Phương pháp toạ độ trong không gian

N Một vài phương pháp giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng : N Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 3 điểm A, B, C.. Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng P chứa đi

Trang 1

Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc

I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng ⊂ hoặc cùng // với một mặt phẳng

2 Định lí: Cho 3 vectơ ⃗, ⃗, ⃗ trong đó ⃗, ⃗ không cùng phương Khi đó 3 vectơ ⃗, ⃗, ⃗ đồng phẳng khi và

khi chỉ khi tồn tại các số m, n sao cho ⃗ = ⃗ + ⃗

3 Định lí: Cho 3 vectơ ⃗, ⃗, ⃗ không đồng phẳng Khi đó với mọi vectơ ⃗ ta đều có: →= ⃗ + ⃗ + →

trong đó bộ 3 số m, n, k là duy nhất 4 Biểu thức tọa độ của điểm và vectơ: ( ; ; ), → = ( ; ; ), → = ( ; ; )

* M(x;y;z)⇔ ⃗ = ⃗ + → + →

* → ± → = ( ± ; ± ; ± ) * → = ( ; ; )

* → = → ⇔ = =

= * ⎯ = ( − ; − ; − )

* Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k ⇔ ⃗= ⃗.

* Tích vô hướng của 2 vectơ: → → = + +

* Độ dài của vectơ : → = + +

* Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là = ( − ) + ( − ) + ( − )

* Góc giữa 2 vectơ khác không: cos → ; → = → → → → =

* Lưu ý, góc giữa 2 đường thẳng : cos( ; ) = cos ⎯ ; ⎯ = ⎯ ⎯

⎯ ⎯ = ⎯ ⎯

* ⃗ ⊥ ⃗ ⇔ → → = 0 ⟺ + + = 0 * ⃗ ù ℎươ ⃗ ( ℎá 0→) ⇔ → = → 5 Tích có hướng của 2 vectơ và ứng dụng: Cho 2 vectơ → = ( ; ; ), → = ( ; ; )

Tích có hướng của 2 vectơ ⃗ à ⃗ là vectơ → được tính bởi công thức sau: → = ⃗; ⃗ = ; ;

Tính chất:* ⃗; ⃗ = − ⃗; ⃗ * ⃗; ⃗ ⊥ ⃗, ⃗; ⃗ ⊥ ⃗

* ⃗ ù ℎươ ⃗ ⇔ ⃗; ⃗ = 0 ⃗ * ⃗; ⃗ = | ⃗| ⃗ sin → ; →

Ứng dụng: * Diện tích hình bình hành ABCD : = ⃗; ⃗

* Diện tích tam giác ABC: = ⃗; ⃗

* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : = ⃗; ⃗ ⃗

* Thể tích tứ diện ABCD : = ⃗; ⃗ ⃗

* ⃗ , ⃗, → đồng phẳng ⇔ ⃗; ⃗ → = 0

* , , , không đồng phẳng (là 4 đỉnh của một tứ diện) ⇔ ⃗, ⃗, ⃗ không đồng phẳng ⃗ = ⃗

⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 1 − − = 1 − − = 1 − −

Trang 2

II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

- Vectơ → ≠ 0→ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

nếu giá của nếu vectơ → vuông góc với (P), kí hiệu → ⊥ ( )

- Vectơ → được gọi là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P)

nếu giá của nếu vectơ → song song hoặc trùng với (P)

- Nếu mặt phẳng (P) có 2 vectơ chỉ phương → = ( ; ; ),

→= ( ; ; ) khác 0→, và không cùng phương Lúc đó mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

→ = ⃗; ⃗ = ; ;

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng: + + + = 0, ( + + ≠ 0)

Chú ý: *Từ phương trình tổng quát của mp (P) ta xác định được một vectơ pháp tuyến ⃗ = ( ; ; )

* Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( ; ; ) và nhận → = ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: ( − ) + ( − ) + ( − ) = , ( + + ≠ 0)

* Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm ( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ) có phương trình:

+ + = 1 ( ℎươ ì ℎ ặ ℎẳ đ ạ ℎắ )

3 Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng:

Cho 2 mặt phẳng (P): + + + = 0, (Q): + + + = 0 Lúc đó:

a (P) cắt (Q)⇔ ( : : ) ≠ ( : : ) b (P) // (Q)⇔ = = ≠

c (P) ≡(Q)⇔ = = = d (P) ⊥(Q)⇔ + + = 0

*Chùm mặt phẳng: Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (P) và (Q) đều có phương trình:

( + + + ) + ( + + + ) = 0 ( + ≠ 0)

*Phát hiện nhanh: mp: 2x+3y+7=0 là mặt phẳng //oz, mp:3y+2z+9=0 //ox, mp:2y+9=0//mặt phẳng(xoz)

4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): + + + = 0, ( + + ≠ 0), điểm ( ; ; ) Khoảng cách từ

M đến mặt phẳng (P) được tính bởi công thức: , ( ) =| |

* Chú ý: Theo công thức trên ta có thể chứng minh rằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (P):

+ + + = 0, (P’): + + + ′ = 0 là ( ); ( ) = | |

III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

1 Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng (D) đi qua điểm ( ; ; ) và có vectơ chỉ phương → = ( ; ; ) có phương trình tham số là: = = + +

= + ( + + ≠ 0)

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng: Đường thẳng (D) đi qua điểm ( ; ; ) và có vectơ chỉ phương → = ( ; ; ) có phương trình chính tắc là: = = ( ≠ 0)

a

b (P)

[a;b]

Trang 3

3 Phương trình tổng quát của đường thẳng: Đường thẳng (D) là giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau

(P) và (Q) có phương trình (P): + + + = 0, (Q): + + + = 0

Điểm ( ; ; ) ∈ ( ) ⇔ Tọa độ ( ; ; ) thỏa hệ phương trình + + + + + + = 0= 0 (1) Hệ phương trình (1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng (D) Từ phương trình tổng quát của đường thẳng (D) ta có thể xác định được một vectơ chỉ phương là → = [ ⃗; ⃗] = ; ;

4 Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (Δ ) đi qua diểm và có vectơ chỉ phương , (Δ ) đi qua diểm và có vectơ chỉ phương Ta có các trường hợp sau: * (Δ ) và (Δ ) cùng nằm trong 1 mặt phẳng ⇔ , ⃗ = 0

* (Δ ) và (Δ ) chéo nhau ⇔ , ⃗ ≠ 0

* (Δ ) và (Δ ) cắt nhau ⇔ , ⃗ = 0

, ≠ 0 ⃗ ↔ ∦

* (Δ ) song song (Δ ) ⇔ , = 0 ⃗

, ⃗ ≠ 0 ⃗ ⇔ ∥

∦ ⃗

* (Δ ) ≡ (Δ ) ⇔ , = 0 ⃗

, ⃗ = 0 ⃗ ⇔ ∥

∥ ⃗

5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng : (Δ) đi qua diểm và có vectơ chỉ phương → và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến → Ta có các trường hợp sau: * Đường thẳng (Δ) ∥ ( ) ⇔ → → = 0

∉ ( ) * Đường thẳng (Δ) ⊂ ( ) ⇔ → → = 0

∈ ( ) * Đường thẳng (Δ) cắt mặt phẳng ( ) ⇔ → → ≠ 0 * Đường thẳng ( ) ⊥ ( ) ⇔ → ∥ → 6 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, giữa 2 đường thẳng chéo nhau: * Cho đường thẳng : (Δ) đi qua diểm và có vectơ chỉ phương → Lúc đó khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (Δ)được tính bởi công thức: , ( ) = ⎯ , →

→ * Cho 2 đường thẳng chéo nhau: +(Δ ) đi qua có VTCP và (Δ ) đi qua có VTCP Lúc đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng được tính theo công thức sau: ( , ) = , , ⃗

7.Góc: *Góc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (Δ ) có VTCP → và (Δ ) có VTCP → Lúc đó góc giữa 2 đường thẳng được tính bởi công thức sau: = → ; → = → →

→ → = | |

* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng (Δ) có VTCP → = ( ; ; ) và mặt phẳng (P)

có VTPT là ⃗ = ( ; ; ) Lúc đó góc hợp bởi (Δ) và (P) được tính theo công thức sau:

Trang 4

= → ; → = → →

→ → = √ + | + + |+ √ + +

* Góc giữa 2 mặt phẳng: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: ⃗ = ( ; ; ), ⃗ = ( ; ; ) Lúc đó góc hợp bởi (P) và (Q) được tính theo công thức sau:

= | ( ⃗; ⃗)| =| | ⃗|.| ⃗ ⃗| ⃗|= | |

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

1 Phương trình mặt cầu: có 2 dạng

ạ 1: ( − ) + ( − ) + ( − ) = Tâm ( ; ; ) và bán kính

ạ 2: + + − 2 − 2 − 2 + = 0, với điều kiện + + − > 0 Lúc đó tâm của mặt cầu có tọa độ ( ; ; ) bán kính = √ + + −

2 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:

( ): ( − ) + ( − ) + ( − ) = , ( ): + + + = 0 Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R Ta có các trường hợp sau:

a) , ( ) > : (P) không cắt (S)

b) , ( ) = : (P) tiếp xúc với (S)

c) , ( ) < : (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có phương trình là:

( − ) + + + = 0+ ( − ) + ( − ) = Đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và bán kính = √ − , với = , ( )

3 Chùm mặt cầu: *Cho 2 mặt cầu giao nhau (giao tuyến là một đường tròn hoặc 1 điểm) có phương trình:

( ): + + − 2 − 2 − 2 + = 0 ( ): + + − 2 − 2 − 2 + = 0 Lúc đó phương trình mặt cầu ( ) đi qua giao tuyến của ( ) à ( ) là :

( ): ( + + − 2 − 2 − 2 + ) + ( + + − 2 − 2 − 2 + ) = 0 với + ≠ 0

Tương tự ta cũng suy ra phương trình mặt cầu chứa đường tròn ( ) = ( ) ∩ ( ) (với (S) có phương trình dạng 2, (P) có phương trình như trên) có dạng:

( ): + + − 2 − 2 − 2 + + ( + + + ) = 0

* Chú ý: Từ vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ta có thể giải bài toán sau:

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : = | + + + | ớ ( , , ) ℎỏ ã đ ề ệ : + +

− 2 − 2 − 2 + = 0, ( + + − > 0)

Trang 5

N Một vài phương pháp giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng : N

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C Giải: Tính ⃗, ⃗, → ⃗, ⃗ Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B, C) có cặp vectơ chỉ phương ⃗, ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ⃗ Từ đó phương trình tổng quát (P):

*lưu ý: Nếu A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) thì phương trình (ABC): + + = 1(pt mặt phẳng đoạn chắn)

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B, và (P) //CD Giải: Tính ⃗, ⃗, →

[ ⃗, ⃗] Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B) có cặp vectơ chỉ phương ⃗, ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ⃗ Từ đó phương trình tổng quát (P): (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt không?)

Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B, và (P) //(∆) Giải: Tính ⃗, từ phương trình của đường thẳng (∆) suy ra vectơ chỉ phương: ⃗ Sau đó tính tích có hướng ∆ ⃗, ⃗ Mặt phẳng (P) ∆ cần tìm là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B) có cặp vectơ chỉ phương ⃗, ∆ ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ∆ ⃗ Từ đó phương trình tổng quát (P): (kiểm tra lại (P) có thoả ycbt không?)

Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng (∆ ) và (P) //(∆ ) Giải: Từ phương trình của đường thẳng (∆ ), (∆ ) suy ra (∆ ) đi qua ,vectơ chỉ phương: ⃗, (∆ ) có vectơ chỉ phương ⃗ Sau đó tính tích có hướng [ ⃗, ⃗] Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng qua điểm có cặp vectơ chỉ phương ⃗, ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = [ ⃗, ⃗] Từ đó phương trình tổng quát (P):

Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (∆ ) và (∆ ) Giải: Trước hết kiểm tra xem vị trí tương đối của ( ), ( )

* Nếu ( ) ≡ ( ) thì có vô số mặt phẳng thoả yêu cầu bài toán

* Nếu ( ) chéo ( ) thì không tồn tại mặt phẳng thoả ycbt

* Nếu ( ) cắt ( ) thì tồn tại duy nhất mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng ( ) à ( ) Mặt phẳng (P) qua ∈ ( ) ℎ ặ ∈ ( ) , ó ặ à ⃗, ⃗ ⟹ ⃗ = [ ⃗, ⃗]

* Nếu ( ) ∥ ( ) ℎì ( ) đ ∈ ( ) ℎ ặ ∈ ( ) ó ặ à ⃗, ⃗ ⇒

( ) ó ⃗ = ⃗, ⃗ hoặc ⃗ = ⃗, ⃗ Tuyệt đối không được dùng ⃗ = [ ⃗, ⃗], vì lúc đó

[ ⃗, ⃗] = 0 ⃗ ( )//( )

Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (đi qua) đường thẳng (∆ ) và (P) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình của đường thẳng (∆ ), suy ra (∆ ) đi qua ,vectơ chỉ phương: ⃗, từ phương trình mp( ) suy ra (Q) có VTPT ⃗ Sau đó tính tích có hướng ⃗, ⃗ Mặt phẳng (P) chứa (∆ ) nên (P) có 1 vectơ

Trang 6

chỉ phương là ⃗, (P) ⊥ ( ) nên (P) có thêm 1 vectơ chỉ phương nữa là ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ⃗ Từ đó phương trình tổng quát (P):

Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và (P) ⊥ ( ), (P) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình mp( ), mp(R) suy ra (Q) có VTPT ⃗ , (R) có VTPT: ⃗ Ta có (P) ⊥ ( ), (P) ⊥ ( ) nên (P) có 2 vectơ chỉ phương nữa là ⃗, ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ⃗ Từ đó phương trình tổng quát (P):

Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và (P) chứa đường thẳng (∆) Giải: Từ

phương trình (∆), suy ra ∆ đi qua và có vectơ chỉ phương: ⃗ Khi đó mặt phẳng (P) qua điểm A (hoặc ∆ ) có cặp vectơ chỉ phương là ⃗, ∆ ⃗ Do đó (P) có VTPT: ⃗ = ⃗, ∆ ⃗ Từ đó phương trình tổng quát (P):

Bài toán 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (chứa) giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R) và (P) đi

qua A Giải: Do mặt phẳng (P) đi qua (chứa) giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R) nên phương trình (P) có dạng chùm : ể á ( ) + ế á ( ) = 0, ( + ≠ 0) Cho (P) đi qua điểm A ta được 1 phương trình: ? +? ? = 0 → =???→ ℎọ , Từ đó phương trình tổng quát (P):

Bài toán 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B ( hoặc chứa đường thẳng ∆) và khoảng cách từ điểm I cho trước đến mặt phẳng (P) bằng hằng số cho trước ( hoặc có thể thay bởi điều kiện khác: “ (P) hợp với (Q) 1 góc cho trước, ) Giải: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB (hoặc ∆) (tức là

AB hay ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q), (R)) Do đó mặt phẳng (P) đi qua A,B (hoặc chứa) ∆ nên phương trình (P) có dạng chùm : ( ) + ( ) = 0, ( + ≠ 0) Sử dụng thêm điều kiện ( , ∆) = , hoặc điều kiện (P) hợp với (Q) 1 góc cho trước, ta được 1 phương trình: ? +? ? = 0 → =

???→ ℎọ , Từ đó phương trình tổng quát (P):

Bài toán 11: Viết phương trình hình chiếu ( ) vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) Giải:

Từ phương trình của (d) suy ra (d) đi qua A và có VTCP: ⃗, từ phương trình (P) suy ra (P) có VTPT: ⃗ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và ( ) ⊥ ( ) Lúc đó (Q) đi qua A và có cặp VTCP là ⃗, ⃗ , suy ra (Q) có VTPT:

⃗ = [ ⃗, ⃗] Do đó ta viết được phương trình tổng quát của (Q) Hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (P) chính

là giao tuyến của (P) và (Q) Phương trình tổng quát của hình chiếu( ) ì ℎ ( ) ì ℎ ( ) , có thể đổi về PTTS, hoặc PTCT nếu đề yêu cầu

Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A và vuông góc với 2 đường thẳng

( ), ( ) Giải: Từ 2 phương trình của ( ), ( ), suy ra ( ) đi qua và có VTCP: ⃗, ( ) đi qua

Trang 7

và có VTCP ⃗ Ta có (D) vuông góc với ( ), ( ) nên (D) có VTCP: ⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham

số (D):

Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ( ) và (D) // (P) Giải: Từ phương trình của ( ) suy ra ( ) đi qua và có VTCP: ⃗, từ pt (P) suy ra (P) có VTPT

⃗ Ta có ( ) ⊥ ( ( ) ∥ ( ) → ) ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ Do đó ta chọn ⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham số (D):

Bài toán 14: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A, (D) //mp(P) và (D)//mp(Q) Giải: Từ

phương trình của ( ), (Q) suy ra 2 VTCP tương ứng là: ⃗, ⃗ Ta có ( ) ∥ ( ) ( ) ∥ ( ) → ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ Do đó ta chọn ⃗ = [ ⃗, ⃗] → phương trình tham số (D):

Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A,cắt 2 đường thẳng ( ), ( ) Giải:

Cách1: Viết phương trình 2 đường thẳng ( ), ( ) về PTTS, Từ đó gọi (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( !) , (∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ ( ). Tính ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ Ta có A, M, N thẳng hàng ⇔ ⃗, ⃗ =

0 ⃗ Giải hệ 2 ẩn 2 phương trình ta được t và t’, suy ra ⃗ Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng

MN qua A có VTCP là ⃗ → phương trình tham số (D): Cách 2: Gọi mặt phẳng

( ) = ( ; ), ( ) = ( ; ) Giao tuyến (∆) của 2 mặt phẳng ( ) à ( ) chính là đường thẳng nghi ngờ (99% (∆) là đường thẳng cần tìm) Ta thu được phương trình tổng quát của (∆): ( ) ( ) lưu ý rõ ràng (∆) đi qua A, còn chỉ cần kiểm tra lại (∆) có cắt ( ) à ( ) không ( vì (∆), ( (∆), ( ) ⊂ ( ) ) ⊂ ( ) nên chỉ cần kiểm tra ∆ ⃗ ∦ ∆ ⃗ ∦ ⃗ ⃗ là xong)

Bài toán 16: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A, cắt đường thẳng ( ) và ( ) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình của 2 đường thẳng ta suy ra ( ) đi qua và có VTCP: ⃗, ( ) có VTCP ⃗ Viết phương trình đường thẳng ( ) về PTTS, Từ đó gọi (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( !) , (1 ẩn t) Tính ⃗,

Ta có AM⊥ ( ) ⇔ ⃗ ⊥ ⃗ ⇔ ⃗ ⃗ = 0 Giải phương trình 1 ẩn ta được t , suy ra ⃗ Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng AM qua A có VTCP là ⃗ → phương trình tham số (D):

Bài toán 17: Viết phương trình đường thẳng (D) cắt 2 đường thẳng ( ) ,( )và ( )//( ) Giải:

Cách1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa ( ) à ( )//( ) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ( ) à ( )//( ) Viết phương trình 2 mặt phẳng đó Giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là đường thẳng (D) cần tìm

Trang 8

Cách 2: Từ phương trình của 3 đường thẳng ta suy ra ( ) có VTCP ⃗ Viết phương trình 2 đường thẳng ( ), ( ) về PTTS, Từ đó gọi (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( !) , (∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ ( ). Tính ⃗, ⃗, ⃗ Ta có M N//( ) ⇔ ⃗, ⃗ = 0 ⃗ Giải hệ 2 ẩn 2 phương trình ta được t và t’, suy

ra ⃗ Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng MN qua M (hoặc N) có VTCP là ⃗ → phương trình tham số (D):

Bài toán 18: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’ của A qua (D) ) của điểm A lên đường thẳng (D)

Giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và ( ) ⊥ ( ) Lúc đó (P) qua A, có VTPT là ⃗ = ⃗ ⟹ tổng quát của mặt phẳng(P) Tọa độ điểm H thỏa hệ: ( )

( ) , nếu muốn tìm A’ đối xứng với A qua (D), do A’ đối xứng với A qua (D) nên H là trung điểm của AA’⟹ = 2 − = ⋯ , = 2 − = ⋯ , =

2 − = ⋯,

Bài toán 19: Tìm tọa độ hình chiếu H( điểm đối xứng A’của A qua (P) ) của điểm A lên mặt phẳng (P)

Giải: Gọi (D) là mặt phẳng đi qua A và ( ) ⊥ ( ) Lúc đó (D) qua A và có VTCP là ⃗ = ⃗ ⟹ tham

số của đường thẳng (D) Tọa độ điểm H thỏa hệ: ( )

( ) , nếu muốn tìm A’ đối xứng với A qua (P), do A’ đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’⟹ = 2 − = ⋯ , = 2 − = ⋯ , =

2 − = ⋯,

Bài toán 20: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa độ điểm A Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho MA nhỏ

nhất Giải: Cách1: Từ pttsố của ( ) suy ra (∗ +? ;∗ +? ;∗ +? ) (1 ẩn t) Tính = ( ) + ( ) + ( ) = + + = ( ) ( ư ý > 0) Ta có: ↔ ( ) ↔ = − ( ó ℎể ℎả á ( ))

từ đó suy ra tọa độ điểm M Cách 2: Điểm M cần tìm chính là hình chiếu của A lên đường thẳng (D) Để tìm tọa độ điểm M ta làm giống Bài toán 18

Bài toán 21: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa độ 2 điểm A và B Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho + nhỏ nhất Giải: Cách1: Từ pttsố của ( ) suy ra (∗ +? ;∗ +? ;∗ +? ) (1 ẩn t) Tính + = ⋯ = + + = ( ) ( ư ý > 0) Ta có: + nhỏ nhất ↔ ( ) ↔ =

− ( ó ℎể ℎả á ( )) từ đó suy ra tọa độ điểm M Cách 2: Gọi H là trung điểm của AB suy ra tọa độ

điểm H Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác MAB ta có: + = 2 + Do đó: + nhỏ nhất ↔ nhỏ nhất↔ M là hình chiếu của H lên đường thẳng (D) Để tìm tọa độ

điểm M ta làm giống Bài toán 18 Ta có thể tổng quát bài toán lên: Cho phương trình đường thẳng ( ), tọa

độ 3 điểm A, B và C.tìm M thuộc ( ) sao cho + 2 + 3 nhỏ nhất

Trang 9

Bài toán 22: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ 2 điểm A, B Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho

+ nhỏ nhất Giải: Gọi H là trung điểm của AB suy ra tọa độ điểm H Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác MAB ta có: + = 2 + Do đó: + nhỏ nhất ↔ nhỏ nhất↔ M là hình chiếu của H lên mặt phẳng (P) Để tìm tọa độ điểm M ta làm giống Bài toán 19 Ta có thể

tổng quát bài toán lên: Cho phương trình mặt phẳng ( ), tọa độ 3 điểm A, B,C Tìm điểm M thuộc ( ) sao cho + 2 + 3 nhỏ nhất tìm M thuộc ( ) sao cho + 2009 + 2010 nhỏ nhất hay + 2009 − 2012 lớn nhất ( giảng tại lớp )

+ nhỏ nhất Giải: Kiểm tra 2 điểm A, B có nằm cùng phía hay trái phía đối với ( ) đặt ( , , ) =

ế á ( ) Nếu ( ) ( ) < 0 ↔ , á ℎí ớ ( ), ượ ạ ℎì ù ℎí Trường hợp 1:

Nếu A, B trái phía so với (P) thì + ≥ , + nhỏ nhất khi M nằm giữa A và B hay khi M là giao điểm của ớ ( ) Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ của M

thỏa hệ

( ) Trường hợp 2: Nếu A, B cùng phía so với (P) thì ta gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt

phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài toán 18) Ta có + = + ≥ , + nhỏ nhất ↔

+ nhỏ nhất ↔M nằm giữa A’ và B hay khi M là giao điểm của ′ ớ ( ) Để tìm tọa độ điểm

M ta viết phương trình đường thẳng A’B, tọa độ của M thỏa hệ ′ ( )

| − | lớn nhất Giải: Kiểm tra 2 điểm A, B có nằm cùng phía hay trái phía đối với ( ) đặt

( , , ) = ế á ( ) Nếu ( ) ( ) < 0 ↔ , á ℎí ớ ( ), ượ ạ ℎì ù ℎí

Trường hợp 1: Nếu A, B cùng phía so với (P) thì ta có | − | ≤ , | − | = ↔

, , thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB ↔ M là giao điểm của ớ ( ) Để tìm tọa độ điểm M

ta viết phương trình đường thẳng AB, tọa độ của M thỏa hệ

( ) Trường hợp 2: Nếu A, B trái phía so với (P) thì gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P), tìm tọa độ A’ (Bài toán 18) Lúc đó | − | =

| ′ − | ≤ ′ ,| − | = | ′ − | = ′ ↔ , ′, thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn ’ ↔ M là giao điểm của ′ ớ ( ) Để tìm tọa độ điểm M ta viết phương trình đường thẳng

′ , tọa độ của M thỏa hệ ′ ( )

Trang 10

Bài toán 25: Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A , cắt đường thẳng ( ) và ( ) ⊥ ( ) Giải: Thực ra đây là bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua A và qua hình chiếu H của A lên đt ( ) (Bài

toán 18)

Bài toán 26: Cho mặt phẳng (P) và 2 đường thẳng ( ), ( ) Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong mặt phẳng(P) và (D) cắt 2 đường thẳng ( ), ( ) Giải: Gọi = ( ) ∩ ( ), tọa độ A thỏa hệ: : ( )

( ) , gọi = ( ) ∩ ( ), tọa độ B thỏa hệ: : ( )

( ) Đường thẳng cần tìm chính là đt AB

Bài toán 27: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng ( ), gọi = ( ) ∩ ( ) Viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) , ( ) đi qua A và ( ) ⊥ ( ) Giải: Từ phương trình của (P) , (D) ta suy ra ⃗, ⃗ Do = ( ) ∩ ( ), tọa độ A thỏa hệ: : ( )( ) Ta có ⊂ ( )⊥ ⟺ ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗. ⃗ Ta

chọn ⃗ = [ ⃗, ⃗] , Đường thẳng ( ) đi qua A và có VTCP ⃗

Bài toán 28: Cho mặt phẳng (P), điểm A và đường thẳng ( ) Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua

A song song với (P) đồng thời cắt đường thẳng (D) Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng qua A song song với (P), gọi = ( ) ∩ ( ) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB

Bài toán 29: Cho 2 đường thẳng chéo nhau ( ), ( ).Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung Giải: Cách 1: Từ phương trình( ), ( ) suy ra 2 VTCP tương ứng là: ⃗, ⃗ Viết phương trình đường thẳng ( ), ( ) về dạng tham số Gọi (∗ +? ;∗ +? ; ? + ∗ ) ∈ ( !) , (∗ +? ′;∗ +? ′; ? + ∗ ′) ∈ ( ) Tính ⃗, khi đó MN là đường vuông góc chung của ( ), ( ) ⟺ ⊥ ⊥ ⟺ ⃗ ⊥ ⃗

⃗ ⊥ ⃗ ⟺ ⃗ ⃗ = 0

⃗ ⃗ = 0 Giải hệ này ( bấm máy) ta dược t và t’, suy ra tọa độ 2 điểm M, N, ọ độ ⃗ Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng MN, phương trình tham số:

Bài toán 30: Cho 2 điểm A và B Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ

B đến mặt phẳng (P) là lớn nhất Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) Ta luôn có đường vuông góc bé hơn hoặc bằng đường xiên: ≤ , = ↔ ≡ ↔ ( ) đi qua A và vuông góc với AB suy ra phương trình mặt phẳng (P)

Bài toán 31: Cho điểm A và phương trình đường thẳng (D) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (∆) (hay đi qua (∆)) sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất Giải: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P), gọi là hình chiếu của A lên đường thẳng (D) Ta luôn có đường vuông góc bé hơn hoặc bằng đường xiên: ≤ , = ↔ ≡ ↔ ( ) chứa (D) và vuông góc với hay

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	214,03 KB