Khảo sát hàm số 2012

Với mong muốn giúp các em nắm được cốt lõi cơ bản để tự hình thành phương pháp tư duy khi tiếp cận và giải quyết các bài tập này Tôi biên soạn chuyên đề phương pháp giái các bài toán KSH

Các em học sinh thân mến!

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học câu hỏi phụ bài toán khảo sát hàm số luôn là dạng bài tập

mà không phải học sinh nào cũng có thể giải quyết trọn vẹn Nguyên nhân là do các em chưa được trang bị đầy đủ phương pháp để giải toán và nhận dạng các kiểu bài tập

Với mong muốn giúp các em nắm được cốt lõi cơ bản để tự hình thành phương pháp tư duy khi tiếp cận và giải quyết các bài tập này Tôi biên soạn chuyên đề phương pháp giái các bài toán KSHS

Để học tập đạt hiệu quả cao nhất trước hết các em cần nắm chắc nghĩa tính chất cơ bản trong SGK sau đó đọc phần phương pháp và tự mình giải các bài tập rồi so sánh với lời giải của tác giả

Phần bài tập ở cuối chuyên đề là những bài toán điển hình về KSHS thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi TSĐH và CĐ Vì vậy các em học sinh hãy cố gắng để giải quyết nó với tinh thần nghiêm túc, cẩn thận, triệt để

Trong quá trình biên soạn chắc chắn không thể tránh khỏi các sai sót Rất mong các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh góp ý để tài liệu được hoàn thiện hơn

Mọi đóng góp xin vui lòng gửi về địa chỉ: nguyentrungkien_ntk@yahoo.com hoặc

kien.noiaybinhyen@gmail.com Xin chân thành cảm ơn

HÀ NỘI THÁNG 7-2011 Nguyễn Trung Kiên 0988844088-01256813579

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH

Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088-1256813579

Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3:yax3bx2cxd

* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là x x khi đó 1, 2 x x là 2 nghiệm của phương trình 1, 2y’=0

* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại x x thì 1, 2

'( ) '( ) 0

+ Phân tích y f x p x'( ) ( )h x( ) Từ đó ta suy ra tại x x thì 1, 2 y1h x( );1 y2 h x( 2) yh x( )

là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là:

1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k=a

2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k= 1

3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc 

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k tan

Ví dụ 1) Cho hàm số y x3 3x2 mx2 (1) với m là tham số thực

Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

;)3(2

B m

33

2

m k

4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc 

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện tan

0

11

k k

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y

Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số yx33mx2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât

Giải: Có: y'3x23m có 2 nghiệm phân biệt khi m 0 Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là M m; 2 2 m x ,N  m; 2 2 m x

6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y y ) 1; 2

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB

7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y y ) 1; 2

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f x( )x 3x m xm có CĐ và CT đối xứng nhau qua

2 2

2

3 2; 1

03

0( 1) 0

1 2

1 2

12

Vì I nằm trên (d) nên ta có 1m  1 0 m0 (thỏa mãn)

Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng

8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y y ) 1; 2

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B Tính độ dài AB theo tham số Dùng phương pháp đạo hàm để tìm max, min

9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x x là hai nghiệm của phương trình y’=0 1, 2

Giải: Hàm số có CĐ, CT f x( )x 2mxm0 có 2 nghiệm phân biệt

1( đến đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất

Giải: Ta có y'3x2 6xm Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

30

2()3

13(

3)23

2(   

 m x m

y Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường

thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là ;2)

2

1(

*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác không

VD: y2x42mx2 thì 2 y'4x34mxy'0 x 0 x2  m điều kiện là m<0

*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), B x y( ;1 1); ( ;C x y thì điều đặc biệt là tam giác 2 1)ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán)

*) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là:

1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều

+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính các véc tơ:  AB AC BC, ,

+ Tam giác ABC vuông cân  AB AC 0

+ Tam giác ABC đều ABBC

2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước + Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A Tính các véc tơ:  AB AC BC, ,

+ Kẻ đường cao AH

2

ABC

+ Giải điều kiện

Ví dụ 1) Tìm m để f(x)=x42mx22mm4 có CĐ, CT lập thành tam giác đều

4 2

4 2 3

Ví dụ 4) Cho hàm số yx42mx22 có đồ thị (C m ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua

Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận

*) Xét hàm số y f x( ).Giả sử M x y là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng ( ;0 0)

*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là k f x'( 0)

*) Đường thẳng  bất kỳ có hệ số góc k đi qua M x y có dạng ( ;0 0) yk x( x0)y0 Điều kiện

để  là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm

*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là

1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng ( ;0 0)

'( )( )

y f x xx  y (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f x'( 0)

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k  f x'( 0)a Giải phương trình tìm x 0

sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)

Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là '( A) '( B)





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến

cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2)

Giải : Gọi x là hoành độ tiếp điểm 0 (x   , PTTT là 0 1)

0 2

0

2 11

11

x y

Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với

AB hoặc trùng với AB

Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:

21

11

x

x x

0 2

0 0

x x

 

4

41

4

'

m y



Giao điểm của (Cm) và trục Ox là

Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn:    

2

2; 4 , 2; 02

x x

2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng ( ;0 0)

'( )( )

y f x xx  y (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f x'( 0)

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên k f x'( 0) 1

a

   Giải phương trình tìm 0

x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)

+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:

a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E

b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau

Giải: a) Xét Cm  y 1 với phương trình tìm hoành độ giao điểm

9

04

Với điều kiện 0 9

Ví dụ 2) Tìm m để trên (C m ) có 2 điểm phân biệt M1x y1; 1,M2x y2; 2 thỏa mãn x x 1 2 0

và tiếp tuyến của (C m ) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 3y  1 0

trình g x( )x26x3k 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

3) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua M x( M;y M)

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng  đi qua M Phương trình của  là yk x( x M)y M

+ Điều kiện để  là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm ( ) ( )

Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 19; 4

yk x  

  tiếp xúc với  C :y f x( )

19

12( )

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng ( ;0 0)

'( )( )

y f x xx  y (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f x'( 0)

+ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc  0 0

0

'( ) tan'( ) tan

Phương trình tiếp tuyến tại x1=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2

Phương trình tiếp tuyến tại x2=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6

Ví dụ 2) Cho hàm số 3

2( 1)

x y x





 có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên

(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ Giải: Do tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác OAB

vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 450

5) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc 

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng ( ;0 0)

'( )( )

y f x xx  y (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f x'( 0)

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc 

tan1

tan1

tan1

Ví dụ 1) Cho (C): 4 3

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến tạo với   :y=3x góc 45 0 Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với   :y=3x góc 450 nên

2

3 1 33

Vậy chỉ có 2 tiếp tuyến y 2x 6 2 2tạo với y=3x góc 450

6) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc tam giác OAB có diện tích bằng một số cho trước

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng ( ;0 0)

'( )( )

y f x xx  y (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k f x'( 0)

+ Tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giác vuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox một góc 0

45

  và tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ + Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng (4) Sau đó chỉ chọn những tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ

+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức 1

Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có: sin  1 sin

42

OA ABO

2

0 0

24

22

x

x x

20;

2

x B

2

3 0

0 0 2

Với x  thì PTTT là: 0 4 y   x 4

Ví dụ 2) Cho hàm số 4 3 (2 1) 2 ( 2) 1

y x  m x  m x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A, B tạo thành tam giác IAB

có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức 1

 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến

bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64

Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng xm và đường tiệm cận ngang là y2m Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là:I m , 2m

x m) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho

PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là

2

0 0

2

0 0

2 0 0



 Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến

tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2 2  2

1

11

y

x x

a

a a

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là B2a 1;1

 Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị Viết

PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn:

độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị  C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn :IA2IB2 40

Giải:

TCĐ  d1 :x  1,TCN  d2 :y 2 I1; 2.Gọi 0

0 0

2 1

;1

0 0 2

0 0

2 13

: :

11

x

x x

0

0 0

36

140

00

x

x x

2 2

IAB

tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi

IA=IB Giải điều kiện tìm M sau đó viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1) Cho hàm số 2

1

x y x





 Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B

sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất với I là giao 2 tiệm cận

Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y  Giao điểm hai đường tiệm cận 1 I  1;1 Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x , PTTT có dang: 0

0 0 2

0 0

23

11

x

x x

1

x A x

Dấu “=” xảy ra khi IAIBx012 3 x  1 3

Với x   1 3 ta có tiếp tuyến d1:yx2 1  3

Với x   1 3 ta có tiếp tuyến d2:yx2 1  3

Ví dụ 2) Cho Hypebol (C): 2 1

1

x y x





 và điểm M bất kỳ thuộc (C) Gọi I là giao điểm của

tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

a) CMR: M là trung điểm của AB

9) Tìm điều kiện để qua điểm M x M;y M cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị y=f(x)

+ Xét đường thẳng  có hệ số góc k đi qua điểm M PT( ) : yk x( x M)y M

+ Điều kiện để  là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm ( ) ( )

+ Chú ý: Trong việc xác định toạ độ M học sinh cần linh hoạt VD: Điểm M thuộc đường thẳng y=2x+1 thì M( ; 2a a 1), Điểm M thuộc đường thẳng y=2 M a( ; 2)……

Ví dụ 1) Cho đồ thị hàm số (C):   4 2

1

y f x x x  Tìm các điểm A Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Giải: Lấy bất kỳ A(0;a)(C) Đường thẳng đi qua A(0;a) với hệ số góc k có phương trình

y=kx+a tiếp xúc với đồ thị (C) ( )

Thế k=0 vào hệ (*)

4 2

2 3

0; 00; 0

  chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Kết luận: Từ các điều kiện cần và đủ  Đáp số: A(0;1)

Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến

Giải: Lấy bất kỳ A(a;2a+1)y=2x+1 Đường thẳng đi qua A(a;2a+1) với hệ số góc k có phương

trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với  : 3   2 1 3

Giải:

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trình tiếp tuyến là(d) : yk x( 1) 2 Vì (d) là tiếp tuyến nên hệ phương trình sau có nghiệm

3 2 2