Đại số sơ cấp - Phương trình, bất phương trình mũ và logarit ppt

Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình là cách giải khá quen thuộc.. nghịch biến trên ℝ nên phương trình nếu có ng

CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

· Khi viết loga b thì phải hiểu là a>0,a≠1;b>0

· Trường hợp cơ số a =10 thì logarit cơ số 10 của số dương b ta viết là lg b và đọc là logarit

1 Định nghĩa Phương trình, bất phương trình mũ là phương trình, bất phương trình mà ẩn số

có mặt ở số mũ của lũy thừa

Trong một số trường hợp ta xét thêm ẩn số có mặt ở cả cơ số của lũy thừa, khi đó ta phải xét hai trường hợp: cơ số a >1 và 0<a<1

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

2.1 Phương pháp logarit hóa

Các dạng cơ bản

· ( ) ( )

01

3 1 0

02

x t

x x x

3 2

3 2

log 2 1log 2 1

x x−

Giải

( )

3 3

1 1 sin sin 1 2 1 sin

1 ost sin 1 2 ost

Vậy, phương trình có hai nghiệm x= −1;x=0.

2.3 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình là cách giải khá quen thuộc

Ta có ba hướng áp dụng như sau

1 Biến đổi phương trình về dạng

2 Biến đổi phương trình về dạng

( ) ( ) (2)

f x =g x

Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( ; ),a b nhưng hàm số y=g x( )nghịch biến (đồng biến) cũng trên khoảng đó thì phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng ( ; ).a b Do đó, nếu tìm được x0 thuộc khoảng ( ; )a b sao cho f x( )0 =g x( )0 thì x0

là nghiệm duy nhất của phương trình

3 Biến đổi phương trình về dạng

nghịch biến trên ℝ nên phương trình nếu có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất, ta thử

đượcx =2 thỏa phương trình

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x =2

= đồng biến trên toàn trục số, còn hàm số y= − luôn luôn nghịch biến và ta 3 x

thử được x =2 thỏa phương trình

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x =1, x =2

f t = + ta có, hàm số này luôn luôn đồng biến trên toàn trục số t

Như vậy, phương trình được viết dưới dạng f x( −1)= f x( 2−x)⇔ − =x 1 x2− ⇔x x=1 Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x =1

k k

m m mf

Vậy, với m < −2 thì (1) có hai nghiệm thỏa − <1 x1 < <0 x2

Sau đây ta giải một số hệ phương trình mũ

y y

3 Một số phương pháp giải bất phương trình mũ

3.1 Phương pháp logarit hóa

Các dạng cơ bản

· ( ) ( )

1( ) ( )

Trường hợp 2:x2− + > ⇔x 1 1 x2− > x 0

0

1

x x

Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là − ≤ ≤2 x 1.

23

Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là 1

0

x x



Vậy, nghiệm của bất phương trình là x >1

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x> ∨ <2 x 0

3.3 Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

Có hai hướng áp dụng như sau

1 Biến đổi bất phương trình về dạng

( ) (1)

f x >k (klà hằng số) Nếu hàm số ( )f x đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b (giả sử đồng biến)

Khi đó ta có nhận xét: Giả sử x0 thuộc ( ; )a b là nghiệm của phương trình ( )f x =k, thì

Với x x≤ 0 ⇔ f x( )≤ f x( )0 = ⇒k (1)vô nghiệm

Với x x> 0 ⇔ f x( )> f x( )0 = ⇒ (1) nghiệm đúng k

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x x> 0

2 Biến đổi bất phương trình về dạng

· Nếu m ≠2, khi đó yêu cầu bài toán được thỏa

2 3

§3 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Định nghĩa Phương trình, bất phương trình logarit là phương trình, bất phương trình có ẩn

chứa trong biểu thức dưới dấu logarit

Trong một số trường hợp có xét cả ẩn chứa ở cơ số của logarit, khi đó ta phải xét hai trường hợp của cơ số: a >1 và 0< <a 1

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

So với điều kiện (*) ta nhận x =2.

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x =2

x x

Điều kiện:

00

01

x x x

2

12

21

So với điều kiện ( )∗ ta nhận x =2

Vậy, phương trình có một nghiệm là x =2

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình

x x

Hàm số y= − + nghịch biến trên x 3 ℝ.

Do đó, trên (0; +∞) phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm, ta thử được x =2 thỏa

phương trình (*) nên là nghiệm

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2

x x

2 2

2 2

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.

x x

Sau đây ta giải một số hệ phương trình lôgarit

Với y=2 ,(2)x ⇔ x2 −4x2 = ⇔3 x2 = − Vô nghiệm 1.

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm (2;1)

3 Một số phương pháp giải bất phương trình logarit

b a

2 3

16

2 9

2 2

x x

21.

(1) tương đương với

1≤ ≤ ⇔x 2 log 1 log≤ x≤log 2⇔ ≤ ≤ 0 t 1

Vậy (1) nghiệm đúng với∀ ∈x [1; 2] khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với ∀ ∈t [0;1]

b) Tìm m để tập hợp nghiệm của bất phương trình là đoạn [2;8]

Giải

a) Đặt t=log ,2x khi đó bất phương trình (1) trở thành 3t m t− ≥ (2) Ta có

2

00

33

0

03

t t

Vậy, khi m =2,bất phương trình (1) có nghiệm là 2≤ ≤x 4

b) Với 2≤ ≤ ⇔x 8 log 2 log2 ≤ 2x≤log 82 ⇔ ≤ ≤1 t 3

Tập hợp nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn [2;8] khi và chỉ khi tập hợp nghiệm của bất phương trình (2) là đoạn [1;3]

log

(1)

x m

+ Nếu x > thì 1, f x( )> f(1)⇔ +x log2 x> ⇒1 x >1là nghiệm của (1)

+ Nếu 0< ≤ thì x 1, f x( )≤ f(1)⇔ +x log2x≤ ⇒ < ≤ không phải là nghiệm của bất 1 0 x 1phương trình đã cho

Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là x >1

Ví dụ 2 Giải bất phương trình

2

2 3

Giải Điều kiện: x >0.

Vế trái của (1) nếu xem là tam thức bậc hai đối với biến x thì (1) được viết lại là

Hàm số y= f x( )= +x log2x đồng biến trên (0;+∞ và (2) 3.) f =

+ Với x >2,thì ( )f x > f(2) 3= ⇒ x >2 là nghiệm của bất phương trình (1)

+ Với 0< ≤x 2,thì ( )f x ≤ f(2) 3= ⇒ 0< ≤x 2 không là nghiệm của bất phương trình (1) Vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho là x >2

BÀI TẬP CHƯƠNG V Bài 1 Giải các phương trình

5 3

10) log 2 2 log 4 log 8;

2

x −x + x+ ≤

8)

2 2

x

−+ <

18) 2 2

1

2

40;

14) 4

7log log

6 16;

2

3

y x

1) Giải phương trình khi m = 2;

2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ]3

Bài 10 Tìm các giá trị của m để phương trình

V.11 Tìm các giá trị của a để phương trình

2log x− log x a+ =0 có bốn nghiệm phân biệt

Bài 13 Chứng minh rằng với mọi giá trị của a >0 hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm

Bài 15 Cho hệ phương trình

1) Giải hệ phương trình khi m =0;

2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm;

3) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

Bài 16 Cho hệ phương trình

2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm

Bài 17 Cho hệ phương trình

x y

2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm

Bài 18 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất

1) Giải hệ phương trình với m = 1;

2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; ); x y x ≥ 1

Bài 22 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất

CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§1 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

Ta quy ước các biểu thức trong các công thức sau đều có nghĩa

1 Công thức cộng