Tài liệu Bài giảng điện tử Bất đẳng thức cauchy pptx

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY• BÀI GIẢNG Với mọi bộ số ta luụn cú bất đẳng thức sau Dấu đẳng thức trong 1.4 xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực khụng đồng thời

1.2.1.Dạng thuận của bất đẳng thức Cauchy:

Tiếp theo thực hiện ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 –

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Với mọi bộ số ta luụn cú bất đẳng thức sau

Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực khụng đồng thời bằng 0, sao cho

Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đôi khi còn đ ợc

1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy

Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số phức Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một

số phức

Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Định lý 1 Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Định lý 2 Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau

Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy

Hệ quả 1 Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau

Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì

hay

Từ đây suy ra

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Bạn đã hoàn thành Mục 1.2 Chương 1

1.2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Định lý 2 (A M Ostrowski) Cho hai dãy không tỷ lệ

và và dãy số thực thỏa mãn điều kiện

Khi đó

1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

• BÀI GIẢNG

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

• BÀI GIẢNG

Định lý 3 (K Fan and J Todd) Với mọi dãy số thực

và thỏa mãn điều kiện ứng với

ta đều có

1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

• BÀI GIẢNG

Bạn đã hoàn thành Mục 1.3 Chương 1

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

• BÀI GIẢNG

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Định nghĩa 1 (i) Xét các cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn

giản, ta chọn ) Ta gọi hiệu

là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số

(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay

cặp được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu

là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số

(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Định lý 1 Xét các cặp số không âm với tổng không đổi

(để đơn giản, ta chọn ) Khi đó

Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Định lý 2 Xét các cặp số không âm với tích không đổi

(để đơn giản, ta chọn ) Khi đó

khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp

Định lý 3 (H W Melaughlin, F T Metcalf) Với mọi cặp dãy số dương

và sao cho hoặc

ta đều có

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong bất đẳng thức

Cauchy

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Để minh hoạ và để tính toán đơn giản, ta chủ yếu xét các ví dụ với cặp bộ

ba biến Thực chất của kỹ thuật này cũng chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh

bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm

Bài toán 1.13 Cho Chứng minh rằng

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Bài toán 1.14 Cho Chứng minh rằng

Nhận xét 1.3 Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng

thức sau:

Với mọi cặp số dương và bộ số dương với tổng ta đều có

Bài toán 1 22 Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có

Bài toán 1 23 Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Bài toán 1 24 Cho hai bộ số dương và Chứng minh rằng

Bài toán 1 25 Cho tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chú ý rằng, sau khi sắp lại thứ tự bộ số, chẳng hạn ta thấy

ngay cặp số gần đều hơn cặp

Vì vậy, ứng với mọi ta dễ dàng kiểm chứng hàm số

có tính chất

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

hay

Một cách tổng quát với mỗi bộ số sắp được

và với mọi ta đều có

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

1.4.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số

Đối với một số bất đẳng thức đồng bậc dạng không đối xứng thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức thường xảy ra khi giá trị của các biến tương ứng không bằng nhau

Kỹ thuật cơ bản nhất giải các bài toán cực trị dạng không đối xứng chính là xây

dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều

•Tham số tự do cần thiết thường là các giá trị trung gian được xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra

Bài toán 1.29 Cho số dương Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán 1.30 Cho là các số dương Xét bộ số dương thỏa mãn

Nhận xét 1.5 Hai bài toán trên hoàn toàn có thể giải được theo phương pháp

tam thức bậc hai thông thường

Bài toán 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994) Xét bộ số thực

thỏa mãn điều kiện

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Bài toán 1.32 Xét bộ số thỏa mãn điều kiện

trong đó là số dương cho trước Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG

Bạn đã hoàn thành Mục 1.4 Chương 1

1.4 PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

• BÀI GIẢNG