kì thi học sinh giỏi môn toán 6

kì thi học sinh giỏi môn toán 6 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHỦ Lí

TRƯỜNG THCS KIM BèNH Kè THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN 6

Ngày thi: 04 thỏng 3 năm 2014

Thời gian làm bài: 120 phỳt

Cõu 1 (4 điểm)

a) Tớnh N =

2 2 9 2 6 2 14 6

28 19 29 18

5.(2 3 ) (2 ) 2.(2 3) 3 5.2 3 7.2 3

−

−

b) So sỏnh 2011.2012 1

2011.2012

−

và 2012.2013 1 2012.2013

−

;

45

22

−

và 103

51

− ; 2225 và 3151

Cõu 2 (4 điểm)

a)Cho biểu thức : 2 1 3 5 4 5

A

− − − Tỡm giỏ trị của n để A là một số nguyờn b) Chứng tỏ rằng

2 30

1 12 +

+

n

n

là phân số tối giản

c) Chứng minh rằng : 2

2

1 + 2 3

1 + 2 4

1 + + 2

100

1 <1

Cõu 3 (3 điểm)

a)Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 + 212

- Chứng tỏ rằng: A chia hết cho 7

- Tỡm chữ số tận cựng của A

b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, hỏi p2+2003 là số nguyên tố hay hợp số

Cõu 4 (2 điểm) : Tỡm số tự nhiờn x,y biết :

b) 2x + 624 = 5y

Cõu 5 (4 điểm)

a) Tỡm số tự nhiờn cú 3 chữ số, biết rằng khi chia số đú cho cỏc số 25 ; 28 ; 35 thỡ được cỏc

số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15

b) Viết thờm chữ số y vào bờn phải của một số cú 5 chữ số thỡ được số lớn gấp 3 lần số cú được do viết thờm chữ số y vào bờn trỏi số đú Tỡm chữ số y và số cú 5 chữ số đú ?

Cõu 6 (1 điểm)

Cho 101 đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm của chúng

Cõu 7 (2 điểm)

Cho gúc AOB = 1440 Tia OC là phõn giỏc của gúc AOB, vẽ tia OM ở trong gúc AOB sao cho gúc BOM = 350

a) Tớnh gúc MOC

b) Gọi OB’ là tia đối của tia OB, ON là tia phõn giỏc của gúc AOC Chứng minh OA là phõn giỏc của gúc NOB’

======================================

HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2013-2014 Cõu 1.

1a

N =

18 18 12 28 14 6

28 19 29 18

5.2 3 2 2.2 3 3

5.2 3 7.2 3

−

−

5.2 3 2 3 2 3 (5.2 3 ) 2

2

2 3 (5.3 7.2) 2 3 (15 14) 1

1b

Viết đợc: 2011.2012 1 1 1

2011.2012 − = − 2011.2012 và 2012.2013 1 1 1

2012.2013 − = − 2012.2013

2011.2012 > 2012.2013

2011.2012 2012.2013

− < − hay 2011.2012 1

2011.2012

− < 2012.2013 1

2012.2013

−

101

51 45

22 101

51 45

22 101

51 102

51 2

1 44

22 45

22 < = = < ⇒ < ⇒ − > −

2225 và 3151

Cõu 2.

a/ 2 1 3 5 4 5 (2 1) (3 5) (4 5) 2 1 3 5 4 5 1

A

A là phõn số khi: n + 1∈Z , n - 3∈Z ⇔ n∈Z

và n - 3≠0 ⇔ n≠ 3

Vậy A là phõn số khi ⇔n∈Z và n ≠ 3

1

A

A là số nguyờn khi n – 3 ∈Ư(4) = {1; 2;4; 1; 2; 4 − − − }=> n ∈{4;5;7;2;1; 1 − }

b) Chứng tỏ rằng 12 1

30 2

n n

+ + là phân số tối giản.

Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014

Gọi ƯCLN(12n+1,30n+2)=d

Ta có ( ) ( )

12 1 ;30 2

5 12 1 2 30 2

M

c) Chøng minh r»ng : 2

2

1 + 2 3

1 + 2 4

1 + + 2

100

1 <1

Câu 3.

A = (2 + 22 + 23) +(24 + 25 + 26) + (27+ 28+ 29) + (210 + 211+212)

A = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + 27.(1+2+22) + 210.(1+2+22)

A = 2.7 + 24.7 + 27.7 + 210.7

A = 7.( 2 + 24 + 27 + 210)

Suy ra A chia hết cho 7

- Tìm chữ số tận cùng của A

2A= 20 + 2+ 22 + … + 212 +213

13 4 3

2 2 1 (2 ) 2 1 ( 6).2 1

( 2) 1 ( 1)

A A A

= − =

Vậy CSTC của A là 1

b) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè

Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3

Nên p không chia hết cho 3 ⇒ =p 3k+ 1;p= 3k+ 2

• Nếu p=3k+1 thì

( )2 ( ) ( )

2 3 1 3 3 1 1 3 1

p = k+ = k k+ + k+

Vì 3 3k ( k+ 1 3;1 3)M ( k+ 1)không chia hết cho 3 nên p2 không chia hết cho 3

Nên p2 có dạng

2 3 1 2 2003 3 1 2003 3 2004 3.( 668) 3

m

p2+2003 Là hợp số

• Nếu p=3k+2 thì

( ) ( ) ( )

( )

2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

3 3 2 2.3 4 : 3(1) 3 1

2 3 1 2 2003 3 1 2003 3 2004

3.( 668) 3

m

p2+2003 Là hợp số

Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 thì p2+2003 Là hợp số

Câu 4 (3 điểm) :

điểm

4a

9.10 10.11 11.12 x(x 1) 9

2.

9 x 1 9

9 x 1 9

2 1

x 1 18 x 17

x 1 9



 − =

÷

 + 



+

= ⇒ + = ⇒ = +

b) Nếux = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 ⇒y = 4 ( y ∈ N)

(0,5 đ) Nếux ≠ 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y ∈ N : vô lý (0,25 đ)

Vậy: x = 0, y = 4

(0,25 đ)

5

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

- Từ giả thiết suy ra (x 20) 25+ M và (x 20) 28+ M và (x 20) 35+ M ⇒ x+ 20

là bội chung của 25; 28 và 35

(0,5 đ)

- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 (k N ∈ ) (0,5 đ)

- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999≤ ⇒ +x 20 1019≤ ⇒k =

1 (0,5 đ)

⇒ x + 20 = 700 ⇒x = 680

(0,5 đ) b) Gọi số có 5 chữ số phải tìm là abcde (a≠ 0 ;a;b;c;d;e∈N;a;b;c;d;e≤ 9)

Ta có abcdey= 3 yabcde

Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014

7x + y = 300 000y

7x = 299 999y

x = 42 857y

Vì x là số có 5 chữ số nên y chỉ nhận 2 giá trị : y = 1 và y = 2

Nếu y = 1 thì x = 42 857

Nếu y = 2 thì x = 85 714

Nội dung cần đạt Câu6

qua 1 điểm bao giờ cũng vẽ được 1 đường thẳng nên

+chọn 1 điểm trong n điểm cho trước( trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng) thì

ta sẽ vẽ được n đường thẳng

+ n-1 điểm thì ta sẽ vẽ được n-1 đường thẳng

Nhưng số điểm đã được tính 2 lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là

( )

1

2

n n−

Nếu có 108 đường thẳng thì ta có

( )

( )

1

108 2

1 2.108 14.13

14

n n

n n

n

−

=

⇒ =

Vậy có 15 điểm

Thang điểm

Câu 7

a, Vì OC là tia phân giác của góc AOB nên

72

AOB

Lập luận để có tia OM nằm giữa hai tia OB, OC

Từ đó ·MOC= 720 -350 = 370

b, Ta có ·AOB'= 1800 - ·AOB = 1800 – 1440 = 360

·AON = · 720 0

36

2 = 2 =

AOC

Tia OA nằm giữa hai tia ON và OB’ Vậy tia OA là tia phân giác của góc NOB’

A

M C

N