Giả sử xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với là các hằng số tùy ý Cả 2 bài toán tổng quát vừa nêu, thực chất phương pháp chứng minh không khác là mấy so với các v
Trang 1
Sáng Tạo Bất Đẳng Thức
Trang 801.8 Phương pháp cân bằng hệ số 77
Ví dụ 1.8.5 Giả sử các số thực x, y, z, t thỏa mãn xy + yz + zt + tz = 1, tìm giá trị nhỏ nhất
của
LỜI GIẢI Chọn số dương , áp dụng bất đẳng thức AM - GM
Do đó, sau khi cộng vế cả 4 bất đẳng thức trên lại
Như vậy ta phải chọn sao cho hay Vậy
Bài toán tổng quát của ví dụ trên là
Ví dụ 1.8.6 Với các số thực tùy ý x, y, z, t thì
Còn với 2 ví dụ đầu tiên, bài toán tổng quát đặt ra là
Ví dụ 1.8.7 Giả sử xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với là
các hằng số tùy ý
Cả 2 bài toán tổng quát vừa nêu, thực chất phương pháp chứng minh không khác là mấy so
với các ví dụ ban đầu Chỉ riêng đối với ví dụ 1.8.6, kết quả không tường minh được vì nó
còn liên quan tới nghiệm của một phương trình bậc 3 Bài toán này đã được bàn trên báo
Toán học và Tuổi trẻ
Ví dụ 1.8.8 Giả sử các số thực dương x, y, z có tổng bằng 3 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
Trang 821.8 Phương pháp cân bằng hệ số 79
Giả sử m, n, p, q, m1, n1, p1 là các số dương tùy ý và m + n + p = am1 + bn1 + cp1 = 1
Cần chọn sử m, n, p, q, m1, n1, p1 sao cho am1 + 2m = bn1 + 2n = cp1 + 2p = 1 Ngoài ra theo
Bằng tính toán đơn giản ta thấy giá trị trên đúng bằng
Bài toán trên là bài toán đặc trưng cho kĩ thuật này Ta chưa biết trước số được xây dựng
như thế nào và nó đã xuất hiện bắt buộc trong quá trình chứng minh
Kết thúc cho phần này, các bạn hãy thử sức với các bài toán sau đây
Trang 841.8 Phương pháp cân bằng hệ số 81
Ví dụ 1.8.13 Chứng minh rằng với mọi dãy số dương ta luôn có
LỜI GIẢI Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
Cố định các số và cho chạy từ rồi lấy tổng
Trong đó
Ta có thể chọn , khi đó
Biểu thức trong dấu ngoặc bằng
Do đó Bất đẳng thức được chứng kminh xong
Ngoài ra 4 là số tốt nhất cho bấtđẳng thức trên, ta không thể thay thế bằng một số hằng số
Trang 861.9 Đạo hàm và ứng dụng 83
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong
Để kết thúc cho phần này, các bạn tự chứng minh các bất đẳng thức sau đây
Ví dụ 1.8.15 Chứng minh rằng với mọi dãy số dương ta có
1.9 Đạo hàm và ứng dụng
1.9.1 Kiến thức lí thuyết
Đây là một phần dành riêng cho học sinh THPT Đạo hàm là một phần kến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như bất đẳng thức Nó thực sự là một
công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộn rãi, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhât khi ta
gặp phải các bài bất đẳng thức thông thường Việc lắm chắc lí thuyết là vô cùng cần thiết
trước khi bạn có thể vận dụng thành thạo nó Sau đây là một số kiến thức cơ bản
Định nghĩa 1 (Định nghĩa đạo hàm một biến) Giả sử Ta nói là đạo
hàm tại điểm nếu tồn tại giới hạn (có thể vô hạn)
Khi đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại Nếu hữu hạn ta nói khả vi
tại Nếu khả f vi tại mọi điểm thì ta nói khả vi trên
Định nghĩa 2 (Định nghĩa cực trị hàm một biến) Hàm đạt cực đại (tiểu) địa phương tại
nếu tồn tại một lần cận N của sao cho Hàm
đạt cực trị địa phương tại nếu tại đó đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương
Định lí 1.11 (Định lý Fermat) Giả sử xác định trêm [a,b] và có cực trị địa phương
tại Khi đó nếu có đạo hàm tại thì
Định lý 1.12 (Định lý Cauchy) Giả sử xác định và khả vi trên [a,b] Khi đó
sao cho
Định lý 1.13 (Định lý Roll) Giả sử liên tục và khả vi trong (a, b) Nếu
Trang 881.9 Đạo hàm và ứng dụng 85
Ví dụ 1.9.3 Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta luôn có
LỜI GIẢI Ta giải bài toán tổng quát với mọi thì
Bằng cách đó, ta sẽ chứng minh hàm số sau đây đơn điệu tăng dần theo
Chứng minh điều này không quá phức tạp, ta chỉ cần đạo hàm rồi nhóm các số hạng
Trang 921.10 Bài tập áp dụng 89
Đẳng thức xảy ra tại
Ta chỉ cần tính giá trị của , xét với điều kiện
Ta vẫn đặt và Xét hàm số
Với điều kiện vì nên
Vậy , đẳng thức xảy ra khi
Từ các kết quả trên suy ra
Và do đó chưa phải là đánh giá tốt nhất cho bất đẳng thức ban đầu, giá trị tốt nhất
phải là
Cùng với bất đẳng thức Am – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức
Chebyshev, bất đẳng thức Jensen thì đạo hàm cũng là một thành phần quan trọng không
kém Tuy nhiên trong cuốn sách tác giả sẽ rất tránh dùng các tính chất của đạo hàm để chứng
minh sáng sủa và dễ đọc hơn, phù hợp hơn với các học sinh chưa học đạo hàm, giới hạn trừ
khi buộc phải dùng đến đạo hàm, các lời giải sẽ luôn được đưa ra ở mức sơ cấp nhất có thể
được
1.10 Bài tập áp dụng
Phần cuối của chương bất đẳng thức cơ sở là phần chọn lọc các bài toán để các bạn rèn
luyện thêm kĩ năng chứng minh bất đẳng thức của m ình Một số bài toán có gợi ỳ hoặc lời
giải, các bài khó sẽ được xem xét lại ở chương sau kĩ hơn
Trang 941.10 Bài tập áp dụng 91
HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức Holder
Bài toán 1.6 (Crux) Cho các số thực dương a, b, c chứng minh
HƯỚNG DẪN Đặt Theo bất đẳng thức AM – GM
Bài toán 1.7 (Olympiad 30-4) Tìm hằng số dương lớn nhất đê bất đẳng thức sau đúng với
mọi a, b, c không âm có tổng bằng 3
HƯỚNG DẪN Cho suy ra Với , bất đẳng thức được
chứng minh trực tiếp bằng Schur bậc nhất
HƯỚNG DẪN Bất đẳng thức trên được suy ra trực tiếp từ 2 bất đẳng thức sau
Chứng minh sử dụng bất đẳng thức AM – GM
Bài toán 1.9 (APMO 1996) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh bất
đẳng thức
HƯỚNG DẪN Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức dạng sau
Bài toán 1.10 (Math Challeges) Các số thực không âm a, b, c, A, B, C thỏa mãn
Chứng minh bất đẳng thức
Trang 961.10 Bài tập áp dụng 93
Bài toán 1.14 (Russia MO 2004) Cho và các số thực có tích bằng 1
Chứng minh
HƯỚNG DẪN Tồn tại các số thực dương thỏa mãn
Thay bởi vào bất đẳng thức dễ dàng suy ra điều phải chứng minh
Bài toán 1.15 (Canada MO) Giả sử là các số thực trong [0,2] Chứng minh
rằng
HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp hàm lồi, chỉ cần xét khi
Bài toán 1.16 Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số dương a, b, c
HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phân tích bình phương
rằng
HƯỚNG DẪN Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ 2 bất đẳng thức sau
Chứng minh rằng
Trang 981.10 Bài tập áp dụng 95
HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài toán 1.25 (Olympiad 30-4) Chứng minh rằng với mọi ta có bất đẳng thức
Bài toán 1.26 Giả sử a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1 Chứng minh
HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
Bài toán 1.27 (Việt Nam MO) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
Trang 1001.10 Bài tập áp dụng 97
Quy đồng mẫu số rồi áp dụng bất đẳng thức AM – GM
Cách 2 Hãy chứng minh rằng
Bài toán 1.34 (China MO) Giả sử và là các số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì là độ dài 3 cạnh của
một tam giác
HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức
Từ đó bà toán sẽ được chứng minh trong trường hợp Với thì
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và bất đẳng thức AM – GM
Kết hợp 2 bất đẳng thức trên suy ra
Vậy là độ dài 3 canh tam giác theo chứng minh trên
Bài toán 1.35 (Math Chelleges) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có
Bài toán 1.37 (Irish MO 2004) Chứng minh với mọi số thực dương a, b thì
Trang 1021.10 Bài tập áp dụng 99
HƯỚNG DẪN Xét 2 biểu thức
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
Bài toán 1.44 Cho dãy số thực dương Chứng minh rằng
Bài toán 1.45 Tìm số thực nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đây đùng với mọi
Bài toán 1.46 Giả sử a, b, c là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 1.47 (Olympiad 30-4) Cho trước 2 số thực a, b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sau với x, y, z là các số thực dương tùy ý
HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, giá trị nhỏ nhất bằng
Bài toán 1.48 Chứng minh với các số thực dương a, b, c thỏa mãn thì
Bài toán 1.49 (Poland 1998) Các số thực x, y, z, t thỏa mãn và
Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 1.50 Cho Chứng minh rằng
Trang 1282.1 Các bài toán chọn lọc 125
Tương tự, áp dụng bất đẳng thức AM – GM
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại
Cộng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Bài toán 2.28 (RussiaM.o) Chứng minh với mọi số thực dương
LỜI GIẢI Ta chỉ cần nhóm và sử dụng bất đẳng thức sau đây
Đẳng thức không xảy ra
Bài toán 2.29 Chứng minh rằng với a, b, c không âm ta có bất đẳng thức
LỜI GIẢI Ta có 2 cách chứng minh bất đẳng thức trên
Cách 1 Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2
Chuyển về tam thức bậc 2 của là
(i) Nếu ta có ngay điều phải chứng minh
(ii) Nếu hay Ta chia ra làm 2 trường hợp
+, Có đúng 1 trong 2 sô lớn hơn 2, số còn lại nhỏ hơn hoặc bawngf Ta thấy ngay
+, Cả hai số đều nhỏ hơn 2 Theo bất đẳng thức AM – GM
Trang 1362.1 Các bài toán chọn lọc 133
Nhận xét Cách chứng minh trên là cách khá đơn giản, tự nhiên về mặt ý tưởng và dễ thực
hiên Ngoài ra với riêng bài toán trên còn có thêm một chứng minh ngắn gọn hơn sau đây:
Vì vễ trái là hàm của c nên ta chỉ chứng minh bài toán với c = 0
Có thể cho Ta phải chứng minh
Trang 271268 Chương 3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3.4.1 Chứng minh rằng nếu các số thực không âm có tổng bằng thì bất
đẳng thức sau luôn đúng
Trong đó khi và khi Ngoài ra hãy
chứng minh đó là các giá trị tốt nhất của
LỜI GIẢI Trước hết ta giả sử là giá trị dể bất đẳng thức trên đúng với mọi dãy số
có tổng bằng Khi đó bất đẳng thức phải đúng khi trong n + 1 số đó
Bằng cách tính toán đơn giản ta có kết quả sau
Dễ dàng kiểm trả được là hàm tăng theo n, bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ban
đầu đúng với mọi giá trị Thật vậy, xét hàm số
Ta phải chứng minh
Hiển nhiên hàm thuần nhất thỏa mãn điều kiện đầu tiên của định lí
Từ chứng minh ở trên (do cách chon ) suy ra cũng thỏa mãn điều kiện thứ (2) với dãy
số Do đó theo định lí I.G.I thì bất đẳng thức đúng với mọi