Khảo sát hàm số và một số vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số

Từ đó tìm được giá trị của m , từ đó viết.

 Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thị :

Phương pháp:

1) Dạng 1: Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C1): y  f   x , với các ghi nhớ:

* (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox

* Viết  















0

0

f(x)

- f(x) khi

(x) f(x) khi f x

f

* Đồ thị (C1) : y  f   x được vẽ bằng các bước:

+ Giữ lại đồ thị (C) nằm phía trên Oõx

+ Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox

+ Hợp 2 phần đồ thị ta được đồ thị (C1): y  f   x

2) Dạng 2:Từ đồ thị (C):y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C2): y f x với các ghi nhớ

* y f x là hàm chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy

* Ta vẽ đồ thị (C2) qua các bước:

+ Giữ lại phần đồ thị (C) bên phải Oy

+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)

+ Hợp 2 phần đồ thị ta có đồ thị (C2): y f x

3) Dạng 3: từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị của hàm (C3): y  f   x bằng cách kết hợp dạng

1 và dạng 2

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thị (C2)y f x

+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thị (C2) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên trên Ox + Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thị của hàm (C3): y  f   x

4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản

Từ đồ thị (C) :

b ax

C Bx Ax y







 2 (giả sử a > 0) suy ra đồ thị (C4)

















































0) a

; (x

0) a

; (x

a

b b

ax

C Bx Ax

a

b b

ax

C Bx Ax

b ax

C Bx Ax y

2

2 2

Qua các bước :

+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thị của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):

a

b

x

+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d):

a

b

x vừa bỏ đi qua d

 Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1)

 Tương tự với các đồ thị (C4)

d cx

b ax y





 x Q

x P

y và các đồ thị  

 x Q

x P

y hay

   x Q x

P

y

5) Dạng 5:Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C5): y  f x

hay (C5):  

    0









 đk f: x

x f

x f

y qua các bước

+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox

+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)

Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị  

1





x

x y

C b/ Suy ra đồ thị  

1 :

2

1  x 

x y C

Giải: Đồ thị (C)

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

x=1

y=x+1

Đồ thị (C1)

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

x=1

y=x+1

y=-x-1

Bài toán 2: (Phép suy thứ hai) Vẽ đồ thị  

1 :

2

2  x 

x y

C Đồ thị (C2):

-2

2 4 6

x y

x=1

y=x+1 y=-x+1

x=-1

Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)

Vẽ đồ thị  

1 :

2

3  x 

x y C

Đồ thị (C3)

-2

2 4 6

x y

y=-x+1

y=x+1

Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)

Vẽ đồ thị  

1 :

2

4  x 

x y C

Đồ thị (C4)

-2

2 4 6

x y

x=1

y=x+1 y=-x-1

x=-1

Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)

Vẽ đồ thị  

1 :

2

5  x 

x y C

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-10 -8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

x=1

y=x+1 y=-x-1

 Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:

Phương pháp : Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y= g(x)

Biện luận sự tương giao của (C1) với (C2)

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

f(x) = g(x)  f(x) – g(x) = 0 (1)

* Giải và biện luận phương trình (1)

* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) với (C2)

- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C1) cắt (C2)

- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C1) tiếp xúc (C2)

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có

hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D) Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4

(C) : y = x3 – 3x + 2

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)

x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4

 (x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)

* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)

- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2

- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)

Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0  m = 9

Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4 Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2

Ta có   m

m < 0   0: (2) vô nghiệm

m = 0   0: (2) có nghiệm kép x = – 1

0 < m ≠ 9   0: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

- Kết luận:

m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm

m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại 1 điểm

0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm

m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thị tại điểm (2; 4)

Bài toán 2: Cho hàm số y = x 2 4x 1

x 2

+ (C) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C)

Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :

x2 + 4x + 1 = mx2 + 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)

 (1 – m)x2 + (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)

(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thị (C)

 (*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2























































0 3 2 2

2 1

4 1 2

0 3 2 1 4 2 4 4

0 1

m m m

m af

m m m

m

m a



















m) (

m m

0 1

3

0 16 24

2 9















1 3 4

m m

Kết luận :















1 3 4

m

m thì (D) cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

Bài toán 3:Cho hàm số

1

2





x

x

y Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1

Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1 Suy ra A, B thuộc

đường thẳng (d’) y = –x + m

Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)

x2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)

 2x2 – (m + 1)x + m = 0 (*)

Ta có  = (m + 1)2 – 8m > 0

 m2 – 6m + 1 > 0



















5 3

5 3

m m

Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Gọi I là trung điểm A, B:

































4

1 3 4

1 2

m m x y

m x x x

I I

B A I

A và B đối xứng qua (d)  I thuộc (d): y = x – 1

4

1 4

1

3m  m   m = – 1

Lúc đó (*) thành trở thành : 2x2 – 1 = 0  x =

2

1

















2

2 1

; 2

1













 2

2 1

; 2

1

B

Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao

cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc

b) Viết phương trình (d) khi AB = 10 Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

x2 – 2x – 3 = 2x + m

 x2 – 4x – 3 – m = 0 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

  = 7 + m > 0

 m > –7 Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có

S = xA + xB = 4,P = xA xB = – 3 – m

a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(xA )f’(xB) = –1

 (2 xA –2)(2 xB –2) = – 1 4P – 4S + 5 = 0 4(–3 –m) –16 + 5 = 0

4

23

 (nhận vì m > –7) b) A, B thuộc (d) yA = 2 xA + m , yB = 2 xB + m

Ta có AB2 = 100  (xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100

 (xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100

 (xA – xB)2 = 20  S2 – 4P = 20

 16 + 4(3+m) = 20 m = – 2 (nhận vì m > –7)

Bài toán 5 : Cho hàm số     H

m x m x

x f y











Tìm a để đường thẳng    : y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu

Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và    :

1

1





x

x

3

   cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dấùu  (*) có 2 nghiệm phân biệt

2 1

2

1, x 1 x 0 x

x     

0 1 2

1 2 1

0 2

1 0

1

0 1

0 0 1

























































a a

a

a a

a g

g a

 Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :

Phương pháp :

1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x0; y0)

Tính y’ = f’(x)  y’(x0) = f’(x0)

Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x0;y0) là: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)

2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A

- Cách 1:

* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(xA; yA) và có hệ số góc k : (D) :

y =k(x – xA) + yA

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – xA) + yA (1)

* (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác định đuợc k Từ đó viết được phương trình (D)

- Cách 2:

* Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm

* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)

* (D) đi qua điểm A nên : (yA – y0) = f’(x0)(xA – x0) (1)

Giải (1) tìm được x0, từ đó tìm được phương trình của (D)

3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước

- Cách 1:

* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k

(D) : y = kx + m (1)

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m

* (D) là tiếp tuyến của (C)  (1) có nghiệm kép Từ đó tìm được giá trị của m , từ đó viết

được phương trình của (D)

- Cách 2:

* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x0; y0) là tiếp điểm:

(D) có hệ số góc k

(D) có hệ số góc f’(x0)

 f’(x0) = k (1)

* Giải (1) tìm được x0 ; y0 = f(x0) Từ đó viết được phương trình của (D)

Bài toán 1: Cho hàm số (C)

2 2

4 3

2









x

x x

y M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M

Giải:   x 1  (C)

















1

1 1 2 2

2

4 3

2

x

x x

x x

    a b  C 

M ; tiếp tuyến tại M là (d)y  y a  x  a   b 



















1

1 1

a b

1 1 2 1

1 2

1

2      

















a

a a x a

y

Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1     























1

2 2

1

; 1

1

a A

d d

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) :     



















2

3

; 1 2 1

y

Ta có :  xA  xB   1  2 a  1   a  xM

2

1 2

1

a

a a

a y

























1

1 1 2 2

3 1

2 2

1 2

1 2

1

Vậy M là trung điểm của AB

Giao điểm của 2 tiệm cận là I   SIAB  yA  yI xB  xI









 

2

1 2

1

;

1

2 2



a

Vậy SIAB không phụ thuộc vào M

Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C)

Tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất Giải : Gọi M(x0; y0)    C : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x0) = 3 2 6 0 9

0  x 

x

Ta có 3  1 2 12 12

0    

 x

k Dấu “=” xảy ra khi x0 = – 1 Vậy Min k = – 12  M(–1; 16)

Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số

góc nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)

Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao

cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)

x3 + mx2 + 1 = – x + 1

 x(x2 + mx + 1) = 0 (*)

Đặt g(x) = x2 + mx + 1 (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

 g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

      

























2

2 0

1 0

0 4

2

m

m g

m g

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0





















1

C B

C B

x x P

m x

x S

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

       1



10

 m  m   5 (nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (H)

Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H) Gọi A1, B1, C1 lần luợt là giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M

  3  1    3 2 3  2 1  2  3 1 

0 0

3 0

2

y

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)

 1  2  1 

3 2

0

3  x   x  x  x 

x

  2 2 0 0

















0

0

2x

x

x

Gọi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC)

 giao điểm A1, B1, C1 của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)

 2 ; 8 3 6 2 

1   a  a  a 

1   b  b  b 

1   c  c  c 

C

* A, B, C thẳng hàng :

 c a 

a c

a b a

b a c

a b





















3

3

3 3

3 3

3

3

2 2

















ac a c

ab a b

ab b ac

 c b 









* A1, B1, C1 thẳng hàng :

 a c   a c 

b a b

a c a

b a





















6 8

6 8

2 2

2 2

3 3

3

4

3 4

2 2

















c ac a

b ab a

ab b ac

 c b 









Vậy : A, B, C thẳng hàng  A1, B1, C1 thẳng hàng

 Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình bằng đồ thị:

Phương pháp :

1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)

* Đưa về dạng : g(x) = m

* Vẽ đồ thị (C) : y = g(x) và (D) : y = m

* Kết luận : số giao điểm trên đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

2)Dạng 2: f(x) = g(m)

* y = g(m) là đường thẳng luôn qua M(x0; y0) cố định

* y = g(m) là đường thẳng có hệ số góc khôâng đổi

* g(m) = f(m)

Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – 3x (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y   sin 3 x  3 sin3 x

Giải: a) Đồ thị (C)

-4 -2

2 4

x y

b) y   sin 3 x  3 sin3 x  y    3 sin x  4 sin3 x   3 sin3 x

x x

y  sin3  3 sin3

 Đặt t = sinx , t     1 ; 1

Xét y = t3 – 3t với t     1 ; 1 Nhìn vào đồ thị (C) ta thấy

         



2 1

2

1

; 1

k x

t Maxy

t

,

        k, l  Z



2 1

2

1

; 1

l x

t Miny

t

Bài toán 2: Cho hàm số

1

1

2 2









x

x x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức

1 cos

1 cos cos









x

x x

y

Giải: a)Đồ thị (C)

-12 -10 -8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

b) Đặt t  cos x  0  t  1

Vậy

1

1

2 2









t

t t

A với D    0 ; 1 Nhìn vào đồ thị hàm số (1) ở trên khi xét t    0 ; 1 ta thấy:









































x

x t

t

1 cos

1 cos )

( 2 1

1 2

loại

k,l Z





















MinA

2 0

cos 0

1

Bài toán 3: Cho hàm số

2

3

2









x

x x

y (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Biện luận theo m số nghiệm của: f   t  t4   1  m  t2  3  2 m  0

Giải: a)

-6 -4 -2

2

x y

b) t4   1  m  t2 3  2 m  0 (*)  t4  t3  3  m  t2 2 

m t

t









2

3

2

2 4

Xét hàm số

2

3

2









x

x x

y với x  t2  0

Nhìn vào đồ thị ta thấy khi

2

3





m thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ không âm

Vậy khi

2

3





m có nghiệm x = t2 = 0 (*) có nghiệm kép t1  t2  0

2

3





m thì (*) có 2 nghiệm ,

2

3





m thì () vô nghiệm Bài toán 4:Cho hàm số  

1

2







x

x x

f

a) Khảo sát và vẽ đồ thị b) Biện luận theo m số nghiệm của  m  2  x  m  0với x    1 ; 2 

Giải:a) Đồ thị (C)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2 4 6

x y

b) Xét phương trình  m  2  x  m  0với x    1 ; 2 

 m  x  1   2 x (*)

Vì x  1 không là nghiệm của (*) Vậy

1

2





x

x

m với x    1 ; 2 

Xét đường y = m và

1

2





x

x

y với x    1 ; 2 

-4 -2

2 4

x y

Nhìn vào đồ thị ta thấy :m     ; 0  : (*) có 2 nghiệm,m    0   4 ;   : (*) có 1 nghiệm,m    0 ; 4 : (*) vô nghiệm

Bài toán 5: Cho hàm số  

1

2







x

x x f

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Biện luận số nghiệm của phương trình  1  m  x2   1  x  x  1  0

Giải: a) Đồ thị (C)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2 4 6

x

y

y=-3x+1

b)  1  m  x2  1  x  x  1  0 (*)

Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có   1

1

*

2







x x

Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :

(C) :

1

2





x

x

y (d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép





















0 1

4 1

0 1

2

m m

m

















0 3 2

1

2

m m

m

 















loại 1

3

m m

3





 m

Vậy tiếp tuyến của (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1

* Kết luận

3





m : (d) tiếp với (C) phương trình (*) có nghiệm kép

        

m :(d) cắt (C) tại 2 diểm phân biệt phương trình (*)có 2 nghiệm đơn

  3 ; 1 



m :     d  C  phương trình vô nghiệm Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

0 2 12

16

Giải: D     ; 1    3 ;   x  x   x  m   x  x   x  m

2 3 4 0

2 12

16

Đặt (d) : y  x  m

2 Xét (C) : 4 3

2 

y