Kỳ thi toán OLYMPIC lớp 11

Kỳ thi toán OLYMPIC lớp 11 Câu 1: (4đ) Cho dãy số Tính Lim Câu 2: (4đ) Tìm các chữ số a,b sao cho Câu 3: (4đ) Chứng minh rằng :Trong đó x,y,z là các số thực dương thỏa mãn Câu 4: (4đ) Giải phương trình Câu 5: (4đ) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

ĐỀ THI

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 LẦN THỨ XX

TỔ CHỨC TẠI TP HỒ CHÍ MINH – NĂM HỌC 2013-2014

Môn: TOÁN – Khối 11

-O0O -Câu 1: (4đ) Cho dãy số ( , .Tính Lim

Câu 2: (4đ) Tìm các chữ số a,b sao cho

Câu 3: (4đ) Chứng minh rằng

Trong đó x,y,z là các số thực dương thỏa mãn

Câu 4: (4đ) Giải phương trình

Câu 5: (4đ) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

(1)

Câu 1: Cho dãy số ( , .Tính Lim

Đáp án

Giả sử

(1đ)

Thay vào (3):

(1đ)

(1đ)

Câu 2: Tìm các chữ số a,b sao cho

Đáp án:

Ta có:

Xét

Nếu ta có

Nếu ta có

(1đ)

Câu 3: Chứng minh rằng

Trong đó x,y,z là các số thực dướng thõa mãn

Đáp án

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

Từ đó suy ra

(3) (1đ)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

(4) (1đ)

Biến đổi BĐT (2) như sau

(1đ)

Thay thế (3),(4) vào vế trái (5) ta thấy (5) đúng nên BĐT (2) đúng

Câu 4: Giải phương trình

Đáp án

Điều kiện :

Ta có : (2đ)

Từ (1), (2) dấu “ = ” xảy ra trong (2) xảy ra (1đ)

Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là (1đ)

Câu 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

(1)

Đáp án

Cho , từ (1) suy ra

Cho từ (1) suy ra

Cho từ (1) suy ra

Chứng tỏ là hàm lẻ PT hàm đã cho trở thành

Lại có

Suy ra

Tóm lại

Tính theo hai cách Ta có

(1.1)

(1.2)

Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn PT hàm đã cho Vậy