BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II và ỨNG DỤNG

Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đa trị, tuy nhiên kết quả đạt được của nhiều tác giả cho đến nay vẫn chưa thực sự tổng quát cho các bài toán liên quan đến án

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

ĐINH TIẾN HOÀNG

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế,

lý thuyết giá trị của Edgworth và Pareto từ cuối thế kỉ XIX và đầu thế kỉ XX Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của ngành khoa học và kĩ thuật cũng như thực tế: Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học, Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hóa Lý thuyết tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu Sau những công trình của H.W Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và

đủ cho 1 véctơ thoản mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véctơ thực sự là một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cần bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa,

Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng

mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỉ XX Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh tự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan

và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm 𝑥 ∈ 𝐾 sao cho 𝑓 𝑥 , 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾, trong đó K là tập cho trước, 𝑓: 𝐾 × 𝐾 ⟶ 𝑅 là hàm số thực thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑥) ≥ 0 Đây là dạng suy rộng trực tiếp của bài toán cổ điển trong lý thuyết tối ưu véctơ

Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị

từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữa hạn chiều khác mà thứ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tự được đưa ra bởi nón Orthant dương Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kì Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển bởi bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ

đa trị Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị Chính vì lẽ đó, bài toán điểm cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây Với những lý do trên mà chúng

tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Đối với ánh xạ đa trị, bài toán điểm cân bằng đã được xây dựng một cách tổng quát do Blum và Oettli đặt ra Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đa trị, tuy nhiên kết quả đạt được của nhiều tác giả cho đến nay vẫn chưa thực sự tổng quát cho các bài toán liên quan đến ánh xạ

đa trị như trường hợp của đơn trị

Để tìm nghiệm của bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa ra các thuật toán về quy hoạch như: quy hoạch lồi, quy hoạch Lipshitz hay phương pháp Newton xây dựng dãy hội tụ về nghiệm Chính vì vậy sự tồn tại nghiệm của bài toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ Mục đích của luận văn là đưa ra mô hình bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và ứng dụng của nó trong các bài toán tối ưu véctơ

3 Đối tƣợng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu chính là định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và định lý KKM

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về bài toán tựa cân bằng và các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu

Ứng dụng vào các bài toán thực tế như: xây dụng lý thuyết trò chơi, đưa ra

mô hình kinh tế

7 Cấu trúc luận án

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Đưa ra một số khái niệm liên quan như không gian thường dùng:

không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorff; nón và các khái niệm liên quan; ánh xạ đa trị

Chương 2: Trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và điều kiện

nghiệm của bài toán

Chương 3: Ứng dụng của bài toán tựa cân bằng vào trong bài toán tựa cân

bằng vô hướng và bài toán tối ưu loại II

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của tập này thành một tập con của tập kia Những khái niệm cổ điển về hàm số, về toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp nữa Việc mở rộng ánh xạ đa trị là tất yếu do nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống Chính vì vậy mà môn giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc lực để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị Ta dành trọn cả chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản của môn giải thích đa trị này Các kiến thức này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở chương sau

1.1 Một số không gian thường dùng

1.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn là cặp 𝑋, , trong đó X

là không gian tuyến tính, còn là một ánh xạ 𝑋 ⟶ 𝑅 thỏa mãn:

(i) ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ≥ 0 và 𝑥 = 0 khi và chỉ khi 𝑥 = 0;

(ii) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ;

(iii) ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝜆, 𝜆𝑥 = 𝜆 𝑥

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2 Cho X là không gian tuyến tính trên trường 𝐾 = 𝑅, 𝐶 Hàm

số , : 𝑋 × 𝑋 ⟶ 𝐾 được gọi là tích vô hướng trên X nếu:

(i) 𝑦, 𝑥 = 𝑥, 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (kí hiệu 𝑥, 𝑦 là số phức liên hợp của số phức 𝑦, 𝑥 );

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trong không gian tiền Hilbert ta luôn có bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz sau:

𝑥, 𝑦 2 ≤ 𝑥, 𝑥 𝑦, 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Từ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 𝑥 = 𝑥, 𝑥 là một chuẩn

trong không gian X Không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn

Do đó, trên đó có thể định nghĩa dãy Cauchy và tính đầy đủ Vậy ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert 1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haussdorff

Định nghĩa 1.4 Cho tập hợp X, gọi 𝒯 là các tập con của X Khi đó X được

gọi là không gian tôpô nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Định nghĩa 1.5 Ta nói rằng một tôpô 𝒯 phù hợp với cấu trúc đại số trong

không gian X, nếu các phép tính đại số trong X liên tục trong tôpô 𝒯, tức là nếu:

(i) 𝑥 + 𝑦 là một ánh xạ liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, với mọi lân cận V của điểm 𝑥 + 𝑦 đều tồn tại lân cận 𝑈𝑥 của 𝑥 và lân cân 𝑈𝑦 của 𝑦 sao cho nếu 𝑥′ ∈ 𝑈𝑥, 𝑦′ ∈ 𝑈𝑦 thì 𝑥′ + 𝑦′ ∈ 𝑉

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(ii) 𝛼𝑥 là ánh xạ liên tục của hai biến 𝛼, 𝑥; nói rõ hơn, với mọi lân cận V

của 𝛼𝑥 đều có một số 𝜀 > 0 và một lân cận U của x sao cho nếu 𝛼′ − 𝛼 <

𝜀, 𝑥′ ∈ 𝑈 thì 𝛼′𝑥′ ∈ 𝑉

Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương thích với cấu trúc đại

số được gọi là không gian tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.6 Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian lồi địa

phương nếu mọi phần tử của X có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi, hay tương đương phần tử 0 ∈ 𝑋 có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi

Định nghĩa 1.7 Không gian tôpô 𝑋, 𝒯 được gọi là không gian Haussdorff

nếu với mỗi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ≠ 𝑦 bao giờ cũng tồn tại lân cận 𝑈𝑥 của 𝑥 và 𝑈𝑦 của 𝑦 thỏa mãn 𝑈𝑥 ∩ 𝑈𝑦 = ∅

1.2 Nón và các khái niệm liên quan

Trong không gian các số thực, hai phần tử bất kì đều so sánh được với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng Điều này không có được trong các không gian khác Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang các bài toán nhận các giá trị vectơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm mới đồng thời có thể xây dựng những khái niệm tương tự của số thực, số phức trong không gian tôpô tuyến tính Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng những khái niệm đó là đưa nón vào không gian tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y C

gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu 𝑡𝑐 ∈ 𝐶, ∀𝑐 ∈ 𝐶,

𝑡 ≥ 0

Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y, kí hiệu clC, intC, convC là bao đóng, phần trong, và bao lồi của nón C, 𝑙 𝐶 = 𝐶 ∩ (−𝐶) Khi nghiên cứu các bài toán liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau:

(i) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(ii) Nón C gọi là nón nhọn nếu 𝑙 𝐶 = 0

(iii) Nón C gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.

(iv) Nón C gọi là nón đúng nếu 𝑐𝑙𝐶 + 𝐶\𝑙(𝐶) ⊆ 𝐶

Dễ thấy rằng nếu C là nón đóng thì C là nón đúng

Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ như sau: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑌, 𝑥 ≽ 𝑐𝑦 nếu

𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶 Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản 𝑥 ≽ 𝑦

Kí hiệu 𝑥 ≻ 𝑦 nếu 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶\𝑙 𝐶 và 𝑥 ≫ 𝑦 nếu 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑖𝑛𝑡𝐶

Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thức tự, nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và là quan hệ thứ tự từng phần trên Y Hơn nữa, nếu C

là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối xứng, nghĩa là nếu 𝑥 ≽ 𝑦 và 𝑦 ≽

là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương của 𝑅𝑛

Nếu lấy 𝐶 = 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 𝑥1 ≥ 0 thì C là nón lồi, đóng nhưng

không nhọn Vì 𝑙 𝐶 = 𝑥 = 0, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 ≠ 0

3 Cho Ω là không gian dãy các dãy số thực 𝐶 = 𝑥 = 𝑥𝑛 ∈ Ω: xn ≥ 0, ∀n

C là nón lồi, nhọn Ta chưa thể nói nó sắc hay đúng vì chưa có tôpô đưa vào

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

𝑥 ∈ 𝐿𝑝 0,1 , 𝑥 1 𝑝𝑑𝜇

0

1 𝑝

< 1

𝑛 Tập 𝐶 = 𝑥 ∈ 𝐿𝑝 0,1 : 𝑥 𝑡 ≥ 0, 𝑡 ∈ 0,1 là lồi, đóng

Định nghĩa 1.2.3 Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y 𝐵 ⊆ 𝑌 được

gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝐵 nếu 𝐶 = 𝑡𝑏 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑡 ≥ 0 Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑐 ≠ 0 đều tồn tại duy nhất 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 = 𝑡𝑏, thì B được gọi là cơ sở của nón C Hơn nữa,

nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑒(𝑐𝑜𝑛𝑣𝐵) gọi là nón đa diện

Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng trên đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ đó ta có thể tìm được các điểm hữu hiệu của tập hợp Ta có khái niệm sau:

Định nghĩa 1.2.4 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh

bởi nón lồi C và A là tập con của Y Ta nói rằng:

(i) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu

𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐶, ∀y ∈ 𝐴

Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là

IMin(A\C) hay IMinA

(ii) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 là điểm hữu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A đối với nón

C nếu ∄𝑦 ∈ 𝐴 để 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶\𝑙(𝐶) Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là PMin(A\C) hoặc đơn giản hơn MinA

(iii) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 là điểm hữu hiệu yếu (khi 𝑖𝑛𝑡𝐶 ≠ ∅ và 𝐶 ≠ 𝑌 ) của tập A đối với nón C nếu 𝑥 ∈ 𝑀𝑖𝑛 𝐴\( 0 ∪ 𝑖𝑛𝑡𝐶 ) Tức là x là điểm hữu hiệu

Pareto đối với nón 𝐶0 = {0} ∪ 𝑖𝑛𝑡𝐶 Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C được kí hiệu là WMin(A\C) hoặc WMinA

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(iv) Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C

nếu tồn tại nón lồi 𝐶 khác toàn không gian và chứa C\l(C) trong phần trong của nó để 𝑥 ∈ 𝑃𝑀𝑖𝑛 𝐴\𝐶

Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là

PrMin(A\C) hay PrMinA

Từ định nghĩa trên ta luôn có 𝐼𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊂ 𝑃𝑟𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊆ 𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊆ 𝑊𝑀𝑖𝑛𝐴

1.3 Ánh xạ đa trị

1.3.1 Các định nghĩa

Cho X là tập hợp bất kì Ký hiệu 2𝑋 là tập gồm các tập con của X

Định nghĩa 1.3.1.1 Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2𝑌 được gọi là ánh xạ đa trị từ

X vào Y, kí hiệu 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 (Đôi khi người ta sử dụng kí hiệu 𝐹: 𝑋 ⇉ 2𝑌 vì vậy để thống nhất trong luận văn này sử dụng kí hiệu đã trình bày trước) Như vậy mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹 𝑥 là một tập con của Y, không loại trừ khả năng

với một số phần tử x nào đó F(x) là tập rỗng Nếu 𝐴 ⊂ 𝑋 thì ta kí hiệu

𝐹 𝐴 = 𝑥∈𝐴𝐹 𝑥 và gọi nó là ảnh của tập A qua ánh xạ F Nếu 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹 𝑥 gồm một phần tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, thay cho kí hiệu

𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 đôi khi ta sử dụng kí hiệu là 𝐹: 𝑋 ⇉ 𝑌

Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của F được định nghĩa lần lượt như sau:

𝑑𝑜𝑚𝐹 = 𝑥 ∈ 𝐷 𝐹(𝑥) ≠ ∅ ;

𝐺𝑟 𝐹 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 × 𝑌 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥) ; 𝑟𝑔𝑒𝐹 = 𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥)

Ví dụ 1.3.1.2 Cho a, b là các số thực, 𝐹: 𝑅 ⟶ 2𝑅 được xác định bởi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

𝐹−1 𝑦 = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑦 ∈ 𝐹 𝑥 }

được gọi là ánh xạ ngược của F

Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược Nếu tập 𝐹−1 𝑦 = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑦 ∈ 𝐹 𝑥 } mở thì F được gọi là có nghịch ảnh

mở

Tương tự ánh xạ đơn trị, ta cũng có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1.3 Cho X, Y, Z, W là các tập hợp bất kì 𝐹1, 𝐹2: 𝑋 ⟶ 2𝑌, 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌, 𝐺: 𝑌 ⟶ 2𝑍 là các ánh xạ đa trị

a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ 𝐹1, 𝐹2 và ánh xạ bù của F là các ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi

cho bởi công thức 𝐺 × 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝐺 𝑥 × 𝐹 𝑦

b) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính, tổng đại số của hai ánh xạ 𝐹1, 𝐹2 và phép nhân một số với ánh xạ 𝐹1 là các ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định

bởi

𝐹1 + 𝐹2 𝑥 = 𝐹1 𝑥 + 𝐹2 𝑥 ; ⋋ 𝐹1 𝑥 =⋋ 𝐹1 𝑥

Trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính, ta có phép toán sau:

Định nghĩa 1.3.1.4 Cho 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 kí hiệu 𝐹 , 𝐹0 là các ánh xạ bao đóng,

phần trong của ánh xạ F xác định bởi 𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑥 , 𝐹0 𝑥 = 𝐹 𝑥 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng của F là: 𝑐𝑜𝐹 𝑥 = 𝑐𝑜𝐹 𝑥 , 𝑐𝑜 𝐹 𝑥 = 𝑐𝑜 𝐹 𝑥

1.3.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trong phần này, ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Trước hết, ta nhắc lại khái niệm tính tiên tục của ánh xạ đơn trị

Cho 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑌 là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, ánh xạ f gọi là liên tục tại

𝑥 ∈ 𝑋 nếu với mỗi tập mở V chứa 𝑓 𝑥 tồn tại lân cận mở U của 𝑥 sao cho

𝑓 𝑥 ∈ 𝑉, ∀𝑥 ∈ 𝑈

Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X Dễ thấy, f liên tục trên X nếu với mỗi tập mở 𝑉 ⊂ 𝑌, 𝑓−1 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓 𝑥 ∈ 𝑉} mở trong X

Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập mở

V bất kì và điểm x có thể xảy ra ba trường hợp, hoặc là 𝑓 𝑥 ⊆ 𝑉 hoặc 𝑓 𝑥 ∩

𝑉 ≠ ∅, hoặc 𝑓 𝑥 ∩ 𝑉 = ∅ Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này được B.Bouligand và K.Kuratowski đưa ra năm 1932 Ngày nay nhiều khi người ta dùng cụm từ ánh xạ nửa liên tục trên, dưới theo Berge để chỉ hai khái niệm này vì chúng được khảo sát khá kĩ trong một cuốn chuyên khảo của Berge (1959) Ta nhắc lại định nghĩa của Berge

Định nghĩa 1.3.2.1 Cho 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y

a) F gọi là nửa liên tục trên tại 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 nếu mọi tập mở 𝑉 ⊂ 𝑌 thỏa mãn

𝐹 𝑥 ⊂ 𝑉 tồn tại lân cận mở U của 𝑥 sao cho 𝐹 𝑥 ⊂ 𝑉, ∀𝑥 ∈ 𝑈

b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 nếu mọi V mở,𝐹 𝑥 ∩ 𝑉 ≠ ∅

đều tồn tại tập mở 𝑈 ∋ 𝑥 sao cho 𝐹 𝑥 ∩ 𝑉 ≠ ∅, ∀𝑥 ∈ 𝑈

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

c) F được gọi là liên tục tại 𝑥 ∈ 𝑋 nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm

ta thấy 𝑉 = (−𝜀, 𝜀) thỏa mãn −𝜀, 𝜀 ∩ [−2; 2] ≠ ∅ Với mọi lân cận U’ của

𝑥 = 1 ta thấy ∀x ∈ U′ nếu 𝑥 > 1 thì 𝑓 𝑥 = 1 ∩ 𝑉 = ∅

Định nghĩa 1.3.2.2 Cho X, Y là các không gian tôpô, 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ đa

trị F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong 𝑋 × 𝑌

Nếu 𝐹 𝑋 là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact

Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kì dãy

𝑥𝛼 , {𝑦𝛼}, 𝑥𝛼 ⟶ 𝑥, 𝑦𝛼 ⟶ 𝑦, 𝑦𝛼 ∈ 𝐹 𝑥𝛼 thì 𝑦 ∈ 𝐹 𝑥 Nếu F(x) là tập đóng

∀𝑥 ∈ 𝑋 thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng

Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên vả nửa liên tục dưới

Mệnh đề 1.3.2.3 Cho 𝐹: 𝐷 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ đa trị Nếu F là nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng Ngược lại, nếu F là ánh xạ đóng và Y compact thì F là nửa liên tục trên

Mệnh đề 1.3.2.4 a) Cho 𝐹: 𝐷 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới tại 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 khi và chỉ khi với bất kì 𝑦 ∈ 𝐹 𝑥 và với bất kì dãy 𝑥𝛽 ∈ 𝐷,

𝑥𝛽 ⟶ 𝑥, tồn tại dãy 𝑦𝛽

𝛽∈⋀, 𝑦𝛽 ∈ 𝐹 𝑥𝛽 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝑦𝛽 ⟶ 𝑦, trong đó ⋀ tập

các chỉ số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

b) Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở

Chứng minh: b) Giả sử 𝑦 ∈ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝑐𝑜𝐹 −1 𝑦 thì 𝑦 ∈ 𝑐𝑜 𝐹 𝑥 ,

𝑦 = 𝛼𝑖𝑦𝑖

𝑛 𝑖=1

với 0 ≤ 𝛼𝑖 ≤ 1, 𝛼𝑖

𝑛 𝑖=1

= 1, 𝑦𝑖 ∈ 𝐹 𝑦 Khi đó 𝑥 ∈ 𝐹−1 𝑦𝑖 , ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Từ 𝐹−1 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 là tập mở, ta

suy ra tồn tại lân cận U(x) của x sao cho 𝑈 𝑥 ⊆ 𝐹−1 𝑦𝑖 , ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Điều này dẫn đến 𝑦𝑖 ∈ 𝐹 𝑧 với 𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 và ∀i = 1,2, … , n Do đó,

𝑦 = 𝛼𝑖𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

∈ 𝑐𝑜𝐹 𝑧 , với 𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 nên 𝑈 𝑥 ⊆ 𝑐𝑜𝐹 −1 𝑦 Vậy 𝑐𝑜𝐹 −1 𝑦 là tập mở

Mệnh đề 1.3.2.5 ([6]) Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên

Thật vậy, lấy bất kì 𝑥 ∈ −∞, −𝑏 dẫn đến 𝑏 < −𝑥 Theo cách xác định của

b, ta suy ra tồn tại những điểm 𝑦 ∈ 𝑉sao cho 𝑏 < 𝑦 ≤ −𝑥 Vì vậy 𝑥 ∈ −∞; −𝑏 ⊆ 𝑦∈𝑉𝐹−1 𝑦 Từ kết luận này ta có −∞, −𝑏 ⊆ 𝑦∈𝑉𝐹−1 𝑦 hay 𝑦∈𝑉𝐹−1 𝑦 là tập mở Do đó F là ánh xạ nửa liên tục dưới

Ta nhắc lại, hàm vô hướng 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑅 gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới) tại 𝑥 nếu với bất kì 𝑐 > 0 đều tồn tại lân cận 𝑈 ∋ 𝑥 sao cho 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 + 𝑐 hoặc 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 − 𝑐 Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh

xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa phương với nón C

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương D, K là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y Ta

có định nghĩa:

Định nghĩa 1.3.2.7 a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại 𝑥0 ∈ 𝐷

nếu với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của 𝑥0 trong X sao

cho: 𝐹 𝑥 ⊂ 𝐹 𝑥0 + 𝑉 + 𝐶 (hoặc 𝐹 𝑥0 ⊂ 𝐹 𝑥 + 𝑉 − 𝐶), ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝐹; b) F là C - liên tục tại 𝑥0 nếu F vừa là C - liên tục trên vừa là C – liên tục

dưới tại 𝑥0 F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục trên D nếu

nó là C - liên tục trên, C - liên tục dưới hoặc C - liên tục tại mọi x thuộc D;

c) Trường hợp 𝐶 = {0} ta nói liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói {0} - liên tục trên ({0} - liên tục dưới)

Trong các kết quả của chương sau, ta chỉ sử dụng khái niệm C - liên tục trên (dưới) với C là một ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một

nón)

Định nghĩa 1.3.2.8 Cho 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌, 𝐶: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 là ánh xạ nón

F gọi là một C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại 𝑦 , 𝑥 , 𝑧 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 nếu

với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của 𝑦 , 𝑥 , 𝑧 sao cho:

Nhận xét: Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-liên tục trên và C - liên tục

dưới là một và lúc đó F được gọi là C - liên tục

Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C-liên tụctrên (dưới)

Mệnh đề 1.3.2.9 Cho 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌, 𝐶: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 là các ánh xạ đa trị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

a) Nếu C là liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, F là C-liên tục trên tại 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 𝑣ớ𝑖 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 đóng thì bất kì dãy

𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶ 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , 𝑡𝛽 ∈ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 + 𝐶 𝑦𝛽, 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ⟶ 𝑡0 kéo theo

𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kì dãy 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶

𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , 𝑡𝛽 ∈ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 + 𝐶 𝑦𝛽, 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 ⟶ 𝑡0 𝑘é𝑜 𝑡𝑕𝑒𝑜 𝑡0 ∈

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 thì F là C-liên tục trên tại 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0

b) Nếu F là ánh xạ compact và C-liên tục dưới tại 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹, thì

𝑡0 ∉ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Khi đó tồn tại lân cận lồi đóng 𝑉0 của gốc

trong Y sao cho 𝑡0 + 𝑉0 ∩ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 = ∅

2 Vì F là C - liên tục trên tại

𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 nên tồn tại lân cận U của 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 sao cho 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑧 ⊆

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 +𝑉0

4 , ∀ 𝑦, 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑈 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝐹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Từ 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶ 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , tồn tại 𝛽2 ≥ 0 sao cho 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ∈ 𝑈 và

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Ta giả sử F không là C-liên tục trên tại 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0

Khi đó, tồn tại lân cận V của gốc trong Y sao cho với bất kì lân cận 𝑈𝛽 của

𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 tồn tại 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ∈ 𝑈𝛽 sao cho 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⊈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 +

𝑉 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0

Chọn 𝑡𝛽 ∈ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 với 𝑡𝛽 ∉ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝑉 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Từ 𝐹 𝐷

là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử, 𝑡𝛽 ⟶ 𝑡0, do

𝑡𝛽 ∈ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 + 𝐶 𝑦𝛽, 𝑥𝛽 , theo giả thiết ta có 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 +

𝐶 𝑦0, 𝑥0 Mặt khác, từ 𝑡𝛽 ⟶ 𝑡0, tồn tại 𝛽0 ≥ 0 sao cho 𝑡𝛽 − 𝑡0 ∈ 𝑉, ∀𝛽 ≥

𝛽0 Điều này dẫn đến 𝑡𝛽 ∈ 𝑡0 + 𝑉 ⊆ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝑉 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 , ∀𝛽 ≥ 𝛽0,

và ta có sự mâu thuẫn

b) Giả sử F là ánh xạ compact và C - liên tục dưới tại 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹,

𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶ 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 Khi đó với bất kì lân cận V của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 sao cho

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 ⊆ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑧 + 𝑉 − 𝐶 𝑦0, 𝑥0 ∀ 𝑦, 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑈 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝐹

Từ 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶ 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , ta suy ra tồn tại 𝛽0 ≥ 0 sao cho 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ∈

𝑈, ∀𝛽 ≥ 𝛽0 Điều này dẫn đến

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 ⊆ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 + 𝑉 − 𝐶 𝑦0, 𝑥0 , ∀𝛽 ≥ 𝛽0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vì 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 nên ta có thể viết 𝑡0 = 𝑡𝛽 + 𝑣𝛽 − 𝑐𝛽, trong đó, 𝑡𝛽 ∈

Ngược lại, 𝐹 𝑦 là tập compact và với bất kì dãy 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶

𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 tồn tại dãy 𝑡𝛽 thoản mãn 𝑡𝛽 ∈

𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 và có dãy con 𝑡𝛽𝛾 sao cho 𝑡𝛽𝛾 − 𝑡0 ⟶ 𝑐 ∈ 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Ta giả sử

F không là C - liên tục dưới tại 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 Khi đó tồn tại lân cận V của gốc trong Y sao cho với bất kì lân cận 𝑈𝛽 của 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 có 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ∈ 𝑈𝛽 để

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 ⊈ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 + 𝑉 − 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Chọn 𝑡𝛽 ∈ 𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 𝑣ớ𝑖 𝑡𝛽 ∉ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝑉 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Do

𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

𝑡𝛽 ⟶ 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 , do đó 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Giả sử

𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 ⟶ 𝑦0, 𝑥0, 𝑧0 Từ đây suy ra tồn tại dãy 𝑡′𝛽 sao cho 𝑡′𝛽 ∈

𝐹 𝑦𝛽, 𝑥𝛽, 𝑧𝛽 và có dãy con 𝑡′𝛽𝛾 thỏa mãn 𝑡′𝛽𝛾 − 𝑡0 ⟶ 𝑐 ∈ 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Giả

sử 𝑡′𝛽 ⟶ 𝑡∗ ∈ 𝑡0 + 𝐶 𝑦0, 𝑥0 Khi đó ta tìm được 𝛽1 ≥ 0 sao cho 𝑡𝛽 ∈ 𝑡0 +

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Cho 𝐹, 𝐶: 𝐷 ⟶ 2𝑌 là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón Sau đây ta trình bày khái niệm C-hemi liên tục trên (dưới)

Định nghĩa 1.3.2.10 a) F được gọi là C-hemi liên tục trên nếu ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 thoả

c) F được gọi là C-hemi liên tục trên (dưới) nếu ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 ánh xạ 𝑓: 0; 1 ⟶ 2𝑌

định nghĩa bởi 𝑓 𝛼 = 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 là nửa liên tục trên (dưới)

Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị C-hemi liên tục trên và

được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong chương 2

Mệnh đề 1.3.2.11 Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác

rỗng Nếu với bất kì 𝑥 ∈ 𝐷, hoặc F(x), hoặc C(x) là tập compact thì F là

C-hemi liên tục trên

Chứng minh: Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 cố định, định ngĩa các ánh xạ 𝑓, 𝑐 ∶ 0; 1 ⟶

2𝑌 bởi 𝑓 𝛼 = 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 và 𝑐 𝛼 = 𝐶 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 , 𝛼 ∈ 0; 1

Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0 Với V

là lân cận bất kì của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong [0;1] sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

sử 𝑣𝛽 ⟶ 0 khi 𝛽 ⟶ 0 Từ 𝛼𝛽 ∈ 𝐹 𝑦 và F(y) là tập compact, không mất tính

tổng quát, ta có thể giả thiết rằng 𝛼𝛽 ⟶ 𝛼 ∈ 𝐹 𝑦 khi 𝛽 ⟶ 0 Vì vậy, 𝑏𝛽cũng hội tụ đến 𝛼 Mặt khác, C(y) đóng nên 𝛼 ∈ 𝐶(𝑦) Ta suy ra 𝛼 ∈ 𝐹 𝑦 ∩

𝐶 𝑦 hay 𝐹 𝑦 ∩ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ Nếu C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng

có 𝐹 𝑦 ∩ 𝐶 𝑦 ≠ ∅ Vậy F là C -hemi liên tục trên

1.3.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị

Trong mục này chúng ta chính bày tính lồi, lõm, tựa giống như lồi của ánh xạ đa trị Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi của hàm vectơ

Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, 𝐷 ⊂ 𝑋 là tập lồi và C là nón trong Y Hàm vectơ 𝑓: 𝐷 ⟶ 𝑌 được gọi là C –lồi trên D nếu ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷, 𝛼 ∈ 0; 1 ta luôn có

𝑓 𝛼𝑥1 + 1 − 𝛼 𝑥2 ∈ 𝛼𝑓 𝑥1 + 1 − 𝛼 𝑓 𝑥2 − 𝐶

f được gọi là C – lõm nếu –f là C – lồi trên D Trong trường hợp 𝑌 = 𝑅, 𝐶 =

𝑅+, định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theo nghĩa thông

thường

Định nghĩa 1.3.3.1 Cho ánh xạ 𝐹: 𝑋 ⟶ 2𝑌, 𝐶 là nón lồi trong 𝑌

a) F được gọi là C – lồi trên ( hoặc C – lồi dưới) nếu

𝛼𝐹 𝑥 + 1 − 𝛼 𝐹 𝑦 ⊂ 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 + 𝐶 hoặc 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 ⊂ 𝛼𝐹 𝑥 + 1 − 𝛼 𝐹 𝑦 − 𝐶 ,

với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 và 𝛼 ∈ [0; 1]

b) F được gọi là C – lõm trên ( hoặc C – lõm dưới) nếu

𝛼𝐹 𝑥 + 1 − 𝛼 𝐹 𝑦 ⊂ 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 − 𝐶 hoặc 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 ⊂ 𝛼𝐹 𝑥 + 1 − 𝛼 𝐹 𝑦 + 𝐶 ,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 và 𝛼 ∈ [0; 1]

Chú ý a) Nếu 𝐶 = 0 thì {0} – lồi trên và {0} – lõm trên của F đồng nhất

với nhau và F được gọi là dưới tuyến tính

b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì C – lồi trên và C – lồi dưới (C –

lõm trên và C – lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C – lồi ( hoặc C – lõm)

Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là lồi hoặc lõm Ngoài các khái niệm trên ta còn sử dụng các khái niệm sau đây:

Định nghĩa 1.3.3.2 Cho F là ánh xạ đa trị từ 𝐷 ⊂ 𝑋 vào 2𝑌, 𝑌 là không gian

tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C

(i) F được gọi là C – tựa giống như lồi trên trên D nếu với bất kì

Các khái niệm C – lồi trên (dưới) hay C – tựa giống như lồi trên (dưới) là

dạng tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị Ferro

đã đưa ra ví dụ chỉ rằng, ánh xạ đa trị C – lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ

C – tựa giống như lồi trên (dưới) và hiển nhiên có chiều ngược lại ngay cả

trường hợp đơn trị

1.3.4 Tính KKM

Định nghĩa 1.3.4.1 Ánh xạ đa trị 𝐹: 𝐷 ⟶ 2𝑋 được gọi là KKM nếu với bất kì

tập hữu hạn 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊂ 𝐷 dẫn đến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Định nghĩa 1.3.4.4 Cho R là quan hệ hai ngôi trên 𝐾 × 𝐷 Chúng ta nói rằng,

R là đóng nếu với bất kì dãy suy rộng 𝑦𝛼, 𝑥𝛼 ⟶ 𝑦, 𝑥 và 𝑅 𝑦𝛼, 𝑥𝛼 xảy ra với mọi 𝛼 thì 𝑅 𝑦, 𝑥 xảy ra

Định nghĩa 1.3.4.5 Cho R là quan hệ trên 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 Chúng ta nói rằng R là

Q – KKM nếu với bất kì tập hữu hạn 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊂ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛

có 𝑡𝑗 ∈ 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 sao cho 𝑅 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 xảy ra ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗

1.4 Điểm bất động của ánh xạ đa trị

Năm 1912, Brouwer đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh

xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình K  R n vào chính nó có điểm bất động

Sau đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi compact khác rỗng trong R n Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ nửa liên tục trên Đến năm 1967, Ky Fan đã chứng minh định lý điểm bất động

với K nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương

Năm 1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng

minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là bổ đề KKM bằng phương

pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Browder Năm 1961, Fan đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển trong không gian

véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Fan theo một dạng khác đó là định lý điểm bất động

và ngày nay người ta thường gọi định lý đó là định lý điểm bất động Browder

Fan-Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các định lý Ky Fan,

Fan-Browder, bổ đề KKM và chúng được xem như là công cụ hữu hiệu để

chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối ưu Trong phần này chỉ giới thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở các chương sau Trước khi trình bày các định lý điểm bất động, ta giới thiệu một số khái niệm sau

Định nghĩa 1.4.1 Cho X, Y là các không gian tôpô, K là một tập con lồi khác

rỗng trong X, ánh xạ 𝐹: 𝐾 ⟶ 2𝑌

F gọi là compact nếu imF được chứa trong một tập compact của Y

F được gọi là acyclic nếu nó là nửa liên tục trên và có giá trị compact acyclic

khác rỗng, nghĩa là F nửa liên tục trên và mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹 𝑥 là tập compact acyclic khác rỗng

Một không gian tôpô được gọi là acyclic nếu tất cả các nhóm đồng điều

Cech rút gọn của nó trên trường hữu tỉ đều triệt tiêu Vì vậy các không gian co

rút được đều là acyclic, các tập lồi, các tập hình sao là các tập acyclic

K được gọi là một tập chấp nhận được nếu mọi tập con compact B của K,

mọi lân cận V của gốc trong X đều tồn tại ánh xạ liên tục 𝑕: 𝐵 ⟶ 𝐾 sao cho

𝑥 − 𝑕 𝑥 ∈ 𝑉, ∀𝑥 ∈ 𝐵 và 𝑕 𝐵 được chứa trong không gian con hữu hạn

chiều của X Dễ thấy rằng, một tập compact là một tập chấp nhận được

Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của KyFan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Định lý 1.4.2 (Định lý điểm bất động S.Park) Cho X là không gian tôpô

tuyến tính lồi địa phương, 𝐾 ⊂ 𝑋 là một tập con lồi, compact 𝐹: 𝐾 ⟶ 2𝐾 là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó tồn tại

𝑥 ∈ 𝐾 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥

Định lý 1.4.3 (Fan – Browder, 1968) Cho X là một không gian véctơ tôpô

𝐾 ⊂ 𝑋 là một tập con lồi, khác rỗng, compact 𝐹: 𝐾 ⟶ 2𝐾 là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:

a) ∀𝑥 ∈ 𝐾, 𝐹 𝑥 𝑙à 𝑡ậ𝑝 𝑙ồ𝑖;

b) ∀𝑦 ∈ 𝐾, 𝐹−1 𝑦 là tập mở trong K

Khi đó tồn tại điểm 𝑥 ∈ 𝐾 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝑥 ∈ 𝐹 𝑥

Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan – Browder

Định lý 1.4.4 Cho X là một không gian véctơ tôpô, 𝐾 ⊂ 𝑋 là một tập con lồi,

khác rỗng, compact. 𝐹: 𝐾 ⟶ 2𝐾 là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện: a) ∀𝑥 ∈ 𝐾, 𝑥 ∉ 𝐹 𝑥 𝑣à 𝐹 𝑥 𝑙à 𝑡ậ𝑝 𝑙ồ𝑖;

b) ∀𝑦 ∈ 𝐾, 𝐹−1 𝑦 là tập mở trong K;

Khi đó tồn tại điểm 𝑥 ∈ 𝐾 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝐹 𝑥 = ∅

Một ánh xạ 𝐹: 𝐷 ⟶ 2𝑋 được gọi là ánh xạ KKM nếu với bất kì tập

𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊂ 𝐷 luôn có 𝑐𝑜 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊆ 𝑛 𝐻 𝑡𝑗

𝑗 =1 Ngoài khái niệm

trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này vào một tập khác

Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau (xem [4])

Định nghĩa 1.4.5 Cho X, Z là các không gian tôpô 𝐷 ⊆ 𝑋, 𝐾 ⊆ 𝑍, 𝐹: 𝐾 × 𝐷 ×

𝐷 ⟶ 2𝑋, 𝑄: 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝐾 là các ánh xạ đa trị F được gọi là Q – KKM nếu

với bất kì tập hữu hạn 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊂ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 tồn tại chỉ

số 𝑗 ∈ 1, 2, , 𝑛 sao cho 0 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑗

Định nghĩa 1.4.6 Cho X, Z, W là các không gian tôpô 𝐷 ⊆ 𝑋, 𝐾 ⊆ 𝑍, 𝐸 ⊆

𝑊 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐸 ⟶ 2𝑋, 𝑄: 𝐷 × 𝐸 ⟶ 2𝐾 là các ánh xạ đa trị F được gọi là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Q– KKM suy rộng nếu với bất kì tập hữu hạn 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ⊂ 𝐸 tồn tại tập hữu hạn 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ⊆ 𝐷 sao cho với bất kì 𝑥 ∈ 𝑐𝑜 𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑘 tồn tại

𝑡𝑖𝑗 ∈ 𝑡𝑖1, 𝑡𝑖2, … , 𝑡𝑖𝑘 thỏa mãn 0 ∈ 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖𝑗 , ∀𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑡𝑖𝑗

Định lý 1.4.7 (Bổ đề Fan – KKM) Giả sử D là một tập con lồi khác rỗng

trong không gian véctơ tôpô X, 𝐹: 𝐷 ⟶ 2𝑋 là ánh xạ KKM Nếu với mỗi

𝑥 ∈ 𝐷, 𝐹 𝑥 là tập đóng, đồng thời có ít nhất một điểm 𝑥′ ∈ 𝐷, 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝐹 𝑥′

là tập compact thì 𝑥∈𝐷𝐹 𝑥 ≠ ∅

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II

2.1 Đặt vấn đề

Xét bài toán tối ưu qua các cấp lãnh đạo sau: Tập đoàn kinh tế chuyên sản xuất hàng tiêu dùng hoạt động theo mô hình công ty mẹ, công ty con Xét

công ty con A có tập phương án sản xuất D Với mỗi phương án sản xuất

𝑥 ∈ 𝐷, công ty con A có tập chỉ đạo là S1 (x), công ty mẹ có tập chỉ đạo S 2 (x)

Mục tiêu sản xuất được biểu diễn qua ánh xạ F Trong quá trình sản xuất công

ty con phải chịu các loại thuế Q Mục đích của A là tìm một phương án sản

xuất 𝑥 của chỉ đạo S1 𝑥 phù hợp với các tiêu chí của lãnh đạo công ty mẹ

𝑆2 𝑥 sao cho sau khi trừ các loại thuế Q sản xuất vẫn có lãi và luôn ổn định

Tức là đạt được mục tiêu đề ra Bài toán này thường gặp rất nhiều trong thực

tế, ta có thể biểu diễn qua mô hình toán học như sau:

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff ,

𝐷 ⊂ 𝑋, 𝐾 ⊂ 𝑍 là tập con khác rỗng Giả sử 𝑆: 𝐷 × 𝐾 ⟶ 2𝐷, 𝑇: 𝐷 × 𝐾 ⟶

2𝐾, 𝑃1: 𝐷 ⟶ 2𝐷, 𝑃2: 𝐷 ⟶ 2𝐷, 𝑄: 𝐾 × 𝐷 ⟶ 2𝑍 và 𝐹: 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 ⟶ 2𝑌 là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Ta xét bài toán: tìm 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho