Chuyên đề khảo sát hàm số

Tìm m để đồ thị hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 cách đều gốc tọa độ O.. Tìm m để đồ thị hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ th

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

I ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA:

A Tính đơn điệu của hàm số

Định lý: (điều kiện cần)

Định lý: (điều kiện đủ)

Định lý mở rộng

B Cực tri của hàm số:

Định lý:

Định lý: (dấu hiệu thứ nhất)

Định lý : (dấu hiệu thứ hai)

Định lý

Bài 1: Cho hàm số y 1x4 2mx2

= − + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2

Bài 2: Cho hàm số y = − + x 3 3x 2 + 3 m 1 x 3m 1( 2 − ) − 2 − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O

Bài 3: Cho hàm số x 2 2 m 1 x m( ) 2 4m

y

x 2

=

+ (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O (CTNC)

Bài 4: Cho hàm số y mx 12

x

+

= (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 2

2 (CTNC)

Bài 5: Cho hàm số y x m m

x 2

= + +

− (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ (CTNC)

Bài 6: Cho hàm số y x 1 m

2 x

= − + +

− (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông cân (CTNC)

II.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN CỦA

LỚP HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

TÓM TẮT GIÁO KHOA:

Bài 1: Tìm m sao cho đồ thị hàm số y 2x2 mx m 3

x 2

=

+ có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích bằng 4 (CTNC)

Bài 2: Cho hàm số 3mx 2 (5m 3 x 8)

y

mx 1

=

m biết rằng (C) có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với (d) một góc có côsin là

y mx m 2 = − +

1

5 (CTNC)

Bài 3: Cho hàm số y 3x m

mx 1

+

= + Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

và các tiệm cận cùng với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 12

Bài 4: Cho hàm số 2mx 2 (3m 1 x m 2)

y

x 1

=

+ Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm cận xiện tiếp xúc với đường tròn tâm I(1;2), bán kính R 3

2 2

Bài 5: Cho hàm số y 6x2 (3m 2)x m 3

3x 1

=

+ Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm

cận xiên tiếp xúc với đường cong (C): y x 2mx= 3− 2+3x m+ (CTNC)

Bài 6: Cho hàm số y 2x 1

x 2

+

=

− có đồ thị (C) M là một điểm tùy ý trên (C) Tiếp tiếp với (C) tại

M cắt tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B

1) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB

2) Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

3) Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận

Bài 7: Cho hàm số y x2 3x 1

x 2

=

− có đồ thị (C) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một

điểm M bất kỳ trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một hằng số Từ đó tìm tọa độ của M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất (CTNC)

Bài 8: Cho hàm số y x2 x

x 1

− +

=

−

1

có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) ∈ sao cho khoảng cách từ M tới giao điểm I của hai tiệm cận là nhỏ nhất (CTNC)

II.TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a Dạng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ;y ) (C)0 0 0 ∈

(C): y=f(x)

0

0

y

y

0

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:

y - y0 = k ( x - x0 )

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k =f'(x0)

Áp dụng:

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x3 −3x+3 tại điểm uốn của nó

`b Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

cho trước

(C): y=f(x)

0

0

y

y

0

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : '

0

( )

f x =k, từ đó suy ra y0 = f x( )0 =?

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (Δ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (Δ) là: kΔ =a

Định lý 2: Nếu đường thẳng (Δ) đi qua hai điểm A x y( ; ) và B(x ; ) với xA A B y B A ≠ xB thì hệ số góc của ( ) là : Δ

k

Δ= −

−

Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( )Δ1 và ( )Δ2 Khi đó:

1 2

1 2

1 2

// k k

k k 1

Δ Δ

Δ Δ

Áp dụng:

(C): y=f(x)

x

y

a

k =

b ax

y= +

1

Δ

2

Δ

(C): y=f(x)

Δ

x y

a

k =−1/ O

b ax

y= +

Δ :2

Bài 1 : Cho đường cong (C): 1 3 1 2 2

y= x + x − x− 4

3.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2

Bài 2 : Cho đường cong (C):

1

3

2

+

+

=

x

x

y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Δ ) :y = − 3x

c Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

x y

A A A

y

O

)

; (x A y A A

) ( :

)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (Δ) qua A và có hệ số

góc là k bởi công thức:

y y− A =k x x( − A) ⇔ =y k x x( − A)+y A (*)

Bước 2: Định k để ( ) tiếp xúc với (C) Ta có: Δ

tiếp xúc (C) hệ f(x)=k(x-x )' A có nghiệm (1)

f ( )

A

y

+

⎧⎪

=

⎪⎩

Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm

Áp dụng:

Bài 1 : Cho đường cong (C): y=x3 +3x2 +4

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

Bài 2 : Cho đường cong (C): 2 5

2

x y x

−

=

− Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) của hàm số y x 2x 3x

3

1 3 − 2 +

uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Δ

Bài 2: Cho đường cong (C):

2

1

2

+

− +

=

x

x x

y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Δ ) :y = x− 2

Bài 3: Cho hàm số

1

6 3

2

+

+ +

=

x

x x

y (C).Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d y x

3

1 : ) ( =

Bài 4: Cho đường cong (C): 2 1

1

y x

+ +

= + Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Bài 5: Cho hàm số

1

1

2

−

− +

=

x

x x

y (C).Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C) (CTNC)

Bài 6: Cho hàm số

3

1 2

3

1 3 + 2 +

= x m x

y (Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng

-1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0

Bài 7: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)

2

3 − +

y

Bài 8: Cho hàm số (1) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho diện tích cùa tam giác OAB bằng

3 2

3

2

Bài 9: Cho hàm số y 2x

x 1

= + Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1

4

Bài 10: Cho hàm số y x

x 1

=

− (1) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân

III.SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)

=

⎧

⎩

x

O O

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

1

1

M y2 M2

1

) (C2

) (C1

(C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:

f(x) = g(x) (1)

* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) Số nghiệm của phương trình (1)

chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 )

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C 1 ) và (C 2 )

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

x

y

0

y

0

x O

Áp dụng:

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):

1

1 2 +

−

=

x

x

y và đường thẳng (d) :y= − 3x− 1

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): y 21

x 1

= + và (C') : y x2

2

=

Bài 3: Cho hàm số y x 3

x 1

+

= + Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y 2 luơn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

x m

= +

Bài 4: Cho hàm số y 3 2x

x 1

−

=

− Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2 = + cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số y= (x− 1)(x2 +mx m+ ) (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 6: Cho hàm số y x= 3 + 3x2 +mx m+ − 2 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số y x= 3−(2m+1)x2+xm m+ (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 8: Cho hàm số y x= 3−2(m+1)x2 +(7m−2)x+ −4 6m (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 9: Cho hàm số y x= 3−3(m+1)x2 +2(m2 +4m+1)x−4 (m m 1)+ (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

Bài 10: Cho hàm số y x= 4 −mx2 + −m 1 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Bài 11: Cho hàm số y x= 4 − (3m+ 1)x2 + 3m (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho các các hoành độ giao điểm này lập thành một cấp số cộng

Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = − 1 cắt đồ thị (C) của hàm số tại bốn điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2

Bài 13: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị hàm số y x 12

x

−

= tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB 4 =

Bài 14: Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = − 2x m + cắt đồ thị hàm số y x2 x 1

x

+ −

điểm phân biệt A,B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung (CTNC)

Bài 15: Tìm m để đường thẳng y m x 1 2= ( + −) cắt đồ thị (C) của hàm số y x 1

x 1

+

=

− tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M(1;1)

Bài 16: Tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị (C) của hàm số y 2x 1

x 2

+

= + tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

Bài 17: Tìm m để đường thẳng y m = cắt đồ thị (C) của hàm số y x2 mx m

x 1

=

+

1

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA OB⊥

b Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số :

Định lý :

hệ :⎧⎪

⎨f(x) g(x)' ' có nghiệm

f (x) g (x)

= (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔

=

⎪⎩

M

) (C1

) (C2

y

x

Áp dụng:

Bài 1: Cho (P):y =x2 −3x−1 và

1

3 2 :

) ( Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau

2

−

− +

−

=

x

x x y C

Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx = tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 1= 3+ 2+

Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 2 7= ( − −) tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x= 3− 2 +2

Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 1 3( + +) tiếp xúc với đường cong (C) : y 2x 1

x 1

+ +

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;-5) và tiếp xúc với đường cong

2

(C) : y

x 1

− −

=

+

1

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số y= 2x3 − 3x2 −1 (C)

Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y x= 4 −mx2 + −m 1 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số 2 2 4

2

y x

− +

=

− (1) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Bài 4: Cho hàm số

1

1

2

+

−

−

=

x

x x

Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số mx 2 (m 1 x 4)

x 1

=

+ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 4 =

Bài 6: Cho hàm số 2

1

y

x

+ +

=

− (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độdương

Bài 7: Cho hàm số 2 1

1

y

x

+ −

=

− (1) Định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA⊥OB

Bài 8: Cho hàm số

) 1 ( 2

3 3

2

−

− +

−

=

x

x x

Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1

Bài 9: Cho hàm số y x2 2x 2

x 1

=

− (C) và đường thẳng (d):y= − +x m Xác định m để (d) cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y x 3 = +

VI.BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và

(C2): y=g(x)

Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m (*)

y

x

0

x

) (C1

) (C2

Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định

( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox

và cắt Oy tại M(0;m)

C y f x

y m

Bước 2: Vẽ (C) và (Δ) lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (Δ) và (C)

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa:

y

x

) ( :

) (C y = f x

)

; 0

( m

1

m

2

m

m

y= Δ

O

Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *)

Phương pháp: Đặt k = g(m)

Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thi cố đinh ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;k)

C y f x

y k

Bước 2: Vẽ (C) và (Δ) lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (Δ) và (C)

Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m

Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**)

x y

)

; 0

( k

K

1

M O

2

K

Minh họa:

Áp dụng:

Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x3 −9x2 +12x−4

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x3 − 9x2 + 12x− 4 −m= 0

3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2x3 − 9x2 + 12x =m

Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 2x= 4−4x2

2) Với giá trị nào của m, phương trình x x 2 2 − = 2 m cĩ đúng 6 nghiệm phân biệt

V.HỌ ĐƯỜNG CONG

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:

Cho họ đường cong (C m):y= f(x,m) ( m là tham số )

Biện luận theo m số đường cong của họ (C m) đi qua điểm M0(x0;y0) cho trước

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta có : Họ đường cong (C m) đi qua điểm M0(x0;y0) ⇔ y0 = f(x0,m) (1)

Xem (1) là phương trình theo ẩn m

Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0

Cụ thể:

• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua

M0

• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua

M0

• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0

Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong (C m)

Áp dụng:

Bài 1: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số

m x

m m

x y

+

− + +

−

= 1 2 Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm A(2;0) (CTNC)

Bài 2: Cho hàm số (1) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y=x+1

1 9

y