Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Phương pháp giải toán Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên hệ giữa tập nghiệm của phương trình với tập tập các điểm chung của đường thẳng với đồ thị :  có nghiệm

Trang 1

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

§1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

A Phương pháp giải toán

Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng ba nguyên tắc sau đây:

 Nguyên tắc 1 (về sự phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số

là hợp của đồ thị hàm số với ( )

 Nguyên tắc 2 (về sự đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số , và đồ thị hàm số

, đối xứng nhau qua

 Nguyên tắc 3 (về đồ thị hàm chẵn) Đồ thị của hàm chẵn nhận làm trục đối xứng Hai trường hợp hay gặp:

 Đồ thị hàm số

Vì nên đồ thị hàm số gồm hai phần:

+) Phần 1 là phần đồ thị hàm số nằm bên phải ; +) Phần 2 đối xứng với phần 1 qua

 Đồ thị hàm số

Vì nên Đồ thị hàm số gồm hai phần:

+) Phần 1 là phần Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành;

+) Phần 2 đối xứng với phần Đồ thị hàm số ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

Trang 2

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Vẽ các đồ thị hàm số

1) Ta có Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 1):

 Phần 1: là phần đồ thị nằm trên ;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị nằm dưới qua

2) Ta có là hàm chẵn, đồ thị nhận làm trục đối xứng Lại có

với mọi Do đó đồ thị gồm hai phần (hình 2):

 Phần 1: là phần đồ thị nằm bên phải ;

 Phần 2: đối xứng với phần 1 qua

 Phần 1: là phần đồ thị nằm trên ;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị nằm dưới qua

 Phần 1: là phần đồ thị ứng với ;

Trang 3

 Phần 1: là phần đồ thị ứng với ;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị ứng với qua .

x

y

-1 1

-1

O

1

Hình 0

x y

-1 -1

1

O

1

Hình 1

x

y

-1 1

-1

O

1

Hình 2

x

y

-1 1

-1

O

1

Hình 3

x

y

-1 1

-1

O

y

-1 1

-1

O

1

Trang 4

Hình 4 Hình 5

C Bài tập

Vẽ đồ thị các hàm số sau đây

25)

Trang 5

§2 Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để xét phương trình

A Phương pháp giải toán

Trong phần này, ta sử dụng các kết luận sau đây về mối liên

hệ giữa tập nghiệm của phương trình với tập

tập các điểm chung của đường thẳng với đồ thị

:

 có nghiệm có điểm chung với

 Số nghiệm của bằng số điểm chung của đường thẳng

với

 Nghiệm của là hoành độ điểm chung của và

O

y

x

C ( )

B Các ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHA02] Tìm để phương trình

có nghiệm phân biệt

Giải.

Nếu đặt thì phương trình trở thành

có ba nghiệm phân biệt đường thẳng có ba

điểm chung với đồ thị hàm số

Từ đồ thị hàm số , ta thấy điều kiện

tương đương với

x,k y

y=f(k)

-4

3 2

Cách 2 Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , tức là

Trang 6

Ví dụ 2 [ĐHA06] Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt.

Trước hết ta vẽ đồ thị của hàm số Hàm là hàm chẵn,

Do đó, đồ thị của hàm số gồm hai phần

 Phần 1: là phần nằm ở bên phải ;

(C) y

x

9

5 4

3 2 1 O

y = m

-1 -2 -3

(C') y

x

9

5 4

3 2 1 O

Vậy phương trình đã cho có nghiệm phân biệt đường thẳng có điểm chung với

Ví dụ 3 [ĐHB09] Với những giá trị nào của , phương trình sau đây có đúng nghiệm phân

biệt

có nghiệm phân biệt có nghiệm dương phân biệt đường thẳng có điểm chung với đồ thị của hàm số ,

Trang 7

Ta có

gồm hai phần:

 Phần 1: là phần đồ thị hàm số ứng với

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số ứng

với , qua trục hoành

Vậy có nghiệm phân biệt

O

d m

x y

C ( )

y=t 2 -2t

2 -1

1

Đồ thị của hàm số gồm hai phần

 Phần 1: là phần nằm phía trên trục hoành

 Phần 2: đối xứng với phần nằm phía dưới trục hoành, qua

trục hoành

m 1

-1

C' ( )

O

y

x

có nghiệm phân biệt đường thẳng có điểm chung với

C Bài tập

Bài 1 Cho phương trình

1) Giải phương trình với

2) Tìm tất cả những giá trị của để phương trình có nghiệm phân biệt và cả nghiệm này đều nhỏ hơn hoặc bằng

3) Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt, gọi nghiệm đó là , , , , hãy tính tổng

1) Khảo sát và vẽ đồ thị với

2) Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt

Trang 8

1) Khảo sát và vẽ đồ thị

2) Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt

2) Biện luận số nghiệm của phương trình

Bài 5 Cho hàm số

2) Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt

2) Biện luận số nghiệm của phương trình

Bài 7 Cho hàm số

2) Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn

Bài 8 [ĐHA02] Cho phương trình

1) Giải phương trình khi

2) Tìm để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

Trang 9

§3 Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai

đồ thị hàm số

A Tóm tắt lý thuyết

Cho và Để tìm giao điểm của và , ta làm như sau:

 Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình

Phương trình được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của và

 Bước 2: Tìm giao điểm Nếu là một hoành độ giao điểm thì ( ) là một giao điểm của và

Chú ý Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:

Nếu , là các nghiệm của phương trình bậc hai ( ) thì

Nhận xét.

 Hai đồ thị hàm số có giao điểm phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm

 Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho và hàm số Hãy xác định các giao điểm của hai đồ thị và

Trang 10

Vậy hai đồ thị đã cho có ba giao điểm: , ,

giao điểm với

có giao điểm với có nghiệm

Ví dụ 3 Cho và Biện luận số giao điểm của và

Số giao điểm của và bằng số nghiệm của phương trình Do đó

 : vô nghiệm có nghiệm duy nhất ( ) và

có một giao điểm

hợp này, cũng có nghiệm duy nhất ( ) và có một giao điểm

Trang 11

Kết luận:

 : và có một giao điểm

 : và có ba giao điểm

Ví dụ 4 [ĐHD03] Cho Tìm để đường thẳng có giao điểm với

có giao điểm với khi và chỉ khi có nghiệm phân biệt, tức là:

Ví dụ 5 [ĐHA04] Cho hàm số Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , sao cho

(phép biến đổi là tương đương vì không phải nghiệm phương trình của )

cắt tại điểm khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt, tức là:

Hoành độ , của các điểm , là nghiệm của nên theo định lí Vi-ét:

Trang 12

Mặt khác vì , cùng thuộc đường thẳng nên

Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có

Do đó

(thỏa mãn )

Ví dụ 6 [ĐHA10] Cho hàm số Tìm để cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ là , , sao cho

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác Không mất tổng quát, giả sử , là các nghiệm của Theo định lý Vi-ét, ta có:

Trang 13

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ , , sao cho

khi và chỉ khi ,

C Bài tập

Bài 1 Tìm các giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây:

Bài 2 Biện luận theo số giao điểm của các cặp đồ thị hàm số sau đây

Bài 3 Tìm để

1) Đường thẳng đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt; 2) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt;

3) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt;

4) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;

5) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt;

6) Các đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm phân biệt;

7) Các đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm phân biệt;

8) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt;

Trang 14

9) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt;

10) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt; 11) [ĐHD06] Đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc cắt tại điểm phân biệt;

12) [ĐHD09] Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt

1) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ trái dấu;

2) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ trái dấu;

3) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của ;

4) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương;

5) [ĐHA03] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương; 6) [ĐHD09] Đường thẳng cắt tại điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn

1) [ĐHB09] Đường thẳng cắt tại hai điểm , sao cho

;

2) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , sao cho đoạn thẳng ngắn nhất;

3) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , sao cho đoạn thẳng ngắn nhất;

4) Đường thẳng cắt tại hai điểm , sao cho đoạn thẳng

Trang 15

Bài 6 [ĐHD08] Cho Chứng minh mọi đường thẳng đi qua điểm

và có hệ số góc , với đều cắt tại ba điểm phân biệt , , đồng thời

là trung điểm của đoạn thẳng

Bài 7 [ĐHD03] Cho Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm , phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng thuộc trục tung

Bài 8 [ĐHB10] Cho Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt , sao cho tam giác có diện tích bằng ( là gốc tọa độ)

Bài 9 [ĐHA11] Cho Chứng minh với mọi , đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt và Gọi , là hệ số góc các tiếp tuyến với tại và Tìm để đạt giá trị lớn nhất

Bài 10 [ĐHD11] Cho Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt , sao cho khoảng cách từ và đến trục hoành bằng nhau

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,66 MB