CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC ppt

Định nghĩa: Cho tập hợp A, ta nói A được trang bị một phép toán đại số *, nếu với mọi cặp phần tử x, y A2 ta cho tương ứng với một phần tử duy nhất của A, ký hiệu x*y... thông thường là

CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

1.1 Các phép toán đại số

1.1.1 Định nghĩa:

Cho tập hợp A, ta nói A được trang bị một phép toán đại số (*), nếu với mọi cặp phần tử (x, y) A2 ta cho tương ứng với một phần tử duy nhất của A, ký hiệu x*y

Ví dụ:

(1) Cho E là một tập hợp bất kỳ, gọi P(E) là một tập hợp tất cả các tập

hợp con của E, khi đó P(E) được trang bị với phép toán đại số ( ) và ( )

(2) Tập các số thực R được trang bị các phép toán (+) và (.) thông thường

1.1.2 Chú ý:

Nếu E được trang bị phép toán (*) và a, b, c E thì

a = b =>

Ngược lại a*c = b*c chưa chắc suy ra a = b

Ví dụ: 2*0 = 3*0 nhưng 2 3

1.2.1 Định nghĩa:

Cho tập hợp K gồm không ít hơn hai phần tử Giả sử K được trang bị 2 phép toán đại số là (+) và nhân (.) Khi đó K được gọi là một trường nếu những điều kiện sau đây được thoả:

(i) a + b = b + a, a, b K (Tính giao hoán đối với phép toán cộng)

(ii) (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c K (tính kết hợp đối với phép toán cộng)

(iii) Tồn tại phần tử không thuộc K, ký hiệu 0, sao cho với mọi a K, a + 0

= a

(iv) a K, tồn tại phần tử đối của a, ký hiệu là –a, sao cho a + (-a) = 0 (v) ab = ba, a, b K (tính giao hoán đối với phép toán nhân)

(vi) (ab)c = a(bc), a, b, c K (tính kết hợp đối với phép toàn nhân)

(vii) Tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu là 1, sao cho a K, a.1 = a

(viii) 0 a K, tồn tại phần tử nghịch đảo, ký hiệu a-1, sao cho a.a-1 = a-1.a = 1

(iv) (a + b)c = ac + bc, a, b, c K (tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

Ví dụ:

(1) Tập hợp Q, R đối với các phép toán (+) và (.) thông thường là một trường

(2) Tập hợp Z các số nguyên với các phép toán (+) và (.) thông thường không phải là một trường (không tồn tại phần tử a-1)

1.3 Định nghĩa trường số phức

Xét tập hợp

R2 = RxR = {(a, b) /a, b R}

Ta định nghĩa các phép toán đại số như sau:

(i) phép cộng (+): (a, b), (c, d) R2

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(ii) phép nhân (.): (a, b),(c, d) R2

(a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

1.3.1 Định nghĩa:

Trường R2 với các phép toán đại số (+) và nhân (.) được trang bị ở trên gọi là trường các số phức và ký hiệu là C

Cho 2 số phức = (a, b) và = (c, d) (0, 0) có phần tử nghịch đảo là

Ta có thể định nghĩa phép chia số phức như sau:

= -1 = ( )

Phần tử đơn vị (1,0) = 1

i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1

1.3.2 Định lý:

Mỗi số phức = (a, b) được viết một cách duy nhất dưới dạng = a + bi với a, b R,

a là phần thực, b là phần ảo

Cách viết = a + bi gọi là dạng đại số của phức