số mũ đặc trưng vectơ và ứng dụng

44 3 Nghiên cứu sự ổn định của nghiệm của phương trình vi 3.1 Sự ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của hệphương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường 483.2 Định ng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo Khoa Toán-Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bịkiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập

học-và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Tạ Duy Phượng,người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiếnthức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Số mũ Lyapunov 71.2 Vectơ đặc trưng của hàm số 101.3 Vectơ đặc trưng của ma trận hàm 17

2 Số mũ đặc trưng vectơ của nghiệm của phương trình vi

2.1 Phương trình vi phân đại số 202.1.1 Phép chiếu 202.1.2 Chỉ số của phương trình vi phân đại số với thành

phần đầu chính thường 212.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 với thành

phần đầu chính thường 232.2.1 Số mũ Lyapunov của nghiệm của phương trình vi

phân đại số chính quy chỉ số 1 252.2.2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi

phân đại số chính quy chỉ số 1 272.3 Phân rã phương trình vi phân đại số chỉ số 2 với thành phần

đầu chính thường 292.4 Phổ của phương trình vi phân đại số chính quy chỉ số 1 342.5 Hệ chính qui cấp m 44

3 Nghiên cứu sự ổn định của nghiệm của phương trình vi

3.1 Sự ổn định tiệm cận mũ của nghiệm tầm thường của hệphương trình vi phân đại số với thành phần đầu chính thường 483.2 Định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định (cấpm) của hệ vi phân

đại số tuyến tính chỉ số 1 64

Kết luận 68

MỞ ĐẦU

Năm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyếntính Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã được Hoàng Hữu Đường

mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng)

để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong trườnghợp tới hạn vào những năm 1965 - 1982

Bắt đầu từ những năm 1980, do nhu cầu thực tiễn và phát triển lýthuyết, phương trình vi phân đại số đã được chú ý và nghiên cứu sâu rộng.Nhiều tác giả Việt Nam: GS Phạm Kỳ Anh, GS Nguyễn Đình Công, GS.Nguyễn Hữu Dư, PGS Vũ Hoàng Linh, TS Lê Công Lợi, GS Vũ NgọcPhát, PGS Cấn Văn Tuất đã tham gia nghiên cứu và giải quyết các vấn

đề khác nhau của phương trình vi phân đại số

Vấn đề sử dụng lý thuyết số mũ đặc trưng của Lyapunov để nghiên cứucác tính chất định tính của phương trình vi phân đại số đã được NguyễnĐình Công và Hoàng Nam nghiên cứu trong [2], [3], [8] và[9]

Trong luận văn, chúng tôi đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặctrưng của Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu phương trình vi phân đại sốvới thành phần đầu chính thường Các vấn đề luận văn quan tâm là:1) Đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình viphân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1 với thành phần đầu chính thường;trình bày mối quan hệ giữa vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình

vi phân đại số và vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phânthường tương ứng

2) Hệ cơ bản chuẩn tắc và phổ của phương trình vi phân đại số tuyếntính chính qui chỉ số 1

3) Hệ chính qui cấp m.

4) Định nghĩa sự ổn định (cấp m) của các vectơ đặc trưng của phươngtrình vi phân đại số thuần nhất đối với các nhiễu động tuyến tính và phituyến Các kết quả nhận được trong luận văn tương tự các kết quả tươngứng trong [4]

Luận văn gồm phần Mở đầu, 3 chương, phần Kết luận và các tài liệutham khảo

Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm số mũ đặc trưng; trìnhbày lại khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số và ma trận hàm cùng cácchứng minh một cách chi tiết một số tính chất của vectơ đặc trưng

Trong chương 2, chúng tôi trình bày cách phân rã hệ phương trình viphân đại số chỉ số 1 và chỉ số 2 dựa theo [12] Đồng thời cũng đưa ra kháiniệm vectơ đặc trưng của nghiệm, phổ của hệ phương trình vi phân đại

số chỉ số 1, hệ cơ bản chuẩn tắc cũng như hệ chính qui cấp m dựa trên sự

mở rộng các khái niệm tương ứng của hệ phương trình vi phân tuyến tínhtrong [8]

Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định tiệm cận mũ củanghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân đại số với thành phầnđầu chính thường và định nghĩa vectơ đặc trưng ổn định

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012

Người thực hiện

Đỗ Văn Chung

Chương 1

Vectơ đặc trưng

Năm 1982 trong luận án Tiến sĩ khoa học của mình, Hoàng Hữu Đường

đã đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng là mở rộng khái niệm số mũ đặc trưngLyapunov và áp dụng vectơ đặc trưng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của

hệ phương trình vi phân trong trường hợp tới hạn Trước tiên chúng tanhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số, matrận hàm và một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov

Xét phương trình vi phân tuyến tính x = αx, t ≥ 0. với điều kiện banđầu x(0) = x0 có nghiệm là

Với α > 0 thì x(t) −→ +∞ Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*)

là không ổn định Với α = 0 thì x(t) ≡ x0, ∀t ≥ 0 Ta nói nghiệm x ≡ 0

của phương trình (*) là ổn định (không ổn định tiệm cận) Với α < 0 thì

x(t) −→ 0 khi t −→ +∞ Ta nói nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*) là

ổn định tiệm cận (theo Lyapunov) Như vậy số α đặc trưng cho tính ổnđịnh của nghiệm x ≡ 0 của phương trình (*)

Dựa trên quan sát này, Lyapunov đưa ra khái niệm số mũ đặc trưngnhằm nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân.Xét hàm số thực f (t) = eαt, trong đó α là số thực Số α đặc trưng chotốc độ tăng trưởng của hàm eαt

Từ nay về sau, vì ta chỉ xét t → +∞ nên để cho gọn, khi t → +∞ tachỉ viết t → ∞.

Ta có thể viết |f (t)| = eα(t).t, trong đó α(t) = 1

t ln |f (t)| Như vậy, để

so sánh sự tăng trưởng của hàm |f (t)| với hàm mũ, điều cần thiết là phảixem xét giá trị của hàm α(t), trên cơ sở đó chúng ta đưa vào khái niệm

số mũ đặc trưng của hàm số như sau

Định nghĩa 1.1 [10] Giả sử f (.) là hàm nhận giá trị thực và xác địnhtrên khoảng J = [t0, +∞) Số (hoặc giá trị +∞, −∞) xác định bởi côngthức

χ(f ) := lim

t→∞

1

được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số f (.)

Nói chung số mũ Lyapunov có thể hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng sau nàychúng ta chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov là hữu hạn Chúng taqui ước ln 0 = −∞, do đó nếu f (t) ≡ 0 thì χ(f ) = −∞

Như vậy, nếu χ(f ) = α thì khi t → ∞ hàm số y = |f (t)| tăng chậmhơn bất kỳ một hàm mũ y1 = e(α+)t với  > 0 bất kỳ Hơn nữa, hàm

|f (t)|e−(α+)t → 0 và theo một dãy tk → ∞ nó tăng nhanh hơn hàm

y2 = e(α−)t và hàm |f (t)|e(−α+)t không bị chặn

Định nghĩa 1.2 [10] Hàm f (t) được gọi là có số mũ đặc trưng đúng nếutồn tại giới hạn hữu hạn χ(f ) = lim

Định nghĩa 1.3 [10] Số (hoặc giá trị ±∞) χ(F ) := max

j,k χ(fjk(t)) đượcgọi là số mũ Lyapunov của ma trận hàm F (.)

Số mũ Lyapunov của ma trận hàm cũng có một số tính chất tương tự

số mũ Lyapunov của vectơ hàm

i) Nếu F (.) là ma trận vuông thì χ(FT) = χ(F ) với FT(t) là ma trậnchuyển vị của ma trận F (t) với t ∈ J

ii) χ(F ) = χ(||F ||)

ii) Nếu F1(.), , Fm(.) là các n × n ma trận hàm xác định trên

với  > 0 và am ≥ 1 là hằng số bất kỳ.

Từ đây ta đi đến định nghĩa sau

Định nghĩa 1.4 [4] Vectơ α(m)(x) = (α0, α1, , αm) được gọi là vectơđặc trưng cấp m (chỉ số vectơ cấp m) của x(t)

Nhận xét 1.1 Khi m = 0 thì α(0)(x) = α0 chính là số mũ đặc trưngLyapunov của x

Rm+1 trở thành một không gian được sắp thứ tự (toàn phần) theo nón K.Xét tập {α(m)} được sắp thứ tự như sau: Cho

α(m)1 = (α01, α11, , αm1), α(m)2 = (α02, α12, , αm2),

α(m)1 ≺ α(m)2 nếu và chỉ nếu tồn tại j ≤ m sao cho αi1 − αi2 = 0, với

i = 0, 1, , j − 1 và αj2 − αj1 > 0

Ký hiệu α1(m)  α(m)2 có nghĩa là α(m)1 ≺ α2(m) hoặc α(m)1 = α2(m)

Ký hiệu θ là phần tử không của Rm Dưới đây ta xét một số tính chấtcủa vectơ đặc trưng đối với hàm số (xem [4], trang 8 - 17)

Chứng minh Giả sử max

i α(m)(xi) = (α0, α1, , αm) = α(m).Nếu α0(xi) ≤ α0 với i ∈ {1, , p} nào đó thì với mọi 0 > 0 ta có

|xi(t)| < ae(α0 + 0 )t

Suy ra

Nếuα0(xi) = α0 với mọii = 1, , p thì ta xétα1(xi) Nếu α1(xi) ≤ α1

ta làm như trên Nếu α1(xi) = α1 với mọi i = 1, , p thì ta xét α2(xi).Một cách tổng quát, nếu αj(xi) = αj, j = 1, , l − 1 thì ta xét αl(xi)

với l ≤ m và làm tương tự như trên ta có điều phải chứng minh

Chú ý 1.1 Nếu chỉ có một vectơ xl có α(m)(xl) = α(m) thì (1.4) xảy ra

dấu bằng Thật vậy, theo (1.4) ta có



e(−α0 +)t k ≥ |xl(tk)|e(−α0 +)t k −



e(−α0 +)t k → ∞

Do đó

 ... class="page_container" data-page="19">

Vectơ đặc trưng ma trận hàm có số tính chất tương tựnhư vectơ đặc trưng hàm số (xem [4], trang 17) Dưới ta xét

Chứng minh Vì |ajk(t)| ≤ ||A(t)||... số bị chặn Suy

ra tập vectơ đặc trưng u(t) bị chặn bị chặn Vì vậytập vectơ đặc trưng x(t) bị chặn bị chặn Vậymọi nghiệm khơng tầm thường (2.18) có vectơ đặc trưng hữu hạn

Định nghĩa... 2

Số mũ đặc trưng vectơ nghiệm phương trình vi phân đại số< /h2>

2.1 Phương trình vi phân đại số< /h3>

Nhằm mục đích phục vụ cho chương sau, nhắc lạimột số kiến thức