tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán kèm đáp án

tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán kèm đáp án tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài t...

Trang 1

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Bài 4(2,5 điểm): Cho tam gác ABC vuông ở A, đường cao AH, D là một

điểm trên cạnh BC.Hình chiếu của H trên AB, AC theo thứ tự là F và E Hình

chiếu của D trên AB, AC theo thứ tự là M và NÑ Chứng minh:

CE _ AC

a) —=—

BF AB

b) DB.DC = MA.MB + NA.NC

Trang 2

Môn : TOÁN (ĐỀ 1)

Năm học : 2006 - 2007

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho môi bài Thí sinh giải cách khác đáp án

nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm

của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gíc

* Nếu thí sinh giải sai bước trước thì cho điểm 0 đối với các bước giải sau có

liên quan trong lời giải của từng bài

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những

điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành

Trang 3

Vì f(x) liên tục tại x = 0 nên g(x), h(x) cũng liên tục tại

Trang 4

DB.DC_ DB.DC ˆ

MA MB NA NC DC’ DB DB DC

0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ

Trang 5

SỞ GD-ĐT QUANG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Năm học : 2006 - 2007

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đê)

Biéu dién U, theo Up van

Bai 2(2,5 diém): Cho các số thực x,,x,,x; thỏa mãn

x, +x, +x, =4/x, +1 44x, +2 +4/x, 43

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P= x,+x; +x;

Bài 3(2,5 điểm): Trên bàn cờ 10 x 10, chúng ta viết các số từ 1 -> 100 Mỗi

một hàng chúng ta chọn số lớn thứ 3 Chứng minh có tồn tại ít nhất một hàng

có tổng các số trong hàng nhỏ hơn tổng các số lớn thứ ba được chọn

Bài 4(2.5 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) M,N, P, Q

theo thứ thự là các tiếp điểm của AB, BC, CD, DA với (O) Chứng minh

rằng:

a) AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm

b) Các đường thẳng BD, PN, QM đồng quy tại một điểm

Hết

Trang 6

Môn : TOÁN (ĐỀ ID Năm học : 2006 - 2007

Trang 7

0,5 0,5 0,25

(2,5 d) Ta kí hiệu bên trong các số lớn thứ ba trên mỗi hàng la p> a) >a> >ay

Khi đó số phân tử lớn hơn aạ nhiều nhất là 20 (Mỗi hang

gồm hai số lớn hơn aạ, hai số lớn hơn a;, .hai số lớn hơn

as) a; >80 Lập luận hoàn toàn tương tự là có a¡>78

Vi ag > agt 1 Da, = at? D Da, > ay +7 Sa, +a

+ +tao > 80 + 78 + (ag†7) + +a, > 8a, +180

Xét tổng các số thuộc hàng có chứa a, là số lớn thứ 3

Khi đó ta có:

Say < 100 + 99 + ay + ay—1+ .4a) -7 <8a, + 171 = Say

<a) + at .+a, (dpem)

(2,5 đ)

Trang 8

Do d6:T = T Sup ra: MP; AC dong quy

Hoan toan tuong tit cho MP, NQ, BD déng quy

(Đpcm)

Gọi K là giao điểm của các đường thẳng MQ và BD

áp dụng Mênlauyt cho tam giác ABD với Q, M, K thẳng

0,25đ

0,50đ 0,25đ 0,25đ

Trang 9

Năm học : 2006 - 2007

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 4(2,5 điểm): Gọi T là tập hợp các tứ diện có bốn đỉnh thuộc bốn mặt

bên của một hình lập phương sao cho mỗi mặt chứa đúng một đỉnh và hình

chiếu của tứ diện trên mặt đáy hình lập phương có chu vi nhỏ nhất Tìm

trong T tứ diện có thể tích lớn nhất

Trang 10

Môn : TOÁN (ĐỀ II) Năm học : 2006 - 2007

YÊU CẦU CHUNG

của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gic

Trang 11

Vậy phương trình (2) có các nghiệm: y, = cos

y= cos W =cos ti ba nghiém nay déu phan biét do

đó phương trình (2) không còn có nghiệm nào nữa (vì| 0:25 phương trình bậc ba có không quá ba nghiệm)

Do 5 < ae <n, 2 “ <z nên y; <0, y;<0 bị lọai còn | q 2s

2 | Do hệ phương trình trên có bậc chắn với tất cả các ẩn nên

(2,5 d)| ta chỉ cần tìm nghiệm tự nhiên Cộng hai phương trình trên

theo vế, ta có phương trình sau:

Từ (1), (2), (3) ta suy ra néu (x, y, z, t) la nghiệm của hệ

phương trình đã cho thì (x¡, y¡ Z¡ t,) cũng là nghiệm mà

Trang 12

Thử lại thấy thoã mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = t = 0 0.5

Trang 13

Vay min(Chu vi M’N’P’Q’)= 2aV2 khi x=y=z=1

Hay MˆN'P°Q' là hình chử nhật có các cạnh song song

với hai đường chéo đáy hình lập phương Gọi d là khoảng

Trang 15

SỞ GD - ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học : 2006 - 2007

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đê)

Bài 1(2,5 điểm): Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:

x?+2006y? =z”

20063” + y? =?”

Bài 2 (2,5 điểm) : Cho số tự nhiên n > 3 Lấy n số Xị, Xạ, .,, X„ sao cho mỗi

số x;¡ (= 1,2, , n) chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc (- 1) và thoả

mãn điều kiện:

XIX¿ + X2X4 + + Xn ¡ Xa + XaXi =0 Chứng minh rằng n là bội số của 4

Bài 3 (2.5 điểm) : Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

ay p +“ >a+bte

Bài 4 (2,5 điểm) : : Cho dãy số (u„) được xác định nh sau:

u, =u, =1

Uj =u, +4/U,, 3: neN, n22

Tim lim u,?

n+

Hết

Trang 16

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Đề IV)

1 | Do hệ phương trình trên có bậc chẵn với tất cả các ẩn nên ta

(2,5 đJ chỉ cần tìm nghiệm tự nhiên Cộng hai phương trình trên

theo vế, ta có phương trình sau:

Trang 17

Ti (1), (2), (3) ta suy ra néu (x, y, z, t) la nghiệm của hệ

phương trinh da cho thi (Xx,, y,, z;, t,) cũng là nghiệm mà

Thử lại thấy thoã mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = t = 0

2 | Đặt X,=xXx¡X;; X; =X;X;y, Xa=XJXi 0,25

(2,5đ)

Khi đó mỗi số X, (¡ = 1, 2, , m) bang 1 hoac bang (- 1) 0,25

va X,+X,+ +X,=0 Như vậy, nếu có p số X, bằng 1 thì cũng phải có psố | 0,25

X, bằng (- 1)

(peN;p<n) Do đó: n= 2p

Mặt khác: X,X; X„ = (xx; X„)Ẻ =Í 0,5 Ma: X,X; X„=(- I)P Suy ra p là số chẩn 0,5 Vậy: n = 2p chia hết cho 4 hay n là bội số của 4 0,5

0,25

Trang 18

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b 0,5

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:

b’- be +c? =be+(b-c) > be Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c

Và : CỔ - ca + a°=ca +(c-a)”> ca Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = a 0,25

Ta có: uy =u, +Ju, =2 Suy ra: u; >u; 025

Ta sẽ chứng minh: u,.¡ >u, ; với moin e N,n > 2

(1) Thật vậy, theo trên thì (1) đã đúng với n = 2 0,25

Giả sử (1) ding dénn=k;keN,k>2

Tức là, theo công thức truy hồi ta có:

Uy FU SU, PU

Ta có: 0ụ.; =j0y„¡ + Ju, > Ju, + Uy FU

Vớin >4,tacó: u,=vju,,+u,; <2.-ju,„

Suy ra: u,’<4u, > u,<4 0,25

Như vậy, dãy (u,) là dãy các số dương, tăng và bị chặn

Trang 19

trên bởi số 4 nên

tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử lim u,y=a>0, Ti->‡+2 Theo giả thiết ta có:

Trang 20

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH _ ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Đề V)

Thời gian làm bài : I80 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 3 (2,5 điểm) : Cho các số thực a, b, c € [-1 ; 2] và a+b+c=0 Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức P = a” + bỂ + cỶ

Bài 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O

Gọi P là một điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC (cung không chứa điểm A)

Chứng minh rằng: PA = PB + PC

Hết

Trang 21

Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Đề V)

Trang 22

= 1+cosB =2sin* = + 2sin 5 cos

=2sin? 2 + 2cos cos A-€

<= 1+cosB = I-cosB + cosA +cosC 0.25

p-f2+fC8) „„ _

10 _ 11.10.9(12=m)+120+(—9)(-10/—11)§=m)—80 „„

Trang 23

ce -c-2=(c+1)(c-2) <0 (3) | 0,25 Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có:

a*+b +cˆ-(a+b+c)-6<0

Dấu đẳng thức của (*) xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức của (1), (2) và

(3) đồng thời xảy ra

Dấu đẳng thức của (1) xảy ra khi và chỉ khi a = - 1 hoặc a=2

Dấu đẳng thức của (2) xảy ra khi và chỉ khi b = - 1 hoặc b=2

Dấu đẳng thức của (3) xảy ra khi và chỉ khi c = - 1 hoặc

P cũng khôngtrùng với điểm C:

Trên đoạn thẳng PA lấy điểm Q sao cho : < ACQ = ⁄ BCP 0,25

Trang 24

0,25

0,25 0,25

Trang 25

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH _ ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Đề VI)

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Trang 26

u, =u, =1

Ua n+l =Vu, + /U,, 3; neN, n22

Tim lim u,?

n>+ 0

DAP AN, HUONG DAN CHAM

Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Dé VI)

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Thí sinh giải cách khác đáp án

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phan chia đến 0,25 điểm, những

Trang 28

Ta có: u, =u, +/Ju, =2 Suy ra: u, > u, 0.25

Ta sẽ chứng minh: u,.¡ > u„ ; với mọi neNÑ,n> 2

(1)

Thật vậy, theo trên thì (1) đã đúng với n = 2 0,25 Gia str (1) ding dénn=k;keN,k>2

Tức là, theo công thức truy hồi ta có:

Mi FUL SU, PU yo

Ta CO: Uy,9 = VUea + uy > Ju, + Uy = Ura

Với n > 4,tacó: u,=vju,,+/u,; <2./u„

Suy ra: u,’?<4u, > u, <4 0,25 Nhu vay, day (u,,) 1a day cdc s6 duong, tang va bi

chặn trên bởi số 4 nên

tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử lim u,=a>0, 025

Theo giả thiết ta có:

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	2,91 MB