Hàm R lồi và ứng dụng

Vì vậy Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng toán học vào các bài toán tối ưu trong thực tế.. Tuy nhiên, các bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: HÀM r-LỒI 3

1.1 Một số khái niệm hàm lồi và hàm r-lồi 3

1.2 Tính chất của hàm r-lồi 12

1.3 Tính khả vi của hàm r-lồi 17

1.4 Quan hệ với hàm lồi suy rộng khác 20

CHƯƠNG 2: TỐI ƯU VỚI HÀM MỤC TIÊU r-LỒI 25

2.1 Bài toán tối ưu 25

2.2 Điều kiện tối ưu đối với bài toán có ràng buộc 31

2.3 Điều kiện tối ưu và thuật toán giải bài toán tối ưu r-lồi 36

2.4 Ví dụ về tối ưu hàm r-lồi phi tuyến 45

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

Stt Tƣ̀ viết tắt Nội dung

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích lồi với hai khái niệm cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã phát triển mạnh mẽ và cơ bản định hình trong những năm 70 của thế kỉ trước Hàm lồi là mở rộng của hàm tuyến tính và do đó nó cho phép nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu lồi , rộng hơn nhiều so với lớp bài toán tối ưu tuyến tính Vì vậy Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng toán học vào các bài toán tối ưu trong thực tế

Tuy nhiên, các bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là lồi Vì vậy, cần mở rộng khái niệm hàm lồi Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar là những người có đóng góp lớn trong nghiên cứu các lớp hàm lồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi, )

Avriel (1973) đã đưa ra một lớp hàm rlồi, là sự mở rộng của lớp hàm lồi và có một số tính chất tốt khi áp dụng cho bài toán tối ưu

Luận văn Hàm rlồi và ứng dụng có mục đích trình bày nội dung hai

bài báo của Avriel về hàm lồi và ứng dụng của nó trong tối ưu Luận văn gồm hai chương

Chương 1 “Hàm rlồi” trình bày các tính chất cơ bản của hàm

rlồi Các tính chất của hàm rlồi (khả vi hay không khả vi) cho thấy mối

quan hệ thú vị giữa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng với lớp hàm rlồi

Chương 2 “Tối ưu với hàm mục tiêu rlồi” trình bày ứng dụng của

hàm rlồi trong bài toán tối ưu với các hàm mục tiêu và hàm tham gia trong

hạn chế là các hàm rlồi Trình bày thuật toán và ví dụ giải bài toán tối ưu

với hàm rlồi

Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắ n không

tránh khỏi có những sai sót nhất định Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy h ướng dẫn, PGS-TS

Tạ Duy Phượng đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Khoa Toán và Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên , các thầy,

cô ở Viện Toán họ c đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại trường

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Tổ Toán - Tin và các thầy cô giáo Trường THPT Lương Ngọc Quyến , nơi tác giả công tác , đã tạo những điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập

Tác giả cũng xin bày tỏ sự quý mến và lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ , gia đình và người thân đã luôn khuyến khích , động vi ên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

HÀM r -LỒI

Chương này nhắc lại vắn tắt một số kiến thức cơ bản , cần thiết của giải

tích lồi (tập lồi , hàm lồi ), trình bày khái niệm hàm r-lồi, tính chất của hàm

r-lồi, tính khả vi của hàm r-lồi và quan hệ với hàm lồi suy rộng khác nhằm

phục vụ cho việc tìm hiểu và nghiên cứu các bài toán tối ưu Khái niệm hàm

r-lồi do M Avriel đưa ra năm 1972-1973 (xem [3] và [4])

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÀM LỒI VÀ HÀM r-LỒI

1.1.1 Tập lồi

S  được gọi là tập lồi nếu S chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của

 1

f x

)

 2

f x

)

(1 )

f x   x

x

   

 1

f x

 2

f x

 

f x

x

 

f x

   

(1 )

f x   x

Định nghĩa 1.3 Cho f là hàm xác định trên tập lồi S  f được gọi là n, hàm tựa lồi trên S nếu 1 2 , , x x S   1 2 1 2 2   ( ) ( ) ( (1 ) ) ( ) 0,1 f x  f x  f x   x  f x   tức là

1 2

x x S

f x   x  f x f x  

Hình 1.1: Hàm lồi

(1 )

   

1

Hình 1.2: Hàm lõm

(1 )

   

1

x x 2

Hàm f được gọi là hàm tựa lõm trên S nếu - f là tựa lồi trên S tức là nếu

Định nghĩa 1.4 Hàm f xác định trên một tập lồi Sn được gọi là hàm

tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) trên S nếu với mọi 1 2

khái niệm hàm r-lồi do M Avriel đưa ra (xem [3]) Lớp hàm r-lồi khá rộng ,

nó là mở rộng tự nhiên của lớp hàm lồi và chứa lớp hàm lồi như một trường hợp đặc biệt

Ta đã biết là hàm f xác định trên một tập lồi Sn được gọi là hàm lồi

trên S nếu

f(x1 (1 )x2)f x( ) (11  ) (f x2) x x1, 2S,  0,1 (1.1) Nói cách khác , giá trị của hàm số tại điểm x:x1 (1 )x2 là tổ hợp của 1

x và x với các trọng số 2  và (1), 1 2

Khái niệm r-lồi mở rộ ng bất đẳng thức (1.1) bằng cách thay vế phải của

(1.1) bằng một trọng số tổng quát hơn của giá trị hàm số tại x và 1 x Điều 2

này cho phép chúng ta xét một lớp các hàm rộng hơn là lớp hàm lồi mà nó vẫn còn giữ được nhiều tính chất của hàm lồi (trên quan điểm áp dụng vào bài qui hoạch toán học)

Có rất nhiều mở rộng khác của hàm lồi , chủ yếu là với mục đích ứng dụng trong qui hoạ ch toán học (xem [3], [4]) Trong luận văn này cũng sẽ

trình bày một số quan hệ giữa r-lồi và các dạng mở rộng khác của hàm lồi

Hàm r-lồi (r-convex function)

Giả sử wm là véc tơ m chiều các thành phần dương và qm, q i

(i1,m) là các số không âm sao cho

1

,

1, 1,

m i i

m q i i

Định nghĩa 1.6 Hàm thực f xác định trên một tập lồi Cn được gọi là

hàm r-lồi (r-convex function) nếu với mọi x1C x, 2C ta có

Định nghĩa 1.7 Hàm thực f xác định trên một tập lồi C n được gọi là

hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọi x1C x, 2C ta có

 Nếu r0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi trên (superconvex)

 Nếu r 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm trên (superconcave)

 Nếu r 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi dưới (subconvex)

 Nếu r0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm dưới (subconcave)

Ví dụ 1.1 Xét hàm logx , x0 là hàm lõm do đó, logx là hàm 0-lõm Theo

Định nghĩa 1.6 thì logxcũng là 1-lồi và 1-lõm

Do đó, nó vừa là hàm lồi trên vừa là hàm lồi dưới

Định nghĩa 1.8 Trọng số trung bình r của m véc tơ dương 1 2

w w w  được định nghĩa là:

( , , m; ) ( ( , , m; ), , ( , , m; ))

M w w q  M w w q M w w q

Định nghĩa 1.9 Tập con n

X  được gọi là tập r-lồi nếu với mọi

Tập r-lồi có minh họa hình học đơn giản là với hai điểm bất kỳ thuộc tập r-lồi

thì đường cong xác định bởi (1.2) sẽ chứa trong tập đó

Tập 0-lồi là tập lồi

Định nghĩa của hàm r-lồi có thể mở rộng hơn trên tập r-lồi

Định nghĩa 1.10 Hàm thực  xác định trên tập p-lồi n

X  được gọi là

(p,r)-lồi nếu với mỗi 1 2

X  được gọi là (p, r)-lồi nếu



Ở đây epigraph của hàm  được định nghĩa là

Định nghĩa 1.12 Hàm thực dương f xác định trên một tập lồi Cnđược

gọi là hàm r +

-lồi (r + -convex) nếu với mỗi x1, x2C và q ta có

Nhận xét 1.3 Nếu hàm f xác định trên một tập lồi Cn là hàm 1 + -lồi thì

f là hàm lồi

Nhận xét 1.4 Hàm f xác định trên một tập lồi Cn là hàm r-lồi khi và chỉ

khi exp( )f là hàm r-lồi (rconvex ) với cùng r

Với r 0 : f là hàm r-lồi

Luận văn này chủ yếu nghiên cứu hàm r-lồi, từ các kết quả đối với hàm

r-lồi có thể biến đổi để có các kết quả tương tự đối với hàm r-lồi

Có thể nhận được quan hệ sắp thứ tự của các hàm r-lồi dựa trên quan hệ

đã biết của trọng số trung bình của các số dương (xem [3])

Bổ đề 1.1 Cho r s,  và w1, ,w là các số dương m

Nếu sr thì

với mọi giá trị của các trọng số q1, ,q m

Định lý 1.1 (Định lý xếp thứ tự) Nếu f là hàm r -lồi (r-lõm) thì f cũng là

hàm s-lồi (s-lõm) với mọi sr s r.

Vậy f là hàm s-lồi

Chứng minh với f là hàm r-lõm làm tương tự

Tương ứng với các thuật ngữ, ta có nhận xét dưới đây

Nhận xét 1.5 Hàm f là hàm lồi trên thì f là hàm lồi, điều ngược lại không

đúng

Xét các trường hợp tới hạn của hàm r-lồi (nghĩa là r   và r )

Ta biết rằng (xem [3])

Theo định nghĩa ở trên, f là ()-lồi trên C tương đương với f là tựa lồi

Tương tự, ta cũng có thể định nghĩa hàm  lõm như sau

Định nghĩa này tương ứng với f là tựa lõm

Nhận xét 1.7 Hàm   -lồi trên C  f x( )c, c là hằng số

Như vậy, hàm hằng là rlồi với mọi r   , .

Ta có định lý sau

Định lý 1.2 Mọi hàm r-lồi (r-lõm) xác định trên tập lồi C cũng là hàm tựa lồi

(tựa lõm) trên C

Như vậy, khái niệm rlồi và tính chất sắp thứ tự dẫn tới khái niệm tựa lồi và tựa lõm một cách tự nhiên

Ta biết rằng có những hàm tựa lồi mà không phải là lồi Tương tự có những

hàm tựa lồi nhưng không là hàm rlồi với mọi r

Ví dụ 1.2 Xét hàm tựa lồi f xác định trên  cho bởi ( ) 1 2

Như vậy, f là tựa lồi nhưng không phải là rlồi với mọi r Mặt khác,

có những hàm tựa lồi không là hàm lồi nhưng có thể là lồi dưới với một vài 0

r nào đó, ví dụ, hàm log x Câu hỏi về sự tồn tại của một r0 nào đó sao

cho hàm tựa lồi là rlồi sẽ được xem xét trong mục 1.4

1.2 TÍNH CHẤT CỦA HÀM r-LỒI

Một đặc trưng đơn giản của hàm rlồi có thể nhận được từ khái niệm lồi

bình thường Định lí dưới đây cho phép chuyển các hàm rlồi và rlõm về các hàm lồi và hàm lõm

Định lý 1.3 Cho  là hàm thực trên tập lồi C và hàm n ˆ xác định bởi

Ngược lại, giả sử ˆe r là hàm lồi trên C thỏa mãn

Nếu r0, chứng minh tương tự được  là hàm r-lõm

Nhiều tính chất đại số và hình học của hàm lồi vẫn đúng hoặc có thể tổng

quát hóa cho hàm r-lồi Dưới đây là một vài kết quả

Ta biết rằng f là hàm lồi khi và chỉ khi  f là hàm lõm Định lý dưới đây tổng quát hóa kết quả này

Định lý 1.4 Hàm  là hàm r-lồi khi và chỉ khi () là hàm (-r)-lõm

Chứng minh

Với r0 và  là 0-lồi khi và chỉ khi () là hàm 0-lõm

Giả sử r0 và  là hàm r-lồi

Chiều ngược lại chứng minh tương tự

Định lý 1.5 Nếu hàm  là hàm r-lồi (r-lõm) và *

Chƣ́ng minh

i) Với r 0, theo tính chất của hàm lồi ta có ngay kết quả trên

Giả sử r 0,  là hàm r-lồi Theo Định lý 1.3 thì r ( )x

e là hàm lồi

r r x r r x

e e  e  e   e    cũng là hàm lồi

Nên   là hàm r-lồi

Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự

ii) Với r 0, theo tính chất của hàm lồi ta có ngay kết quả trên

Giả sử r 0,  là hàm r-lồi và *

Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự

Định lý 1.6 Cho  , là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồi n

C  và giả sử

1, 2

  là các số dương Khi đó , hàm  xác định bởi

1 ( ) ( )

Chƣ́ng minh

Với r 0, theo tính chất của hàm lồi ta có ngay kết quả trên

Với r 0, do ,   là hàm r-lồi nên theo Định lý 1.3 ta có r ( )x

e và r ( )x

e là hàm lồi

e là hàm lồi nên  là hàm r-lồi

Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự

Định lý 1.7 Cho  là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồi n

Chứng minh tương tự cho trường hợp  là hàm s-lõm

Định lý dưới đây cho phép nhiều khi đơn giản hóa chứng minh các định lý liên quan đến các hàm lồi suy rộng

Định lý 1.8  là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập lồi n

C  khi và chỉ khi với mọi

1.3 TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM r-LỒI

Trong trường hợp hàm khả vi thì định nghĩa hàm r-lồi có thể đơn giản hơn

Định lý 1.9 Cho  là hàm khả vi trên tập lồi n

Như đã thấy ở phần t rên, tính rlồi của mỗi hàm  trên tập lồi C

tương đương với tính rlồi của hàm  hạn chế trên mọi đoạn thẳng

chứa trong C Định lý dư ới đây xét trường hợp một chiều với mục đích mở rộng cho n chiều

Định lý 1.11 Cho  là hàm thực khả vi liên tục hai lần trên khoảng mở (a,b),

', "

  lần lượt là đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm 

Khi đó,  là hàm r-lồi khi và chỉ khi

 là hàm lồi trên (a,b)

Theo Định lý 1.3 khi và chỉ khi  là hàm r-lồi

Với r 0, chứng minh tương tự

Định lý 1.12 Cho  là hàm thực khả vi liên tục hai lần trên khoảng mở (a,b), ', "

  lần lượt là đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm 

Khi đó,  là hàm r-lõm khi và chỉ khi

Ma trận A gọi là xác định dương nếu x Ax, 0,  x 0.

Ta biết định lý sau đây đối với hàm lồi

Định lý 1.13 Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở n

Nhưng điều này cũng chính là ma trận nửa xác định dương

Chứng minh với  là hàm r-lõm làm tương tự

1.4 QUAN HỆ VỚI HÀM LỒI SUY RỘNG KHÁC

Khái niệm giả lồi là một khái ni ệm thường xuyên được sử dụng trong lý thuyết quy hoạch toán học , cũng là một mở rộng của hàm lồi Ta đã chỉ ra

rằng, khái niệm rlồi là mở rộng tự nhiên của tựa lồi Định lý 1.1 (Định lý

xếp thứ tự) và các trường hợp tới hạn của hàm rlồi ( rlõm) khi r tiến đến

 

  chỉ ra rằng mọi hàm rlồi ( r lõm) cũng là hàm tựa lồi (tựa lõm)

Định nghĩa 1.16 Hàm thực  khả vi được gọi hàm giả lồi (pseudo convex)

Với r0 và hàm r-lồi cũng là hàm s-lồi với mỗi s0 và theo lí luận trên nên nó là giả lồi.

Tương tự chứng minh hàm  giả lõm

Ta đã chỉ ra rằng một hàm rlồi là tựa lồi và khi nó là khả vi thì nó là giả lồi Bây giờ ta quan tâm đến câu hỏi ngược lại : Cho hàm tựa lồi , hỏi với điều

kiện gì thì tồn tại một số r hữu hạn sao cho nó là hàm r lồi Đối với hàm hai lần khả vi   ( )x , Fenchel đã đặt câu hỏi : F( ) hai lần khả vi tăng chặt thì

f x  F  x là lồi Ta sẽ chỉ ra rằng thự c chất bài toán ở đây cũng mở rộng nhưng đòi hỏi điều kiện  là hàm r-lồi Bổ đề sau rất có ích cho những

tính chất tiếp theo

Bộ đề 1.2 Cho  là hàm tựa lồi (tựa lõm) khả vi liên tục hai lần trên tập mở

z  x z với một số z  n.

Không mất tính tổng quát ta giả thiết z 1

Do tính liên tục,   0 sao cho 2 0

   (1.3) Giả sử xˆ  x0 ( z), lý luận tương tự

0ˆ

Tương tự chứng minh với  là hàm tựa lõm

Hệ quả 1.1 Cho  là hàm tựa lồi (tựa lõm) khả vi liên tục hai lần trên tập mở

Kết quả chính của phần này là định lý sau

Định lý 1.16 Cho  là hàm tựa lồi khả vi liên tục hai lần trên tập mở

( )sup

( )

T T

x C z

( )( )

T T

( )sup

( )

T T

T T

( )inf