Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12 phương trình và bất phương trình mũ i phương pháp logarit hoá và đưa về cùng cơ số 1 5... Chuyên đề phươ
Trang 1Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
phương trình và bất phương trình mũ i) phương pháp logarit hoá và đưa về cùng cơ số 1) 5 8 500
1
=
ư
x
x
x
2) 2 ( 2 4 2 ) ( 4 2 4 2 )
1
ư
ư +
=
ư
ư
x
3) 1
3
2.3
≤
ư
x x
x x
2
2 2
4) ( 5 ) ( 5 )x 1
1 -x 1
-x
+
ư
≥
5) x - 1x2ư4 x+3 = 1
1 1
3
3 10 3
+
ư
ư
ư
<
x x
x
7) 2x2ư4 = 5xư2
2
2 2
1
2
ư
ư
≤ x
x x
9) 9x + 9x+1+ 9x+2 < 4x + 4x+1+ 4x+2
10) 2 1 3 1
2
1 2
1
+
x x
11) ( 2 1 ) 1 1
1 2
≥ +
ư
x x
x x
12) ( 2 ) 2 2 3
1 1
2
ư
>
x
x x
13) 7 3x+1 + 5x+3 ≤ 3x+4 + 5x+2
Ii) Đặt ẩn phụ:
1) 4 3 2 4 6 5 42 3 7 1
2 2
2
+
=
+
x
2) ( 7 + 4 3 )sinx + ( 7 ư 4 3 )sinx = 4
2
12 2
1 2
.
6
2
1 3
3
= +
ư
ư
x x
x
4) 9x + 2 ( x ư 2 ) 3x + 2 x ư 5 = 0
5) 6 ( 0 , 7 ) 7
100
72
+
x
x
6)
1 1 2
3
1 3
3
+
= 12
3
1 3
3
2 x
2
>
+
2 2
cos sin
=
x
4x+ 2x+ 2x+ 12
10) 2 2 1 2 2 2
2 x+ 9.2x+x 2 x+ 0
11) ( 2 + 3 )x + ( 7 + 4 3 )( 2 ư 3 )x = 4 ( 2 + 3 )
12) 5.32x-1-7.3x-1 + 1 - 6.3x + 9x+1 = 0
13) 6.4x - 13.6x + 6.9x = 0
14) 9x - 2.3x < 3 15) 4x - 6.2x+1+ 32 = 0
21) 3 8.32x x x+ +4 9.9x+4 0
22) 22x+1 ư 2x+3ư64 = 0
23) ( 2 ư 3 ) (x + 2 + 3 )x = 4
24) ( 7 + 4 3 )x ư 3 ( 2 ư 3 )x + 2 = 0
25) 2 4x2+1 + 6x2+1 = 9x2+1
26) 2 5 6 21 2 26 5 1
2 2
+
=
+
x
2 2
cos sin
=
x
1 2
1 2
21
≤
ư
+
ư
ư
x
x x
2 2
15
22 +3ư ư6 + +3ư5 <
30) 251+2xưx2 + 91+2xưx2 ≥ 34 52xưx2
1 log
3
>
+
x
x
32) 32x ư 8 3x+ x+4 ư 9 9 x+4 > 0
1 1
2 4 9
1 3
1
>
ư
34) 9x ư 3x+2 > 3x ư 9
4 4
Trang 2Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
16) ( 3 5 ) ( 3 5 ) - 2 2 0
2 2
x -2x 1 x -2x x
-2x
≤
ư +
17) 12.3x + 3.15x - 5x+1 = 20
18) 32x-1 = 2 + 3x-1
19) ( 6 - 35 ) (x + 6 + 35 )x = 12
3
26
x
36) 9 x2ư3+1 + 3 < 28 3 x2ư3ư1
37) 4 1 32 4 3 1 0
2
≤ +
ư
x
38)
2
5
1 2
2
1 log log
>
+
x x
x
39) 4 1 2 2 1 0
2
≤ +
+
x
III) phương pháp hàm số:
1) 25x + 10x = 22x+1 2) x x x
9 3 6 2
4 ư = 3) 4 3 9 2 5 62
x x
x
=
ư 4) 125x + 50x = 23x+1
5) 2x 1-2x2 x ( 1 )2
x
= ư 6) 2 2x + 3 3x > 6x ư 1
7) - 3x2 ư 5 x + 2 + 2x > 3x.2x - 3x2 ư 5 x + 2 + ( 2x )23x
x
3
8
1 + 2 = ) x2 + 3log2x = xlog25
10) 32xư3 + ( 3 x ư 10 ) 3xư2 + 3 ư x = 0
11) 2 2 1 ( 1 )2
2
ư
= +
ư x ưx xư x 12) 3 x+4 + 2 2x+4 > 13
2 4
2 3
32
≥
ư
ư +
ư
x
x
x
14) 3x + 5x = 6x + 2 Một số bài toán tự luyện:
1) 7 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3
2) 6 4x - 13.6x + 6.9x = 0 3) 76-x = x + 2
4) ( 2 ư 3 ) (x + 2 + 3 )x = 4
5) 2x 3x 1
= + 6) 3x+1 + 3x-2 - 3x-3 + 3
x-4
= 750
7) 3 25x-2 + (3x - 10)5x-2 + 3 - x = 0
2 3 2 3
9)5x + 5x +1 + 5x + 2 = 3x + 3x + 3 - 3x +1 1
2 2
10) 1 1 11)2 4
12)8 36.3
x
x x
ư +
=
1
ư
17) 15 x 1 4 18)2x x ư + x 4ư x
2 6 5
2
x x
ư +
=
32)2.4 6 9
x
+
2
34)3 4 5 35)3 4 0
x
( )
( )
2 x x
2 1
1 x
1
1 5
2 x 1
4 x 10
3 1 x-3
3x-7
1
3 39) 2 4 0,125 4 2
x x
x x
+ + + +
+ +
ư
ư
=
=
=
=
Trang 3Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
2 2
1
x
x x x
ư
x 3 x 3 x-1
42) 2 ư .5 ư 0,01 10
=
2
x
x 1 x x 1 x 2
2 x -1 x -1
x
4 3 ) 0 ,6
4 5 ) 3 5 -2 5 0 ,2
4 6 ) 1 0 2 5 x 4 , 2 5 5 0 x
ư
=
=
=
2 2
47) 9 -36.3 3 0 48) 4 -10.2 -24 0
+ =
=
hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit 1)
l g l g 4
1
l g l g 3
ư
= ư
ư
2)
+
x y
y x
3)
=
=
+
ư
5
1
10 51
5 2
xy
4)
= +
=
log
2 log
1 y
y
x x
= +
= +
ư
ư
y x
x y
y x
y
x
2 2
6 9
1 2
2
2
6)
=
=
ư
12
3
3
1 log
y
x
x y
7)
2
4
4
8)
= +
=
ư
2 log
1152 2
.
3
5 x y
y
x
10)
=
ư
=
2 log
972 2
3
3 x y
y x
11)
+
=
ư
ư
ư
ư
=
ư +
x y x
y x
y
x y
5 5
5
log
2
1
log log
12 2
log
2
48
12) log 9 ( x 3 + y 3 ) = log 3 ( x 2 ư y 2 ) = log 3 ( x + y )
=
ư +
=
ư +
0 20 2
1 log
2 log
a y
x
a y
a
1
4 y 4x 8 8x y 0
ư
= +
= +
2 3 2 log
2 2
3 log
y x
y x
y x
22)
>
=
+
=
+
ư
0 y 64
5 , 1
5 ,
2 x
x x
y
y y
23)
l g
1
o x
= ư
24)
=
ư
=
ư 1 log
1 log
log
2
2
x y
x x
y
y xy
=
ư
ư
= +
1 log
log 2 x 2 y
y x y
26)
= +
ư
=
ư
9 log
2 4
36
6
2
x y
x
x x y
=
ư
=
ư
ư + 2
1 log
log
2 2
2 2
v u
v u v
u
28)
≠
≠
=
=
0 pq
và q p
y
x y
x
y x
a
a a
q p
log log log
Trang 4Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
14) ( )
ư
= +
=
y x y x
y
5
log
3
27
5 3
= +
ư +
ư
+
=
ư
8 5
3
5 4
y x
y x y
x
y x
xy xy
16)
>
=
=
0 x 64 2
2
2
y
y
x
x
17)
= +
= +
ư
3
1 5
2
12
1 log log
2 2
5
x
y y
x
18)
>
= +
=
+
ư
0 x
8
1
10 7
2
y
x
x y y
19)
=
= +
ư
32
0 5 log
2 log
2
2
xy
y x
x y
29)
=
ư
= +
5 log
log 2 2
12
1
y x
x y
30)
>
=
ư
=
ư
ư
0 x
2
1
16
2 2
y x
x x y
35)
l g l g
l g 4 l g 3
o x o y
=
=
36)
( )
<
= +
=
0 a
2 2 2
2
2
lg 5 , 2 lg
a xy
37)
=
ư
= +
1 log
log
4
4 4
log log8 8
y x
y
38 ) ( )
=
=
ư
ư +
ư
ư
ư +
1 37
, 0
1 2
16 2
8
2 2
x xy x y x
xy x y x
39)
=
ư
= +
1 log
log
27 2
3 3
log
x y
y
PHƯƠNG TRìNH Và BấT PHƯƠNG TRìNH LOgrIT
1 log x log x 65 = 5( + ) ư log x 25( + )
2 log x log x log5 + 25 = 0,2 3
x
log 2x ư 5x 4 + = 2
4 lg(x2 2x 3) lg x 3 0
x 1
+
5 1 lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18
4 lg x ư + 2 lg x + =
7 log x2 + 10 log x 62 + = 0
8 log0,04x 1 + + log0,2x 3 1 + =
9 3log 16 4 log x 2 log xx ư 16 = 2
10 log 16 log 64 3x2 + 2x =
32 3 1
2
log log x ≥ 0
33 1
3
4x 6
x
+
≥ 34 log x 32( + ) ≥ + 1 log x 12( ư )
36 log5 3x 4.log 5 1 + x > 37
2
≥
2
log x log x 1 + > 39 ( 2 )
2x
log x ư 5x 6 + < 1
40 log3x x2( 3 x ) 1
ư ư > 41
2
2 3x
x 1
5
2
+
42 x 6 2
3
x 1
x 2
+
ư
>
+
43 log x log x 022 + 2 ≤
Trang 5Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
11 lg(lg x) lg(lg x + 3ư 2) 0 =
12 log3 log x9 1 9x 2x
2
log 4.3 ư 6 ư log 9 ư 6 = 1
14 ( x 1 ) ( x )
2
1 log 4 4 log 4 1 log
8
+
15 lg 6.5 ( x + 25.20x) = x lg 25 +
16 2 lg2 1 ( ) lg 5 ( x 1 ) ( lg 51ư x 5 )
17 x lg 4 5 + ( ư x) = x lg 2 lg3 +
18 5lg x = 50 x ư lg5
18 x 1 ư lg x lg x2 ư 2 = x 1 ư 3
19 3log x32 + xlog x3 = 162
20 x lg x + ( 2 ư x 6 ư ) = 4 lg x 2 + ( + )
21 log x 13( + ) + log 2x 15( + ) = 2
22 ( x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0 + ) 32( + + ) ( + ) 3( + ư = )
23. log x 35( )
8
log x ư 4x 3 + ≤ 1
25 log x3 ư log x 3 03 ư <
3
log log x ư 5 > 0
27 1( 2 ) 5( )
5
log x ư 6x 8 2log x 4 + + ư < 0
3
5
2
log log 3 ư 9 < 1
30 log 2.log 2.log 4x 1x 2x 2 >
8
2
2 log (x 2) log (x 3)
3
2 16
1 log 2.log 2
log x 6
>
ư
45 log x 4 log x 923 ư 3 + ≥ 2 log x 33 ư
2
log x 4 log + x < 2 4 log x ư
47 6log x2 + xlog x6 ≤ 12 48 2 log 2x log x2 2 3 1
x
x
>
49 ( x ) ( x 1 )
2
2
0
2 5x 3x
≥
51 + >
+
2 3 3
1 log x
1
1
5 log x 1 log x
53 x ư 1 100 >
log 100 log x 0
2 54 2 log 5 x ư log x 125 < 1
3
1 3
1 x ư + log x + + log ư x <
log
56 ( log x ) x log2x
2 2
log x + 4 x ư 12 ư log x + 1 < 1
2
1 3
lg x 2 ư > x 2 ư x +
59 log 4 x 2 + log 8 ( x ư 1 ) 3 ≤ 1
60 log 9 ( 3 x 2 + 4 x + 2 ) + 1 > log 3 ( 3 x 2 + 4 x + 2 )
61 1 ( + 1 ) > 2 1 ( + 1 )
ư
3 2
3 3 3
2
2 x ư log + x log x ư log x ≥ x ư + x log x
63 1 + log x 2000 < 2 64 0
1 3 2 5
5 lg
<
+
ư
ư +
x x x
x
65.
2
1 2
2 4
2 ≥
ư
ư x x log x
Trang 6Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
MỘT SỐ PHƯƠNG TRèNH MŨ – LễGA SIấU VIỆT
3
6
/ 2
log ( 1)
log
1)2 8 14
3) log (1 ) log
4)2
5) log ( 3 ) log
ư
+
=
x
x
x
x
2 5
6) log ( x ư 2 x ư 3) = log ( x ư 2 x ư 4)
2
log log 5
2
log
2
x
7) 3
9) log ( - 4) log 8(x+2)
10) log 3log (3 1) 1
11)3 4 0
13)3 ư (3 10).3 ư 3
+
x
x
x
x
x
x
2
2
x
2
x
x 6 10 2
0
15) log log 1 1
16)4.9 12 3.16 0
17)3 os2x
=
=
x
x
x
x
c
2
1
os2x os
lg lg 6
21)(4 15) (4 - 15) 62
23)6 12
=
x
x
2
2
25) log ư 8log 2 = 3
x
x
2 2
3 3
8 2
27) 4 6 9
29)5 50
31) log log ( 2) 32)3log (1
=
x
x
x
x
x
5
2 log ( 3)
3
4
2
) 2log 33)2 34) log (1 ) log
1 35) log ( ) log
2
+
=
=
x
x x
Trang 7Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRèNH ưưưư BẤT PHƯƠNG TRèNH ưưưư HỆ PHƯƠNG
TRèNH
MŨ VÀ LOGARIT
A PHƯƠNG TRèNH MŨ:
Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh:
1/ 3x
+ 5x
- 35.6x
+ 18.4x
= 0 3/ 4x
= 3x + 1 4/ ( 3 2 2 + ) (x+ 3 2 2 ư )x = 6x
5/ ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4
7/ 12.9x
- 35.6x
+ 18.4x
= 0 8/ 3x
+ 33 - x = 12
+ 2006x
= 2.2007x
11/ 125x
+ 50x
= 23x + 1 12/ 2 x2ư 1 = 5 x + 1
ư = + ư 14/ 2 x2+ x + 2 2 ư ư x x2 = 5 15/
15 x2.2x
+ 4x + 8 = 4.x2 + x.2x
+ 2x + 1
16 6x
+ 8 = 2x + 1
+ 4.3x
17 4x2+x 21ưx2 2(x+1)2 1
= 10 ư x
ư (x + 5).3x
+ 1 = 0 21/ 4x
+ (x – 8)2x
+ 12 – 2x = 0 22/ 4 3
=
ư 7.4x
+ 7.2x + 1
ư 8 = 0
Bài 2: Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm:
1/ 4 x 1+ + 3 ưx ư 14.2 x 1+ + 3 ưx + 8 =
m 2/ 9 x 1 x2 8.3x 1 x2 4
m
+ ư
3/ 9 54 3
3
x
ư 2x + 1
= m
Bài 3: Tỡm m để phương trỡnh 9x
ư 2.3x
+ 2 = m cú nghiệm x∈(ư1; 2)
Bài 4: Tỡm m để phương trỡnh 4x
ư 2x + 3
+ 3 = m cú đỳng 2 nghiệm x∈(1; 3)
Bài 5: Tỡm m để phương trỡnh 9x
ư 6.3x
+ 5 = m cú đỳng 1 nghiệm x∈ [0; + ∞)
Bài 6: Tỡm m để phương trỡnh | | | | 1
m
+
ư + = cú đỳng 2 nghiệm
Bài 7: Tỡm m để phương trỡnh 4x
ư 2(m + 1).2x
+ 3m ư 8 = 0 cú hai nghiệm trỏi dấu
Bài 8: Tỡm m để phương trỡnh 4 x2 ư 2 x2+ 2 + 6 = m cú đỳng 3 nghiệm
Bài 9: Tỡm m để phương trỡnh 9 x2 ư 4.3 x2 + 8 = m cú nghiệm x∈[ư2; 1]
Bài 10: Tỡm m để phương trỡnh 4x
ư 2x + 3
+ 3 = m cú đỳng 1 nghiệm
Bài 11: Tỡm m để phương trỡnh 4x
ư 2x
+ 6 = m cú đỳng 1 nghiệm x∈[1; 2]
B BẤT PHƯƠNG TRèNH ưưưư HỆ PT MŨ:
Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh:
Trang 8Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
1/ 3 2
3/ 2x + 2 + 5x + 1 < 2x + 5x + 2 4/ 3.4x + 1 ư 35.6x + 2.9x + 1 0
5/ ( )2 ( )2 ( 1 )
x
+ +
≥
ư
7/ 2 x2ư x ≤ 4 8/ 3 x + + 1 3 x ư 2 ≥ 3
9/ 2x ư 1
.3x + 2
> 36 10/ 2 x + 2 + 11 2 ư x ≥ 5
9xư 4.3x+ + 27 ≤ 0 12/ 2 x2ư 2 x ư 3 ≤ 3 x2ư 2 x ư 3
13/ 4 x + x 1 ư ư 5.2 x + x 1 1 ư + + 16 ≥ 0 14/ 32 4 0
6
x
x
+ ư
>
ư ư
6x 4 2x+ 2.3x
1 1 2 1
17/ ( 2 2 1 x + ư 9.2 x + 4 ) x2+ 2 x ư 3 ≥ 0 18/
Bài 2: Tỡm m để bất phương trỡnh: 4x 2x 0
m
ư ư ≥ nghiệm đỳng x ∈ (0; 1)
m
+
ư ư ≥ nghiệm đỳng x ∈ R
m
+
ư ư ≤ cú nghiệm x ∈ (ư1; 2)
Bài 5: Tỡm m để bất phương trỡnh: 3 x + + 3 5 3 ư x ≤ m nghiệm đỳng x ∈ R
Bài 6: Tỡm m để bất phương trỡnh: 2 x + 7 + 2 x ư 2 ≤ m cú nghiệm
Bài 7: Tỡm m để bất phương trỡnh: 9x 2.3x 0
m
ư ư ≤ nghiệm đỳng x ∈ (1; 2)
Bài 8: Cho phương trình: ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1 0
2 2
= +
ư +
x x
(1) (m là tham số) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 9: Giải cỏc hệ phương trỡnh
1/ 2 5
y y
x
x
8
y x
y x xy
1
2 6
8 4
y y
x x
ư
ư
=
4/ 3 2 11
x
y
y x
3 4 36
y x y x
=
3
y x
y x
7/ 2 4
x
x
y y
=
4 3 144
y x y x
=
.
y x y x
=
10/ 2 3 17
y x
y x
x y
y x
2
y y
x x
C PHƯƠNG TRèNH LOGARIT
Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh:
Trang 9Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
3/ 2
2 2
3
log x 9 x + logx 3 x = 1
5/ x log 3 log5 + 5( 3 x ư 2 ) = log5( 3 x + 1 ư 4 ) 6/ log3 log 23
7/ ( 2 ) ( )
3 3
log x + ( x ư 12) log x + 11 ư x = 0
9/ log32 log3
3 x + x x = 6 10/ log2 x + 4 = log2( 2 + x ư 4 )
11/ 2
log x ư 3.log x + 2 = log x ư 2 12/ log2x log3x + x log3x + = 3 log2x + 3log3x + x
13/ 3.log3( x + 2 ) = 2.log2( x + 1 ) 14/ log 43 2 log3 log 23
15/ 2( ) ( )
log 4 x ư log 2 x = 5 16/ 3( 27 ) 27( 3 ) 1
3
17/ log3x + 2 = 4 log ư 3x 18/ log2x log3x + = 3 3.log3x + log2x
4
2.log x = log x log x ư 7 1 + 20/ log3( 2 x ư 2 ) + log3( 2 x + 1 ) = log3( 2 x+ 2 ư 6 )
21/ 2 2 ( )2
2
8 2
log x + log 8 x = 8 22/ log2 2 log 62
6.9 x + 6 x = 13 x
23/ log22x + log2x log2( x ư 1 ) + 2 = 3.log2x + 2.log2( x ư 1 )
24/ log2 log 32
Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh log 2 ( x ư 2 ) = log2( mx ) cú 1 nghiệm duy nhất
log x ư log x + 3 = m cú nghiệm x∈ [1; 8]
Bài 4: Tỡm m để phương trỡnh log2( 4 x ư m ) = x + 1 cú đỳng 2 nghiệm phõn biệt
Bài 5: Tỡm m để phương trỡnh 2
log x ư ( m + 2).log x + 3 m ư = 1 0 cú 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2
= 27
Bài 6: Cho phương trình: log 3 2 x + log 2 3 x + 1 ư 2 m ư 1 = 0 (2)
1) Giải phương trình (2) khi m = 2
2) Tìm m để phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3
Bài7 : Chứng minh rằng: với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
D BẤT PHƯƠNG TRèNH ưưưư HỆ PT LOGARIT
Bài 1: Giải cỏc bất phương trỡnh:
1/ log 4 ( log2x ) + log 2 ( log4x ) ≥ 2 2/ log2x + 3 ≥ log2x + 1
3/ log2( x2ư 3 x + 2 ) ≥ log2( x + 14 ) 4/ log22( 2 x ) ư log2x 3 ≤ 1
Trang 10Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
5/ log2( 4 x ư 2 x 1 + ) ≤ x 6/ ( 2 ) 2
log x + 2 log x ư 3 x ư 5 x + 4 ≥ 0
log1 2
log
x
x x
( )
2 2
2
2 log 2
x
≥
2
0 log
2
x
≥
log x log x + 2 ≤ log x + log x
8
x
x
x
Bài 2: Giải cỏc hệ phương trỡnh
1/
6
x y
2
6
y
4/
6
log 3
x y
3
2
log
9
y y
x x
=
log log
16
x y
2
log log
32
xy x
=
=
12/
( )
2
2
xy x y
=
=
Trang 11Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12
Trang 12Chuyên đề phương trình – Bất phương trình và Hệ phương trình mũ – Loga rit Lớp 12