Phương trình bất phương trình hệ phương trình lượng giác

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A... Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.. Các dạng phương trình lượng giác 1... Chú ý:

CHUYÊN ĐỀ

LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Biểu diễn cung – góc lượng giác

Nếu cung (hoặc góc) lượng giác qAM có số đo là k2

π (ta chọn k = 0, k = 1)

π

và 1912π(ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2)

Ví dụ 4 Nếu sđ AMq 45 k.90 45 k.360

4

= D + D = D + D thì có 4 điểm M tại các vị trí 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3)

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π

4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 12

cos x 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O

5 Chu kỳ của hàm số lượng giác

5.1 Định nghĩa

Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa

f(x + T) = f(x)

= π và 2

pTk

= π

Để tìm chu kỳ của hàm số y = f(x)±g(x) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Quy đồngm mk

n = nk , p np

k = nkvà tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np

Bước 2 Chu kỳ của y = f(x)±g(x) là T A

nk

= π

Ví dụ 6 Tìm chu kỳ của hàm số y cos 3x tgx

Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt

III Các dạng phương trình lượng giác

1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0

Phương pháp giải toán

Bước 1 Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t

(nếu có)

Bước 2 Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Chú ý:

Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên

thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có)

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 sin x2 +sinx− 2 = (1) 0

x k2

4 , k3

x k24

(2) ⇔ +3 5 cos x = sin x−cos x ⇔ 2 cos x +5 cos x+ =2 0

Đặt t = cosx, 1− ≤ ≤ ta suy ra: t 1

2

(2) ⇔ 2t +5t+ =2 0 t 1 t 2

2

⇔ = − ∨ = − (loại) cos x cos2

(thỏa điều kiện)

Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau

2 Dạng bậc nhất theo sinx và cosx

asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0)

Phương pháp giải toán

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

Phương pháp giải toán

x k2x k2

6 6

2

7 x k2x k2 3

x k3

(3) ⇔ cos x(2 cos x−1)= sin x(1−2 sin x)

⇔ cos x cos 2x3 = sin x cos 2x3 cos 2x 0

2 cos x+sin x = cos x+sin x

⇔ 2 cos x( 5 +sin x5 )= (cos x3 +sin x)(cos x3 2 +sin x)2

⇔ cos x5 +sin x5 −cos x sin x3 2 −cos x sin x2 3 = (đẳng cấp) 0

4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Phương pháp giải toán

Bước 1 Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x( )

4

π+

⇒ − ≤ ≤ và

2

t 1sin x cos x

Đặt t = sinx + cosx ⇒ − 2 ≤ ≤t 2 và sin2x = t2 – 1

Thay vào (1) ta được:

2

t +( 2+1)t+ 2 = 0 ⇔ = − ∨ = −t 1 t 2

( ) ( )

( )

2 sin x 1 sin x sin

4 4 4(1)

Thay vào (3) ta được:

mt 1 t 0 mt t 1 m t

t+ − = ⇔ = − ⇔ = − (do t < 0)

−

5 Dạng phương trình khác

Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi

để đưa về các dạng đã biết cách giải

Ví dụ 1 Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1)

= ∈ ]

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Bất phương trình lượng giác cơ bản

1 Bất phương trình cơ bản của cosx

1) cos x ≥ cosα ⇔ −α +k2π ≤ x ≤ α +k2 , kπ ∈ ] (hình vẽ) 2) cos x > cosα ⇔ −α +k2π < x < α +k2 , kπ ∈ ]

3) cos x ≤ cosα ⇔ α +k2π ≤ x≤ π − α +2 k2 , kπ ∈ ] 4) cos x < cosα ⇔ α +k2π < x< π − α +2 k2 , kπ ∈ ]

2 Bất phương trình cơ bản của sinx

1) sin x ≥ sinα ⇔ α +k2π ≤ x ≤ π − α +k2 , kπ ∈ ] (hình vẽ) 2) sin x > sinα ⇔ α +k2π < x < π − α +k2 , kπ ∈ ]

3) sin x ≤ sinα ⇔ −π − α +k2π ≤ x≤ α +k2 , kπ ∈ ]

4) sin x < sinα ⇔ −π − α +k2π < x< α +k2 , kπ ∈ ]

3 Bất phương trình cơ bản của tgx

1) tgx tg k x k , k

2

π

≥ α ⇔ α + π ≤ < + π ∈ ] (hình vẽ) 2) tgx tg k x k , k

2

π

> α ⇔ α + π < < + π ∈ ] 3) tgx tg k x k , k

2

π

≤ α ⇔ − + π < ≤ α + π ∈ ] 4) tgx tg k x k , k

3) cotgx ≤ cotgα ⇔ α + π ≤k x < π + πk , k ∈ ] 4) cotgx < cotgα ⇔ α + π <k x < π + πk , k ∈ ]

Cách giải sau đây sai:

sin x+(1− 2)cos x > 0 ⇔ sin x+cos x > 2 cos x

= không thỏa bất phương trình

Ví dụ 9 Giải bất phương trình 3 cos x 1

Giải

Ta có:

21sin x

Ví dụ 15 Giải hệ bất phương trình

cos x 0

1 2sin x

Bước 1 Giải cả hai phương trình độc lập với nhau

Bước 2 Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2 cos x 1 (1)

3sin 2x (2)

3

π

= + π vào (2) ta được:

(2 ) 3sin k4 sin

3 3 2

π π+ π = = (nhận)

x k2 x k2

2 4 4sin x

2 3

x k24

x ksin 5x 0 x k

21sin x sin y

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2 3tgx tgy

3

2 3cotgx cotgy

3tgxtgy 1

33X 2X 3 0 1