Giáo trình: Học phần độ đo và tích phân I

Giáo trình: Học phần độ đo và tích phân I

HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG I ĐỘ ĐO

$1 ĐẠI SỐ σ - ĐẠI SỐ

1 Đại số

a) Định nghĩa 1 Cho tập hợp X ≠ φ Một họ N các tập con của

X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều

1 được suy từ (i), (ii)

2 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:

Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất

" khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N)

a) Định nghĩa 2 Cho tập hợp X ≠ φ Một họ M các tập con của

X được gọi là một σ - đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn

ba điều kiện sau:

- Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh

- Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:

phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của

3 Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X và Z ∈ M

Đặt MZ là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z

Chứng minh MZ là một σ - đại số các tập con của tập hợp Z

$2 ĐỘ ĐO

1 Tập hợp số thực không âm mở rộng

Cho tập hợp số thực không âm [ 0 , +∞ )

Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là +∞ , tập hợp mới thu được là [ 0 , +∞ ] Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với các quy ước về phép toán như sau

Định nghĩa 1 μ được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một

họ hữu hạn các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, , An ∈ M thì

∑ ∞

+

=

∞ +

Định nghĩa 4 Cặp (X, M), trong đó M là σ - đại số các tập con của

tập hợp X, được gọi là không gian đo được Mỗi tập hợp A ∈ M được gọi là một tập đo được

Định nghĩa 5 Bộ ba (X, M, μ), trong đó M là σ - đại số các tập con của tập hợp X, μ là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo

Nếu A ∈ M thì số μ(A) được gọi là độ đo của tập hợp A

Định nghĩa 5 Độ đo μ được gọi là độ đo hữu hạn nếu μ(X) < +∞

Độ đo μ được gọi là độ đo σ - hữu hạn, nếu X = U∞

a) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X

Xét ánh xạ μ : M → [ 0 , +∞ ] xác định bởi μ(A) = 0 với mọi A

∈ M

Khi đó μ là một độ đo hữu hạn

b) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X

Xét ánh xạ μ : M → [ 0 , +∞ ] xác định bởi

μ(φ ) = 0 , μ(A) = +∞ với mọi A ∈ M và A ≠ φ

Khi đó μ là một độ đo không σ - hữu hạn

c) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X và x0∈ X

Xét ánh xạ μ : M → [ 0 , +∞ ] xác định bởi :

- Nếu A ∈ M và x0∈ A thì μ(A) = 1 ;

- Nếu A ∈ M và x0∉ A thì μ(A) = 0

Chứng minh rằng μ là một độ đo hữu hạn

Nhận xét Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một σ - đại số các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ

đo tương ứng với các tính chất khác nhau

k Ak, trong đó các tập hợp Ak đôi một rời nhau,

Ak∈ M và μ(Ak) < +∞ với mọi A ∈ M và mọi k

9 Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được, nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ , thì

) ( lim )

Định nghĩa 6 Độ đo μ được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập

có độ đo không đều là tập đo được

Nhận xét Nếu μ là độ đo không đủ thì ta có thể thác triển μ

thành một độ đo đủ nhờ định lý dưới đây

Định lý Giả sử (X, M, μ) là một không gian độ đo

Gọi M' là họ tất cả các tập hợp A có dạng

A = B ∪ C (1) trong đó B ∈ M, C ⊂ D, D ∈ M, μ(D) = 0

Với mỗi tập hợp A có dạng (1), đặt μ' là ánh xạ sao cho

μ'(A) = μ(B) (2) Khi đó:

i) (X, M', μ') là một không gian độ đo;

ii) μ' là độ đo đủ

Định nghĩa 7 M' được gọi là bổ sung Lebesgue của σ - đại số M và

μ' được gọi là thác triển Lebesgue của độ đo μ

6 Thác triển ánh xạ σ - cộng tính thành độ đo

Định lý (Hahn) Cho N là một đại số các tập con của tập hợp X và

m : N → [ 0 , +∞ ] là một ánh xạ σ - cộng tính Khi đó tồn tại một

σ - đại số M chứa N và một độ đo đủ μ : M → [ 0 , +∞ ] sao cho

μ(A) = m(A) với mọi A ∈ N Ngoài ra, nếu m là σ - hữu hạn thì

Để ý rằng giao của hai khoảng bất kỳ trong ℜ cũng là khoảng trong ℜ hoặc là tập hợp rỗng

Định nghĩa 2 Nếu Ι là khoảng trong ℜ có hai đầu mút là a, b (-∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞) thì ta gọi số Ι = b - a là độ dài của Ι

2 Đại số các tập con của ℜ

Xét họ N các tập hợp P là hợp của hữu hạn các khoảng trong ℜ

không giao nhau:

nếu P có biểu diễn như trong (1)

Định lý 1 N là một đại số các tập con của ℜ

Chứng minh

Ta kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa đại số

(i) Ta có ℜ = (-∞, +∞) ( hợp của một khoảng) nên hiển nhiên

ℜ ∈ N

(ii) Giả sử P ∈ N thì P là hợp của hữu hạn khoảng không giao

nhau Khi đó dễ thấy ℜ \ P cũng là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau Vậy ℜ \ P ∈ N

(iii) Giả sử P, Q ∈ N, ta cần chứng minh P ∪ Q ∈ N

j

k j

J I

J P J

P Q

P

1 1

1 1

1 1

) (

] )

[(

) (

) (

Bây giờ ta chứng minh P ∪ Q ∈ N khi P, Q ∈ N

Thậy vậy, ta có P, Q ∈ N nên theo (ii) ℜ \ P ∈ N , ℜ \ Q ∈ N Khi

đó, theo phần vừa chứng minh, (ℜ \ P) ∩ (ℜ \ Q) ∈ N , hay

ℜ \ (P ∪ Q) ∈ N, lại theo (ii) suy ra P ∪ Q ∈ N

Vậy, N là đại số các tập con của ℜ, định lý được chứng minh

Định lý 2 Ánh xạ m ánh xạ σ - cộng tính

Chứng minh

Giả sử Q = U∞

=1

k Pk, trong đó các tập hợp Pk đôi một rời nhau,

Q, Pk∈ N (Q và Pk đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau)

m

Không mất tính tổng quát ta có thể xem Q và mỗi Pk chỉ là một khoảng trong ℜ

Trước hết ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng hữu hạn

Khi đó các Pk cũng là khoảng hữu hạn

Giả sử Q là khoảng hữu hạn có hai đầu mút là a, b , còn Pk cóhai đầu mút là ak, bk

- Với mỗi n = 1, 2, , luôn tồn tại hữu hạn các khoảng Ιi ( i = 1, 2, , ni ) sao cho

1

Cho n → + ∞, ta được

) ,

Q , , ,

2 1

=

∞ +

−

≤

≤ +

) (

) (

i k i

i

a b

a b

a b

a

b

ε ε

ε lại là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu

u1 = ε, công bội q = 1/2 nên hội tụ và có tổng là 2ε

Vậy

) ,

(

n a a n

a Q

có một σ - đại số M chứa N và một độ đo đủ μ là thác triển của

m từ N lên M

3 Độ đo Lebesgue trên ℜ

Định nghĩa 3 Độ đo μ và σ - đại số M nhận được khi thác triển

ánh xạ m trên đại số N các tập con của ℜ được gọi lần lượt là độ đo

Lebesgue và σ - đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên

2 Tập không quá đếm được trên ℜ có độ đo không

3 Tập mở, tập đóng trên ℜ là tập đo được

4 Tập A ⊂ ℜ là đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại các tập mở G, tập đóng F sao cho F ⊂ A ⊂ Q và μ(G \ F) < ε

5 Nếu A đo được thì các tập hợp t A , x0 + A ( t, x0∈ℜ) cũng

đo được và μ( t A ) = / t /μ( A ) , μ( x0 + A ) =μ( A),

trong đó

tA = / ∈ , 0 + = 0 + / ∈

Các ví dụ

a) Tập hợp Q các số hữu tỷ có độ đo không

b) Tập hợp Cantor P0 trên [0, 1] xây dựng theo cách dưới đây có độ

đo không

Xét tập hợp [0, 1]

- Bước 1 Chia [0, 1] thành ba khoảng bằng nhau, bỏ đi khoảng giữa G1 = (1/3, 2/3)

- Bước 2 Chia ba mỗi đoạn còn lại là [0, 1/3] và [2/3, 1] , bỏ đi khoảng giữa của chúng, đặt G2 = (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9)

) (

)

(

n n

=

0

) 1 , 0 ( )

(

1

x khi

x khi x

là hàm số không hữu hạn trên [0, 1)

3 Hàm số đo được

Dưới đây ta cho (X, M) là không gian đo được và A ∈ M

Định nghĩa 2 Hàm số f : A → ℜ được gọi là đo được trên A nếu

ℜ

∈

∀ a , x A / f ( x ) a M Nếu X = ℜ và M là σ - đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên ℜ, thì f được gọi là hàm đo được theo Lebesgue

Các ví dụ

4 Hàm hằng trên A là đo được trên A

Thật vậy, giả sử f(x) = c = const với mọi x ∈ A và a là một số thực bất

Vậy f đo được trên A

5 Các hàm số đã xét ở ví dụ 1, 2, 3 đều là hàm đo được trên các tập tương ứng

Định lý 1 Các điều kiện sau đây là tương đương

(1) Hàm số f đo được trên A

ℜ

∈

∀ a , x A / f ( x ) a M (4)

ℜ

∈

∀ a , x A / f ( x ) a M

n

n n

C D

Thật vậy, lấy x ∈ D thì x ∈ A và f(x) > a Theo tính chất trù mật của tập

số thực, tồn tại n0 sao cho f x ≥ a + n > a

0

1

) (

Suy ra x ∈ Cn0 do đó ∈ U+∞=

1

n n

C x

Ngược lại, lấy ∈ U+∞=

1

n n

f ( ) > − 1 Suy ra x ∈ Dn với mọi n, do đó ∈ I+∞=

1

n

n

D x

Ngược lại, lấy ∈ I+∞=

f ( ) > − 1 với mọi n Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức cuối

cùng này khi n → +∞, ta được lim ( ) lim ( 1)

n n

n f x = a −

+∞

→ +∞

a x

f ( ) ≥ Do đó x ∈ C

Vậy ta có các đẳng thức về tập hợp cần chứng minh trên đây

- Bây giờ ta chứng minh (2) ⇔(3)

Thật vậy, giả sử ta có (2), khi đó với mọi a ∈ ℜ và mọi n ta có Cn ∈ M Mà M là σ - đại số nên D ∈ M Vậy (3) được thoả mãn

Ngược lại, giả sử ta có (3) Khi đó với mọi a ∈ ℜ và mọi n ta có Dn ∈

M Mà M là σ - đại số nên C ∈ M Vậy (2) được thoả mãn

∞

=

Α = U Α thì f đo được trên Α

4 Các tính chất của hàm đo được

1º Nếu f đo được trên Α và c = const ∈ ℜ thì cf đo được trên Α

2º Nếu f , g đo được và hữu hạn trên Α thì f + g, fg đo được trên Α

3º Nếu f đo được trên Α, α > 0 thì f α đo được trên Α

4º Nếu f x ( ) ≠ 0, ∀ ∈ Α x và f đo được trên Α thì 1

f đo được trên Α 5º Nếu f , g đo được trên Α thì max ( f g , ), min ( f g , ) đo được trên Α 6º Nếu { } fn là dãy hàm đo được trên Α thì sup n

→∞ đo được trên Α

7º Nếu { } fn hội tụ trên Α, fn đo được trên Α thì lim n

→∞ đo được trên Α

8º Nếu f , g đo được trên Α thì các tập hợp { x ∈ Α / f x ( ) < g x ( ) },

neu x

χΑ = ⎨ ⎧ ∈ Α ∉ Α

⎩được gọi là hàm số đặc trưng của Α (trên Χ)

Tương tự ta có khái niệm hàm đặc trưng của tập hợp E trên A

khi

Q x khi

x D

\ 0

1 )

(

là hàm đặc trưng của Q trên ℜ

Ta xét tính chất đo được của hàm đặc trưng

Định lý 2 Hàm đặc trưng χE của tập hợp Ε ⊂ Α là đo được trên Α khi và chỉ khi E ∈ M

- Nếu E ∈ M thì A \ E ∈ M , do đó χE đo được trên Α

- Nếu E ∉ M thì A \ E ∉ M , do đó χE không đo được trên Α

] 4 , 3 [ 2

) 3 , 1 [ 1

) (

khi khi

x khi x

( )

( )

( x 1 1 x 2 2 x 3 3 x

f = α χA + α χA + α χA với mọi x ∈ [1, 7)

Xét tính chất của hàm đơn giản

Cho ( Χ M , ) - không gian đo được, A ∈ M

Định lý 3 Cho S là hàm đơn giản trên Α

( ) ( )

1 k

n

k k

U1 , Αk rời nhau, αk khác nhau

Khi đó S đo được trên Α khi và chỉ khi mọi Ak ∈ M

đo được)

7 Cấu trúc của hàm đo được

Định lý 4 Mọi hàm số đo được không âm trên Α đều là giới hạn của một dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được trên Α

Chứng minh

Giả sử f là hàm đo được không âm trên Α

Đặt

- Nếu f x ( ) = +∞ thì S xn( ) = n với ∀ n

Suy ra, lim n ( ) ( )

→∞ = +∞ = Vậy, lim n( ) ( ) ,

→∞ = ∀ ∈ Α trong cả hai trường hợp

$5 SỰ HỘI TỤ HẦU KHẮP NƠI

1 Khái niệm hầu khắp nơi

Định nghĩa 1 Cho không gian độ đo (X, M, μ) và A ∈ M Ta nói một tính chất ℑ nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên tập hợp A nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B ∈ M, μ(B) = 0 sao cho tính chất ℑ xảy ra tại mọi x ∈ A

\ B

Nói một cách khác, các điểm x ∈ A mà tại đó tính chất ℑ không xảy

ra đều thuộc tập hợp có độ đo không

Hiển nhiên, một tính chất xảy ra ( khắp nơi ) trên A thì xảy ra hầu khắp nơi trên A

Sau đây ta đưa ra một vài khái niệm cụ thể thường sử dụng

Định nghĩa 2 Hai hàm số f, g cùng xác định trên tập hợp

A ∈ M được gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên A (hay tương

đương nhau trên A ) nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B ∈ M, μ(B) = 0 sao cho f(x) = g(x) với mọi x ∈ A \ B

Khi đó ta ký hiệu f ~ g (trên A)

Ví dụ 1 Hàm số Dirichlet D(x) ~ 0 trên ℜ vì D(x) = 0 với mọi

x ∈ ℜ \ Q , trong đó Q ⊂ ℜ là tập đo được và có độ đo không

∈

=

0

) 1 , 0 ( )

x khi

x khi x

tương đương với hàm số

) 1 , 0 ( )

x khi

x khi x

trên [0, 1), vì f(x) = g(x) với mọi x ∈ [0, 1) \ B, trong đó

B = {0} là tập con của [0, 1), đo được và có độ đo không

khi x

Q x

khi x

x

f

\ ] , 0 [ cos

] , 0 [ sin

tương đương với hàm số g(x) = cosx trên [0, π2 ]

Định nghĩa 3 Hàm số f được gọi là hữu hạn hầu khắp nơi trên tập hợp A ∈

M nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B ∈ M,

μ(B)= 0 sao cho f(x) ∈ ℜ với mọi x ∈ A \ B

Ví dụ 4 Hàm số f(x) được cho ở ví dụ 2 hữu hạn hầu khắp nơi trên [0, 1)

Định nghĩa 4 Hàm số f được gọi là xác định hầu khắp nơi trên tập hợp A ∈

M nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B ∈ M,

μ(B) = 0 sao cho f xác định trên A \ B

Ví dụ 5 Hàm số sơ cấp f ( x ) = 1x xác định hầu khắp nơi trên ℜ

Định nghĩa 5 Dãy hàm số { } fn được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm

số f trên tập hợp A ∈ M nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B ∈ M, μ(B) =

0 sao cho lim fn( x ) f ( x )

x x

)

hội tụ hầu khắp nơi về hàm số f ( x ) = x42−+3x x trên [-1, 1]

2 Sự hội tụ hầu khắp nơi

Định lý 1 Cho không gian độ đo (X, M, μ) và A ∈ M

Khi đó

(i) Nếu f ~ g (trên A) và { } fn hội tụ h.k.n về f trên A thì { } fn

hội tụ h.k.n về g trên A

(ii) Nếu { } fn hội tụ h.k.n về f trên A và { } fn hội tụ h.k.n về g

trên A thì f ~ g (trên A)

Chứng minh

(i) Vì f ~ g (trên A) nên tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B ∈ M, μ(B) =

0 sao cho f(x) = g(x) với mọi x ∈ A \ B

Mặt khác, vì { } fn hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp C ⊂ A ,

C ∈ M, μ(C) = 0 sao cho lim fn( x ) f ( x )

( )

Vậy { } fn hội tụ h.k.n về g trên A

(ii) Tương tự, do { } fn hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp

B ⊂ A , B ∈ M, μ(B) = 0 sao cho lim fn( x ) f ( x )

+∞

mọi x ∈ A \ B

Lại do { } fn hội tụ h.k.n về g trên A nên tồn tại một tập hợp C ⊂ A , C

∈ M, μ(C) = 0 sao cho lim fn( x ) g ( x )

( )

Định lý được chứng minh

Từ định lý suy ra rằng, nếu ta đồng nhất các hàm số tương đương thì

giới hạn của dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi là duy nhất

Định lý 2 (Egoroff) Giả sử { } fn là một dãy hàm đo được, hữu hạn

h.k.n, hội tụ h.k.n về hàm số f đo được, hữu hạn h.k.n trên một tập hợp

A có độ đo hữu hạn Khi đó với mỗi ε > 0, tồn tại một tập hợp E đo

được, E ⊂ A sao cho μ(A \ E) < ε và dãy hàm { } fn hội tụ đều về

f trên E

Ý nghĩa: Định lý Egoroff khẳng định rằng mọi sự hội tụ có thể biến thành hội

tụ đều sau khi bỏ đi một tập hợp có độ đo bé tuỳ ý

Mối liên hệ giữa hàm đo được và hàm liên tục trên ℜ

- Nếu A là tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên ℜ và hàm số f :

ℜ

→

A là hàm liên tục trên A thì f đo được (L) trên A

Thật vậy, nếu a ∈ ℜ là một số thực bất kỳ thì vì f liên tục trên A nên

f đo được (L) trên A khi và chỉ khi với mọi số ε > 0,

tồn tại một tập hợp đóng F ⊂ A sao cho μ(A \ F) < ε

Chú ý: Điều kiện f , f1, f2, … hữu hạn hầu khắp nơi đảm bảo cho

ε

ε ε ε

\ \ ( ) ( \ ) ( \ ).

5 Mối liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo

Định lý 2 Nếu dãy hàm số { } fn đo được, hữu hạn hầu khắp nơi, hội tụ hầu khắp nơi đến hàm số f đo được, hữu hạn hầu khắp nơi trên tập hợp A có độ

đo hữu hạn thì fn ⎯⎯→μ f trên A

( ) ( )

n

f x − f x < ε với mọi x ∈Β Khi đó

n

f ⎯⎯→μ f trên A (đpcm)

*Nhận xét

Giả thiết μ ( ) Α < +∞ trong định lý 2 không thể bỏ qua

Ví dụ 2 Giả sử { } fn là một dãy hàm số xác định trên bởi

- Dễ thấy dãy hàm số { } fn hội tụ khắp nơi đến hàm số f trên

Thật vậy, giả sử x ∈ là số cố định, bất kì Khi đó luôn tồn tại số

tự nhiên n0 sao cho x < n 0 Thế thì với mọi số tự nhiên n > n 0, ta

- Tuy nhiên { } fn không hội tụ theo độ đo đến f trên

Thật vậy, với 0 < < ε 1 và với mọi số tự nhiên n, ta đều có

tai cac diem khac

Thế thì f xn( ) → 0 tại mọi điểm, nhưng với ∀ n

Định lý 3 Nếu { } fn hội tụ theo độ đo đến f trên A thì tồn tại dãy con { } fn k

hội tụ hầu khắp nơi đến f trên A

→∞ = với ∀ ∈ Α Β x \ hay dãy con { } fn k hội tụ hầu khắp nơi đến f trên A (đpcm)

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN LEBESGUE

$1 ĐỊNH NGHĨA

1 Tích phân của hàm đơn giản

Cho không gian độ đo ( Χ M , , μ ), Α∈ M và S là hàm đơn giản, đo được trên A Gọi α1, α2, …, αn là các giá trị khác nhau đôi một của S Đặt Ak = { x A S x ∈ : ( ) = αk} , k = 1, n

Thế thì các Ak rời nhau,

1

n k k

∑ được gọi là tích phân của hàm đơn

giản, đo được S trên tập hợp A đối với độ đo μ và kí hiệu

∫ là một số không âm hữu hạn hoặc vô hạn

2 Ta chứng minh định nghĩa tích phân bởi công thức (1) là hợp lý, nghĩa

là chứng minh giá trị của tích phân đó không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm số S(x)

Thật vậy, giả sử hàm đơn giản S(x) có hai cách biểu diễn:

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1 Cho hàm Direchle trên [ ] 0,1 :

[ ] [ ]

2 Nếu hai dãy hàm đơn giản, đo được { } { } fn , gn , n ∈ ¥∗, đơn điệu

tăng và lim n lim n