Tiệm cận hàm số (Đỗ văn Thọ)

TIỆM CẬN HÀM SỐ 1.. Tiệm cận ngang: Định nghĩa: Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:.

TIỆM CẬN HÀM SỐ

1 Tiệm cận ngang:

Định nghĩa: Đường thẳng y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số y  f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 Nếu a   đồ thị hàm số không có tiệm cận 0

 Nếu a  đồ thị hàm số có tiệm cận xiên 0

q x

 Nếu bậc của p x  lớn hơn bậc của q x  một bậc thì ta

chia đa thức p x  cho q x  khi đó ta sẽ chuyển hàm số  

q x

 có bậc của q x  lớn hơn hoặc bằng bậc của p x  thì hàm số không có tiệm cận xiên

BÀI TẬP Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau

x y

22

x y

Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ Bài 7: Tìm m để hàm số

2

11

1 Tìm tập xác định

2 Chiều biến thiên

- Tìm các giới hạn lim

 Hoặc các đường tiệm cận (nếu có)

- Tính y' Xét dấu y' Suy ra chiều biến thiên và các điểm cực trị

- Lập BBT

3 Vẽ đồ thị

- Tính y'' tìm điểm uốn (nếu có)

- Điểm đặc biệt: Tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục Ox Oy;

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)

- Vẽ đồ thị và nhận xét

BÀI TẬP Bài 1: Khảo sát các hàm số sau

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

* Vấn đề 1: Giao điểm giữa hai đồ thị

Cho hai đường cong  C : y  f x  và  C' : y  g x  Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) có dạng f x  g x  (1)

Số nghiệm của phương trình (1) tương ứng với số giao điểm của (C) và (C’)

Bài tập Bài 1: Cho hàm số 3  

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Đường thẳng đi qua điểm A  3;1 và có hệ số góc bằng k Xác định k để

đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

ĐS: 0 k  9

Bài 6: Cho hàm số y  x3 3x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Gọi (d) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt

đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt O0; 0, A và B

Bài 7: Cho hàm số y 4 xx12 (C)

a Khảo sat sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Gọi A C Oy, (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B và C

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m  2

b Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt

c Tìm m để hàm số có đúng một cực trị

ĐS: b) 1;1 \ 2

m     

* Vấn đề 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm

Dạng 4: Tìm điểm để từ đó kẻ được m tiếp tuyến đến đồ thị

- Giả sử A x y 0; 0 là điểm cần tìm Phương trình đường thẳng đi qua A x y 0; 0

với hệ số góc k có dạng:

 d : y k x  x A y A

- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:

- Giải hệ trên tìm được k  2 k 11

- Vậy có hai tiếp tuyến với (C) đi qua A(2;0)

  Tìm m để tiếp tuyến của

đồ thị tại điểm có hoành độ x   vuông góc với đường thẳng 1 y  2x3

a Viết PTTT với (C) Biết tiếp tuyến song song với y 6x4

b Viết PTTT với (C) Biết tiếp tuyến này vuông góc với 1 2

3

Bài 5: Viết PTTT đi qua 2

; 1 3

ĐS: Không tồn tại điểm

Bài 9: Cho hàm số y  x3 3x2  Tìm trên đường thẳng những điểm mà qua đó 3

kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số

HD: Gọi M a  ; 1;

15

23

a a

y  x  x  C Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà qua

đó kẻ đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C)

 Định m để tiếp tuyến với (C) tại

điểm trên (C) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng (d): y  x 3

 (C) Định m để tại giao điểm của đồ

thị (C) với trục Ox, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y  x1

Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ Bài 14: Cho hàm số   3 2

 (C) Tìm trên đường thẳng y 2 những điểm

mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

 (C) Tìm điều kiện cần và đủ của m

để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau

Cho (C) 2

1

x y

x





 Viết PTTT (d) của (C), biết (d) cắt Ox ở A, cắt Oy ở B sao

cho OAB tại tại O

(C) và (d) không cắt nhau  (*) vô nghiệm

* Trường hợp: a  0   vô lý7 0 a  (thỏa mãn) (1) 0

* Trường hợp: a  thì 0  * vô nghiệm 2

Từ (1) và (2), 28 a  thì (C) và (d) không cắt nhau 0

Bài 4:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

Phương trình đường thẳng qua O có hệ số góc k có dạng: y  kx (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

Đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k có dạng: y  kx4 (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt

phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:   4 2

  2

;1 \0

01

Để hàm số có đúng 1 cực trị  g x  0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x  0

* Trường hợp 1: 1m 0 m  Thay vào 1 g x   0  1 0 vô lý

13

Phương trình tiếp tuyến đi qua A1; 4  có dạng y  k x 14

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm Ta có   2

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A a  ; 1có dạng: y  k x a1

Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:

Với M 3; 2 phương trình tiếp tuyến có dạng: y 9x32 y 9x25

Với M   1; 2 PTTT có dạng y 9x1 2 y 9x7 (loại) vì PTTT này trùng với đường thẳng  d : y 9x7

Tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng  d : y  x1

với M x y 0, 0 là tọa độ tiếp điểm

Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình: