toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, N

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN

TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ

TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,

ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN

TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ

TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,

ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ HOÀI AN

THÁI NGUYÊN, NĂM 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấpvới đề tài “Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưngkhông và áp dụng” là của tôi Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ

Tác giả

Ngô Thị Phương Loan

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo củakhoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu

và Viện Toán học đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tácgiả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKHNguyễn Tự Cường, PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn cùng PGS.TS Đàm Văn Nhỉ,PGS.TS Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn chỉnhluận văn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Vũ Hoài

An, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả có thêm nhiềukiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận vănkhó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong và xin được cảm ơn ý kiếnđóng góp của các nhà toán học và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.Tác giả xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014

Tác giảNgô Thị Phương Loan

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Bảng ký hiệu v

Mở đầu 1

1 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 5 1.1 Sai phân của hàm số trong toán học Trung học phổ thông và ứng dụng 5

1.1.1 Khái niệm về phép sai phân 5

1.1.2 Sai phân liên tiếp 6

1.1.3 Sai phân của đa thức 6

1.1.4 Ứng dụng 7

1.2 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 9 1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân của hàm phân hình p-adic 10

1.2.2 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 11

1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đối với vấn đề nhận giá trị 13

1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 13 1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 15

2 Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc

2.1 Vấn đề nhận giá trị của toán tử sai phân, đơn thức sai phân đốivới hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 192.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàmhữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 25Kết luận 39Tài liệu tham khảo 40

Bảng ký hiệu

n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a

T (f ) Hàm đặc trưng của f

Ef(S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f

Ef(S) Ảnh ngược không tính bội của S đối với f

K Trường đóng đại số, đặc trưng không

R Trường số thực

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Sai phân của hàm số đã được đề cập đến trong toán học phổ thông Vấn đềduy nhất đối với sai phân đa thức đã được giải quyết nhờ công thức nội suyNewton, công thức nội suy Lagrange Còn vấn đề nhận giá trị đối với sai phâncủa đa thức được kiểm tra thông qua các định lý về hàm số thực liên tục Đốivới sai phân của hàm phân hình p-adic, vấn đề nhận giá trị và duy nhất đãnhận được kết quả ban đầu

Cho hàm f là hàm phân hình p-adic Toán tử sai phân của f được xác địnhnhhư sau:

Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [7] đã đưa ra các kết quả cho vấn

đề nhận giá trị và duy nhất cho Toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàmphân hình p-adic Họ đã nhận được các kết quả sau:

Cho P là đa thức bậc n trên Cp Viết P = a0(z − a1)m1 (z − as)ms.Định lý A Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên Cp, n, ki, s, q, i = 1, , q

Định lý B Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên Cp, n, qi, s, k,

ln+m+q1 + +qk = 1

Để ý rằng, Cp là trường đóng đại số, đặc trưng không và đầy đủ Câu hỏi tựnhiên được đặt ra là: Đối với K là trường đóng đại số, đặc trưng không, khôngcần giả thiết K là trường đầy đủ thì các định lý nêu trên còn đúng hay không?Nhằm trả lời câu hỏi này, đề tài nghiên cứu vấn đề: Toán tử sai phân củahàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trình bày lại tương tự các Định lý A, B, C cho hàm hữu tỷ trên trườngđóng đại số, đặc trưng không đã đưa ra trong [1]

3 Nội dung nghiên cứu

• Luận văn tổng hợp và trình bày về sai phân của hàm số trong toán họctrung học phổ thông và ứng dụng

• Luận văn trình bày tổng quan về vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối vớitoán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic.

• Luận văn tổng hợp, trình bày các kết quả về vấn đề nhận giá trị và duynhất đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trêntrường đóng đại số, đặc trưng không trong [1]

4 Kết quả nghiên cứu

• Luận văn trình bày lại các định lý về nhận giá trị và duy nhất đối vớitoán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hìnhp-adic

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày về sai phân của hàm số trong toán họctrung học phổ thông và ứng dụng của nó và ứng dụng của nó vào chứng minhĐịnh lý Wilson Ngoài ra, chúng tôi trình bày tổng quan về toán tử sai phân,

đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic làm cơ sở cho việc tương tự đối vớihàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không

Chúng tôi cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhậngiá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Các kết quảnày ở trong [1] và được trình bày ở [2]

Chương 2: Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại

số, đặc trưng không

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lại các kết quả trong [1] Các định lý

2.1.3, 2.1.4 là kết quả về vấn đề nhận giá trị đối với toán tử sai phân, đơn thứcsai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không.

Định lý 2.2.3 là kết quả về vấn đề duy nhất đối với sai phân của hàm hữu

tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không

Chương 1

Về toán tử sai phân, đa thức sai

phân của hàm phân hình p-adic

phổ thông và ứng dụng

1.1.1 Khái niệm về phép sai phân

Cho c ∈ R, c 6= 0, D là tập con khác rỗng của R thỏa mãn điều kiện x+c ∈ D,

6 Nếu P (x) = 2x thì ∆1(P (x)) = 2x+1− 2x

Ta cũng đưa ra 2 tính chất của phép sai phân:

Tính chất cộng: ∆c(u(x) + v(x)) = ∆c(u(x)) + ∆c(v(x))

Tính chất nhân: Với mọi hằng số a ta có: ∆c(aP (x)) = a∆c(P (x))

1.1.2 Sai phân liên tiếp

Chúng ta có thể thực hiện phép sai phân liên tiếp như sau:

Đầu tiên, ta có sai phân cấp 1 của P (x): ∆c(P (x)) = P (x + c) − P (x)

Tiếp theo, áp dụng sai phân cho ∆c(P (x)), kết quả là sai phân cấp 2, ta kíhiệu:

∆2c(P (x)) = ∆c(∆c(P (x)) = ∆c(P (x + c) − P (x))Vậy

j − 1



P [x + (j − 1)c] +

j

1.1.3 Sai phân của đa thức

Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu về sai phân của đa thức, sai phân của đa thức

có tính chất quan trọng sau đây:

Với mọi n > 0, sai phân của đa thức bậc n là một đa thức bậc n − 1 Vì vậy:Sai phân cấp n của một đa thức bậc n là một hằng số.

Sai phân cấp n + 1 của một đa thức bậc n bằng 0

Ví dụ 1.1.1 Cho P (x) = 2x3 + x2 + 3x + 5, ta lần lượt tính sai phân của

Ta có sai phân cấp 3 của P (x) là một hằng số

Sai phân cấp 4 của P (x) sẽ bị triệt tiêu: ∆41(P (x)) = 12 − 12 = 0

Nhận xét 1.1.2 Khi càng lấy sai phân thì bậc của đa thức càng giảm xuống,cho đến khi sai phân bị triệt tiêu và bằng 0

Để chứng minh Định lý Wilson, chúng ta sử dụng một vài tính chất của đathức Các tính chất này mặc dù rất đơn giản nhưng nếu chúng ta biết cách sửdụng thì nó sẽ trở nên hữu ích trong việc giải toán.

Trước tiên, ta nhắc lại về đa thức Đa thức là một tổng có dạng:

P (x) = anxn + an−1xn−1+ + a1x + a0trong đó các số thực a0, a1, , an gọi là các hệ số Số a0 gọi là hệ số tự do của

đa thức P (x) Cũng có thể gọi a0 là hệ số cuối cùng và an là hệ số đầu tiên của

đa thức

Chúng ta phát biểu 3 tính chất của đa thức:

Tính chất 1.1.3 Đối với đa thức P (x) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 thì

hệ số a0 có thể tính như sau: a0 = P (0)

Tính chất 1.1.4 Nếu P (x) là đa thức có bậc là n ≥ 1 thì ∆P (x) = P (x +1) − P (x) sẽ là một đa thức bậc n − 1

Ta chứng minh tính chất này cho một trường hợp đặc biệt là đa thức xn,trường hợp tổng quát sẽ suy ra từ đó

Đối với đa thức xn, chúng ta có:

Tính chất 1.1.5 Hệ số đầu tiên của đa thức ∆P (x) sẽ bằng nan

Theo tính chất thứ 2 đã chứng minh ở trên, ∆xn là đa thức bậc n − 1 với hệ

số đầu tiên bằng n, do đó đa thức ∆P (x) = an∆xn + an−1∆xn−1+ + a1∆x

sẽ có hệ số đầu tiên là nan

Với 3 tính chất trên ta sẽ sử dụng để chứng minh định lý Wilson

Định lý Wilson: Với mọi số nguyên tố p thì (p − 1)! = 1(mod p)

Chứng minh: Sử dụng đa thức: f1(x) = xp−1− 1

Xét đa thức: f2(x) = ∆f1(x) = f1(x + 1) − f1(x)

Theo tính chất 2 về đa thức ở trên thì f2(x) là đa thức bậc p − 2

Theo tính chất 3 thì hệ số đầu tiên của f2(x) là p−1 Vì f2(x) = f1(x+1)−f1(x)cho nên f2(1) = f2(2) = = f2(p − 2) = 0(mod p)

Tương tự với đa thức f3(x) = ∆f2(x) = f2(x + 1) − f2(x) là đa thức bậc p − 3,

hệ số đầu tiên của đa thức là (p − 1)(p − 2), f3(1) = f3(2) = = f3(p − 3) =0(mod p)

Cuối cùng với đa thức fp−1(x) = ∆1fp−2(x) = fp−2(x+1)−fp−2(x) thì fp−1(x) là

đa thức bậc 1 với hệ số đầu tiên là (p−1)(p−2) 2 = (p−1)! và fp−1 = 0(mod p).Bây giờ ta xét đến hệ số cuối cùng của đa thức này:

Hệ số cuối cùng của đa thức f1(x) là f1(0) = −1

Hệ số cuối cùng của đa thức f2(x) là f2(0) = f1(1) − f1(0) = −f1(0)(mod p)

Hệ số cuối cùng của đa thức f3(x) là f3(0) = f2(1) − f2(0) = −f2(0)(mod p)

Hệ số cuối cùng của đa thức fp−1(x) là

1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân của

hàm phân hình p-adic

Gần đây, vấn đề nhận giá trị và duy nhất được xem xét đối với toán tử saiphân cho f hàm phân hình p−adic Ta định nghĩa Toán tử sai phân của hàm

f như sau: ∆cf = f (z + c) − f (z), ở đó c ∈ Cp là hằng số khác không Năm

2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã xem xét vấn đề nhận giá trị và duynhất cho Toán tử sai phân

Bổ đề 1.2.1 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn ∆cf (z) = 0 với mọi

Định lý 1.2.3 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn fn(z) ∆cf (z) 6= 1 với

n ≥ 6 là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng

Cho f là hàm phân hình p−adic Toán tử sai phân cấp n + 1 của f đượcxác định như sau:

và ∆q

cf không đồng nhất không Khi đó

P (f )(∆1cf )k1 (∆qcf )kq − a không có không điểm, với a ∈ Cp, a 6= 0

Định lý 1.2.5 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cpvà n ≥ 6,Ef n ∆ c f(ai) =

f và g chung nhau giá trị aCM (tương ứng aIM ), trong đó CM (tương ứng

IM ) có nghĩa là kể cả bội (tương ứng không kể bội)

Định lý 1.2.7 Nếu một hàm phân hình f thỏa mãn fn(z) f (z + c) 6= 1 với

n ≥ 5 là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng

Định lý 1.2.8 Giả sử f, g là các hàm phân hình trên Cp Nếu Ef n f (z+c)(1) =

Egn g(z+c)g(1) và n ≥ 13, n là số nguyên, thì f = hg với hn+1 = 1 hoặc f g = lvới ln+1 = 1

Định lý 1.2.9 Giả sử f, g là các hàm phân hình trên Cp Nếu

Ef n f (z+c)(1) = Eg n g(z+c)g(1)

và n ≥ 25, n là số nguyên thì f g = l với ln+1 = 1 hoặc f = hg với hn+1 = 1

Định lý 1.2.10 Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên Cp ,n, qi, s, k, i =

P (f ) (f (z + c))q1

(f (z + kc))qk

− a có không điểm, ở đó a ∈ Cp, a 6= 0.Định lý 1.2.11 Giả sử f, g là các hàm phân hình khác hằng trên Cp

Nhận xét 1.2.12 Định nghĩa sai phân đối với hàm số thực và hàm phân hìnhp-adic là tương tự Xét vấn đề nhận giá trị đối với toán tử sai phân, đa thứcsai phân gồm các bước sau:

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa hàm đặc trưng của f và hàm đặc trưng của

∆cf, f (z + c)

Bước 2: Dùng các kiểu Định lý chính thứ 2 đối với toán tử sai phân, đa thứcsai phân Sau đó chuyển T (∆cf, r), T (f (z + c), r) về T (f, r) và ước lượng

1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng

không đối với vấn đề nhận giá trị

1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không

Định nghĩa 1.3.1 Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thứcmột ẩn có bậc khác không, với hệ số trong K, có nghiệm trong K

Trường R không là đóng đại số vì đa thức P (x) = x2+ 1 không có nghiệm thựcmặc dù các hệ số của đa thức là (1, 0, 1) cũng thuộc R

Định nghĩa 1.3.2 Ta định nghĩa thêm khái niệm đặc trưng không của trường

K Số 0 được gọi là đặc trưng của trường K nếu n1 6= 0 với mọi số tự nhiên n.Nếu có một số tự nhiên n sao cho n1 = 0 thì số n nhỏ nhất với tính chất nàyđược gọi là đặc trưng của K, kí hiệu là char(K)

f = (z − a)mp(z)

với p(a) 6= 0 Ta gọi m là bội của không điểm a của f Đặt µ0f(a) = m Giả sử

d ∈ K và l là số nguyên dương Ký hiệu n(f ) là số các không điểm của f tính

Chú ý rằng lim

k→∞n6kl (f ) = nl(f )

Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương Tương

tự như trên, ta định nghĩa các hàm

n6k(f, a), n<kf (, a) n>k(f, a) n>k(f, a),

n6kl (f, a), n<kl f (, a) n>kl (f, a) n>kl (f, a)

Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương Tương

tự như trên, ta định nghĩa các hàm

f và g chung nhau giá trị aCM (tương ứng aIM ), trong đó CM (tương ứng

IM ) có nghĩa là kể cả bội (tương ứng không kể bội)

1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên

trường đóng đại số, đặc trưng không

Định lý 1.3.4 Đường cong hữu tỷ f : K → Pn(K) là một lớp tương đươngcủa các bộ (n + 1) đa thức (f1, , fn+1) sao cho f1, , fn+1 không có khôngđiểm chung trên K Hai bộ (n + 1) đa thức (f1, , fn+1) và (g1, , gn+1) làtương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K∗ sao cho gi = cfi với mọi

ở đó degfi là bậc của đa thức fi (i = 1, , n + 1).

Định nghĩa 1.3.6 Đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn(K) được gọi là khôngsuy biến tuyến tính nếu ảnh của f không được chứa trong bất kỳ siêu phẳngnào của Pn(K)

Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là mộtđiểm nào của Pn(K)

Bổ đề 1.3.7 Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P1(K) vớibiểu diễn là ˜f = (f1, f2) Khi đó Wronskian

W = W (f1, f2) =

f1 f2

f10 f20

... data-page="25">

Chương 2

Toán tử sai phân hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng

Cho hàm f hàm phân hình p-adic Tốn tử sai phân f xác địnhnhư sau:

Năm 2012,... 2012, Hà Huy Khoái Vũ Hoài An [7] đưa kết cho vấn

đề nhận giá trị choToán tử sai phân, đa thức sai phân hàmphân hình p-adic Họ nhận kết sau:

Cho P đa thức bậc n Cp... f hàm hữu tỷ K

Đa thức sai phân f xác định sau:

Chương 2

Toán tử