Trong cỏc đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi cỏc cấp thường gặp bài toỏn chứng minh bất đẳng thức nhiều biến.. Bài toỏn này thường gõy khú khăn cho đa số học s
Trang 1Trong cỏc đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi cỏc cấp thường gặp bài toỏn chứng minh bất đẳng thức nhiều biến Bài toỏn này thường gõy khú khăn cho
đa số học sinh Trong phạm vi bài viết chỳng tụi giới thiệu phương phỏp khảo sỏt hàm số
để chứng minh bất đẳng thức dạng này
Vừ Hữu Hà (GV THPT Cẩm Xuyờn, Hà Tĩnh)
1 nội dung phương pháp
Nội dung phương phỏp thể hiện ở kĩ năng xỏc
định hàm số cần khảo sỏt để giải bài toỏn
chứng minh bất đẳng thức (BĐT) dạng:
BÀI TOÁN
Cho cỏc số thực a a1, 2, ,a nD thoả món
g a g a g a n g với số
thực D Chứng minh rằng
1 2 n ( )
f a f a f a nf
Để giải bài toỏn này ta cần biểu diễn f a i
qua g a i ,i = 1, 2, …, n, nờn xột hàm số
,
h t f t m g t t D Số m được xỏc
định sao cho hàm số h t đạt cực tiểu tại
0 ,
t h' 0 hay '( )
'( )
f m g
Lưu ý Trong bài toỏn trờn ta phải cú số m và
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a a1 2 a n
Bài toỏn dạng: Cho cỏc số thực a a1, , ,2 a D n
thoả món
g a g a g a n g
với số thực D Chứng minh rằng
1 2 n ( ),
f a f a f a nf
được giải tương tự bài toỏn trờn Khi đú hàm
số h t đạt cực đại tại t0 và '( )
'( )
f m g
2 một số bài toán minh họa
Bài toỏn 1 Cho x, y, z là ba số dương thoả
món xy z 1 Chứng minh rằng
82
Phõn tớch Ở đõy g t( )t; 2
2
1
t
3
n Ta cú 3 ( )g 1
3
1 '
40 82 3
' 3
f m g
Lời giải Vỡ x, y, z là cỏc số dương và
1
xy , nờn z x y z , , 0;1 Xột hàm số
2
, 0 ;1 41
t
2 4
41 1
t
h t
t t
3
t
t 0 1
'( )
h t 0 +
( )
h t 27 82
41
Trang 2Từ bảng biến thiên, suy ra ( ) 27 82 (0;1)
41
h t t
2
2
(0;1)
t
Thay t lần lượt bởi x, y, z rồi cộng theo vế các
BĐT cùng chiều, suy ra
82
Nhận xét Có thể khảo sát hàm số
2
2
1 40 82 1
9.41
82
Với cách giải này có thể thay đổi bài toán thành:
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn
9
xyyzzx xyz Chứng minh rằng
82
Bài toán 2 Cho a, b, c là ba số dương
thoả mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng
Phân tích Trong bài này g t( )t2, ( ) 1 ,
1
f t t
3
n Khi đó 3 ( )g 1 1 ;
3
'( ) 9 6 3
f
m
g
Lời giải Vì a, b, c dương và a2b2c21,
suy ra a b c , , 0;1 Xét hàm số
2
t
2 1
t
2 1
t
1
(0 ; 1);
6 3
2
3 (0; 1) 3
và 3
1
6 3
t 0 t 1 t 2 1 '( )
h t + 0 0 +
h t( ) 1
3
4
Từ bảng biến thiên, suy ra
2
, (0;1)
Thay t lần lượt bởi a, b, c rồi cộng theo vế các
BĐT cùng chiều suy ra
Nhận xét Với bài toán 2, cả phương pháp
hàm lồi và phương pháp tiếp tuyến đều không giải được, đây là điểm mạnh của phương pháp này
Bài toán 3 Cho a,b,c là các số dương thỏa
mãn abc = 1 Chứng minh rằng
3 2 2
1 1 1
Lời giải Đặt xln ,a yln ,b zln c Khi đó
, ,
x y z và xyz0 BĐT đã cho tương đương với
Trang 3e e e 3 2
2
Xét hàm số e 3 2 ,
8
1 e
t t
thì
2
3
8
2 1 e
t t
t
t 0 +
'( )
h t 0 +
h t( ) 2
2
Từ bảng biến thiên suy ra 2,
2
,
1
t
e
Thay t bởi x, y, z rồi cộng các bất đẳng thức
cùng chiều, ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0
a = b = c = 1
Bài toán 4 (USAMO, 2003)
Cho các số dương a,b,c Chứng minh rằng
8
Lời giải
Khi đó x, y, z dương và x y z ( , ,3 x y z(0;3))
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
8
Xét hàm số 22 6 9 11 ,
t t
t t
với t (0;3).
Khi đó
2 2 2
(0;3)
(0;3)
19
t
h t
t
t 0 1 3 '( )
h t + 0
h t( ) 25
3
Từ bảng biến thiên suy ra
2 2
t
Thay t lần lượt bởi x, y, z rồi cộng theo vế các
BĐT cùng chiều, suy ra
bµi tËp tù luyÖn
1. Giả sử x,y là các số dương có tổng bằng 1 Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A
2. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn
2 2 2 3
a b c Chứng minh rằng
3.
2 a2 b2 c
3. Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 3 Chứng
minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.
4. Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng
3 5
5 Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
9
6. Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1
Chứng minh rằng
1
a a b b c c