạn  ; 

B.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 (1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm (1) tại điểm cực đại của đths

3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm (1) tại điểm cực tiểu của đths

4.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm (1) tại điểm có hoành độ bằng -1

5.Dùng đths (1) biện luận theo m số nghiệm pt : x3 + 3x2 - m = 0

6.Dùng đths (1) biện luận theo m số nghiệm pt : x3 + 3x2 + m = 0

7.Dùng đths (1) biện luận theo m số nghiệm pt : x3 + 3x2 - 2m +1 = 0

8.Tìm GTLN , GTNN của hs (1 ) trên đoạn [-3 ; -1]

Bài 2 : Cho hàm số y = - x3 + 3x + 1 (1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm (1) tại giao điểm của đths với trục Oy

3.Dùng đths (1) biện luận theo m số nghiệm pt : x3 - 3x + m = 0

Bài 3: Cho hàm số : 3 2

y x  x  x ( C ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2.Viết pttt của ( C) tại điểm mà đạo hàm cấp 2 bằng 0 Đs : y = -3x + 8

3.Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng y = x + m2 – m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị ( C ) Đs : m = 0 , m = 1

Bài 4

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2

yx  x  (C ) 2.Dựa vào đồ thị ( C) , hăy xác định m để pt : x4 – 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

đs : 0 < m < 1

Bài 5 : Cho hàm số : 4 2

4 11

y x  mx  m ( Cm) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 4

2.Dùng (C ) biện luận theo a số nghiệm pt : x4 - 4x2 + 5 – a = 0

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C) và đt y = 5 đs 128/15

Nc 4.Tìm các điểm cố định của họ đường cong ( Cm) khi m thay đổi đs (-2 ; 5 ), (2 ; 5)

Bài 6 : Cho hàm số yf x x4 2mx22m  1

1 Tìm m để đths (1) có 3 cực trị ; một cực trị

2 Tìm m để đths (1) đi qua A(3 ; -2 )

3 Khảo sát và vẽ đths (C ) khi m = 1

2 Viết pttt của (C ) tại các điểm 6 31; , 6 31;

3 6

Bài 7 : Cho hàm số : 2 1

1

x y x





 ( C ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và hai trục tọa độ Đs : S  1 ln 2

3 Viết pttt của ( C) biết hệ số góc của tt k = 1

4 Đs :

1 13

y x và y =

Bài 8 : Cho hàm số : 4

2

y

x



 ( C) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , trục hoành và 2 đt x = -2 , x = 1 Đs : S= 8ln2 3.Dựa vào ( C ) biện luận theo m số giao điểm của ( C) và đt y = m

Bài 9 : Cho hàm số :  1 2 1

1

y

x



 ( 1 ) 1.Tìm m biết đths (1) đi qua điểm A(0;-1)

2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) với m vừa tìm ở trên

3 Viết pttt của ( C) tại giao điểm của ( C) và trục tung

Bài 10 : Tìm GTNN, GTLN của hàm số

1.y e x2 2x

 trên đoạn [0 ; 3]

2.yf x   2 cos 2x4sinx trên đoạn 0;

2



 

 

  đs 4 ; 2

2 HD : cos2x = 1 – 2sin2x

C.BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1 : Khảo sát vẽ đồ thị các hàm số

1.yf x  x3 6x29x 4 2 yf x 3x x 3

3.y x 33x2 4 4.y x 4  2x2  3

5   1 4 2 5

3

7   2 2

2

x

x



 8   1

1

x

x





1

x

y

x



 10 2

x y x







Bài 2 : Tìm GTNN, GTLN của hàm số

1.yf x  x3 3x2  9x35 trên đoạn 4; 4 đs : -41 ; 40

2 yf x 2x33x21 trên các đoạn 2; 1

2

 

  và 1 ;1

2



  đs : -5 ; 0 và -1 ; 4

2 1

x

x

 

 trên đoạn 0; 2 đs : 0 ; 2

4.yf x  2x trên đoạn 1; 2 đs : 1 /2 , 4

Bài 3 :Viết pttt của đths (C ) : yf x  x33x2 4x2

1 Tại các điểm M(2 ; -2 ) , N (0 ; 2 ) đs : y = -4x + 6 , y = - 4x +2

2 Tại điểm mà đạo hàm cấp 2 bằng 0

Bài 4 :

1.Viết pttt của đths yf x  x22x 2 tại điểm có hoành độ bằng 2 đs y = -2x +2

2.Viết pttt của đths   1 4 2 9

4

yf x  x  x  tại điểm có hoành độ bằng 1 đs y = 7x -1

Bài 5:

1.Khảo sát và vẽ đths (C ) : yf x x33x

2.Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm pt : x3 3x2m0

3.Viết pttt của (C ) tại gốc tọa độ O

Bài 6: cho ham số y = x3 – 3x2 +3mx – 1

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m= 0 , m =1

2.Tìm m để hàm số ( Cm) đồng biến trên tập xác định của nó

Bài 7 : Cho hàm số yf x x3 3mx23 2 m 1x1 (1)

1.Khảo sát và vẽ đths (C ) khi m = 2

2.Viết pttt của (C ) với trục tung

3 Viết pttt của (C ) với tại điểm có hoành độ bằng -1

4.Tìm m để hs (1) đạt cực đại tại x = 3

5.Xác định m để hs (1) đồng biến trên tập xác định của nó đs : m= 1

Bài 8 : Cho hàm số : 3 2

3

y x x ( C )

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2.Dựa vào (C ) biện luận theo m số nghiệm của pt : -x3 + 3x2 - m = 0

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C) và trục hoành Đs : 27/4

Bài 9 : Cho hàm số : y x 33x2 ( C )

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C) , trục hoành và các đt x = -2 , x = -1 Đs : 13/4

Bài 10 Cho hàm số : y x 3 m2x m

1.Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm x = -1

2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) khi m = 1

3.Biện luận theo k số giao điểm của ( C) và đt y = k

Bài 11: Cho hàm số : y x 33x2mx m  2C m

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 3

2.Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung Viết pttt của ( C) tại A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và tiếp tuyến Đs : tt y = 3x + 1 ; S= 27/4

3.Tìm các giá trị m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đs m < 3

Bài 12 : Cho hàm số   1 4 2 3

3

yf x  x  x  (C ) 1.Khảo sát và vẽ đths (C )

2 Dùng ( C ) biện luận theo t số nghiệm pt : 1 4 2 3

2 x  x  2  t

3 Dùng ( C ) biện luận theo m số nghiệm pt : x4  6 x2   3 m

4.Viết pttt của (C ) tại các điểm mà đạo hàm cấp 2 bằng 0 đs :y = -4x +3 ; y= 4x +3

Bài 13 : Cho hàm số yf x  x42m 2x2m2 5m5  1

1 Tìm m để đths (1) có 3 cực trị ; một cực trị

2 Tìm m để đths (1) đi qua A(0 ; 1 )

3 Tìm m để đths (1) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt đs : 1 5 5

2

 

4 Khảo sát và vẽ đths (C ) khi m = 1

Bài 14 : Cho hàm số 3 2  

1

x

x







1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2 Viết pttt của (C ) với tại điểm có tung độ bằng -2 đs : y = 5x-2

3.Tìm m để đt y = x + m cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt

Bài 10 : Cho hàm số 3 4  

x

x







1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2 Viết pttt của (C ) với tại điểm M( 1 ; - 7 ) đs : y = -17x +10

Bài 15 : Cho hàm số 1  

2

x

x







1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2 Viết pttt của (C ) với tại giao điểm của ( C) với trục tung đs : 3 1

y x

Bài 16 :1.Khảo sát và vẽ đths (C ) : yf x   x13 3x 4

2.Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm pt : x13 3x m

3.Viết pttt của (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 và bằng -3 đs y = 9x -8 , y = 9x +24

Bài 10

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 3

3 4

y x  x (C )

Nc 2.Cho điểm M thuộc ( C) có hoành độ x 2 3 Viết pttt của ( C) đi qua M

Nc 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và tt của nó tại M

Bài 11 : Cho hàm số : 1 3 2

3

y x  x ( C ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

Nc 2.Viết pttt của ( C ) đi qua A ( 3 ; 0 ) Đs : y0;y3x 9

3.Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , x = 0 , x = 3 , y = 0 khi quay quanh trục Ox Đs : 81

35