Khảo sát hàm số (1 số dạng liên quan)

Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung.. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến C.. Định m để C m tiếp xúc với trục hoành.

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

A DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô y  f x ,đồ thị là (C) Có 3 dạng phương trình tiếp tuyến như sau:

Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y 0; 0   C

- Tính đạo hàm và giá trị f x ' 0

- Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

Chú ý: tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0   C có hệ số góc kf x' 0

Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

- Giải phương trình: f x' k, tìm nghiệm x0 y0

- Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x   0y0

Chú ý: cho đường thẳng : Ax+By+C=0 , khi đó:

- Nếu d//  d : Ax+By+m=0 hsg k: A

B

- Nếu d  d B: x-Ay+n=0 hsg k: B

A

Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x y 0; 0   C

- Gọi d là đương thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d :y k x x   0y0

- Điều kiện tiếp xúc của  d và C  là hệ pt sau có nghiệm:

 

'









Chú ý: Cho đường cong  C :yf x và đường thẳng  d :ykxb Điều kiện để d tiếp xúc với

(C) là hệ sau có nghiệm  

  '









1 Cho hàm số y x 4 2x2 ,hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của

(C):

a Tại điểm có hoành độ x  2

b Tại điểm có tung độ y = 3.

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng:  d y1 24x2008

d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:  2

1 2008 24

2 Cho hàm số 2 3

1

y

x



 có đồ thị là (C).

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c Viết phương trình tt của (C) tại giao điểm của (C) với trụng hoành

d Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1,-1)

e Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k = -13

ó do thi là C 1

x

 



a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0

d Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)

4 Cho hàm số y x3 3mx2 x 3mC m







 Định m để C m tiếp xúc với trục hoành

5 Cho hàm số yx4 x3m1x2  x m C m Định m để C mtiếp xúc với trục hoành

6 Cho hàm số  

1

4







x

x y

C Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)

7 Cho đồ thị hàm số  : 3 3 2 4





x x y

C Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể

kẻ được 3 tt với (C)

8 Cho đt hàm số  : 4 2 2 1





x x y

C Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tt đến (C)

9 đồ thị hàm số  : 3 3 2





x x y

C Tìm các điểm trên đt y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tt với (C)

B DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô y  f x ,đồ thị là (C) Các vấn đề về cực trị cần nhớ:

- Nghiệm của phương trình f x  là hoành độ của điểm cực trị'  0

- Nếu  

 

0 0

f x









thì hàm số đạt cực đại tại x x 0

- Nếu  

 

0 0

f x









thì hàm số đạt cực tiểu tại x x 0.

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

- Để hàm số yf x  có 2 cực trị

' 0 ó nghiêm

0

a

 



- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y CD.y CT 0

- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung

CD CT

- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm trên trục hoành 0

CD CT

CD CT



 





- Để hàm số yf x có hai cực trị nằm dưới trục hoành 0

CD CT

CD CT



 





- Để hàm số yf x có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y CD.y CT 0

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số y ax 3bx2cx d

- Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Dạng 2: Hàm số

2

ax bx c y

dx e





- Đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng  

2

'



1 Chứng minh rằng hàm số y =x2 m m 2 1x m4 1

x m



luôn có có cực trị với mọi m

3

y x  mx  m x Định m để:

a. Hàm số luôn có cực trị

b. Có cực trị trong khoảng 0;  

c. Có hai cực trị trong khoảng 0;  

3 Định m để hàm số y x 3 3mx2m21x2 đạt cực đại tại x = 2

4 Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4

a. Khảo sát hàm số khi m = 0

b. Định m để hàm số không có cực trị

c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu









y Định m để đt hàm số có cực đại cực tiểu, viết pt đt đi qua hai điểm cực trị ấy

m x

m x m x y











, chứng minh rằng đt hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi

m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

7 Cho hàm số 3 1 2  2 2  2













y Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

8 Cho hàm số

m x

m mx

x y











2

Định m để đt hs có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung

9 Cho hàm số y x mx 2m 1x m 2C m

3











C DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Cho hàm sô y  f x có TXĐ là miền D

- f(x) đồng biến trên D  f' x  0 , xD

- f(x) nghịch biến trên D  f' x  0 , xD

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền

D)

Thường dung các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f x ax2bxc

1 Nếu   0thì f(x) luôn cùng dấu với a

2 Nếu   0thì f(x) có nghiệm

a

b x

2



 và f(x) luôn cùng dấu với a khi

a

b x

2





2 Nếu   0thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a

So sánh nghiệm của tam thức với số thực α















0

0

2 1



 























2

0

0

2 1

S f a x

x























2

0

0

2 1

S f a x

   

































2

0 0

S f f x



































2 2

0

0

S hoac S

f f x

1 Cho hàm số y x 3 3m1x23m1x1 Định m để:

a Hàm số luôn đồng biến trên R

b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2 ; 

2 3

2 3







y

 Đồng biến trên R

 Đồng biến trên 1 ; 

3 Cho hàm số 3 32 1 2 12 5 2











y

 Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2 ; 

 Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1

4 Cho hàm số

2

2 6

2









x

x mx

y Đình m để hs nghịch biến trên 1 ; 

D DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG

1 Tìm số giao điểm của 2 đường cong

Để tìm giao điểm của 2 đường cong yf x có đồ thị là  C và 1 y g x  có đồ thị là C thường 2

có 2 cách như sau:

Cách 1: - Lập phương trình hoành độ giao điểm f x g x 

- Số nghiệm của pt trên chính là số giao điểm của  C và 1 C 2 Cách 2: Dựa vào đồ thị để biện luận số giao điểm với 2 đường

2 Biện luận nghiệm dựa vào đồ thị

- Biến đổi phương trình về dạng f x   m (1)

- Phương trình (1) là phương hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d m y m

song song với trục hoành

- Cho  m thay đổi từ   đến  trên trục Oy để tìm số giao điểm của (C) và d m

1 Cho hàm số  12

1

x y x





 có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 m2x m  1 0

2 Cho hàm số yx1 2 x12 có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x212 2m 1 0

3 Cho hàm số y x 3ax2 4

a Khảo sát hàm số trên khi a = 3

b Tìm các giá trị của a để phương trình x 3 ax2 4 0 có nghiệm duy nhất

E DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH.

LÝ THUYẾT CẦN NẮM:

Các công thức về khoảng cách: AB x B  x A2y B  y A2

Cho đường thẳng  d Ax+By+C=0

1 Cho hàm số y x3 3mx2 3x 3m 2C m









 Định m để C m có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất

2 Cho  

1

2 2 :







x

x y

C Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

3 Cho hàm số  

1

1 :

2









x

x x y

C Tìm cá điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

4 Cho hàm số  

1

2 2 :







x

x y

C Tìm 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

5 Cho hàm số  

1

1









x

x x y

C Tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

6 Cho hàm số  

1

1 2









x

x x y C

 Tìm cá điểm A thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất

 Tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất

F DẠNG 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

1 Cho hàm số y x3 3m 1x2 3mx 2C m









 CMR: C m luôn qua 2 điểm cố định khi m thay đổi

2

2

4 6

2 :

2











mx

x m x

y

C m CMR đồ thị C m luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

4 Cho hàm số  : 1 2  4 3 2  1









y

5 CMR: y m 3x3 3m 3x2 6m 1x m 1C m















G DẠNG 6: ĐỒ THỊ CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Cho hàm số  

2 2 :

2







x

x x y C

 Khảo sát hàm số

 Định a để pt sau có 4 nghiệm phân biệt a

x

x x





 2 2 2

2 Cho hàm số  

1

3 3









x

x x y C

 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m

x

x x







 1

3 3

2

3 Cho hàm số  

1

4







x

x x y C

 Khảo sát hàm số

 Định m để pt 2  4 0







4 Cho hàm số  

2

1 :

2









x

x x y C

 Khảo sát hàm số

 Định m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 1  2 1 0









x

H DẠNG 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG.

Điểm Ix0; y0là tâm đối xứng của đồ thị  C :yf x  Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:     











0 0 '

2 ' 2

y x f x f

x x x

   

















0 0

0

2 2

2 '

y x x f x f

x x x

Vậy Ix0; y0 là tâm đối xứng của (C)  f x 2y0  f2x0  x

1 Cho hàm số  

3 2

2 2 2











x

m x

x y

C m Định m để C mcó 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O

2 Cho hàm số  

1

2 :

2 2 2









x

m x m x y

C m Định m để C mcó 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O

3 Cho hàm số y x x x  C

3

11 3 3

2 3









 Tìm những điểm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung

4 Cho hàm số yx3 ax2 bxc 1 Xác định a, b, c để (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1)