Giáo trình : Giải tích 1

Giáo trình : Giải tích 1

Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế

Ngày 26 tháng 9 năm 2006

Mục lục

1.1 Trường Số thực 4

1.1.1 Hệ tiên đề 4

1.1.2 Định lý Archimedes 5

1.1.3 Trị tuyệt đối 6

1.1.4 Tập số thực mở rộng 7

1.2 Dãy số 7

1.2.1 Dãy hội tụ 7

1.2.2 Các phép toán qua giới hạn 8

1.2.3 Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ 9

1.2.4 Số e 11

1.3 Chuỗi số 11

1.3.1 Định nghĩa - Tính chất 11

1.3.2 Chuỗi dương 12

1.3.3 Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ 13

1.4 Tôpô trên tập số thực 14

1.4.1 Lân cận - Tập mở 14

1.4.2 Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng 15

1.4.3 Tập compact 17

1.5 Thực hành tính toán trên Maple 17

1.5.1 Giới thiệu phần mềm Maple 17

1.5.2 Các thao tác trên tập hợp 18

1.5.3 Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình 19

1.5.4 Tính giới hạn của dãy số 21

1.5.5 Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn 21

1.6 Bài tập 22 Chương 2 Giới hạn và liên tục của hàm một biến thực 26

2.1 Hàm số 26

2.1.1 Định nghĩa - Phân loại hàm số 26

2.1.2 Các phép toán trên hàm số 27

2.1.3 Một số hàm cơ bản 28

2.2 Giới hạn của hàm số 29

2.2.1 Các định nghĩa 29

2.2.2 Các định lý cơ bản về giới hạn 30

2.2.3 Vô cùng bé, vô cùng lớn 31

2.2.4 Giới hạn của một số hàm số cơ bản 32

2.3 Sự liên tục 33

2.3.1 Định nghĩa 33

2.3.2 Các định lý cơ bản 34

2.3.3 Hàm luỹ thừa, hàm mũ 35

2.4 Thực hành tính toán trên Maple 38

2.4.1 Định nghĩa một hàm số 38

2.4.2 Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ toạ độ Oxy 39

2.4.3 Tính giới hạn của hàm số 42

2.5 Bài tập 42

Chương 3 Đạo hàm và Vi phân của hàm một biến 48 3.1 Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao 48

3.1.1 Định nghĩa 48

3.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 49

3.1.3 Đạo hàm các hàm sơ cấp 49

3.2 Vi phân 50

3.2.1 Vi phân bậc nhất 50

3.2.2 Vi phân cấp cao 51

3.3 Các định lý cơ bản 52

3.3.1 Các định lý giá trị trung bình 52

3.3.2 Quy tắc L’Hospital 53

3.4 Công thức Taylor 54

3.4.1 Đa thức Taylor 54

3.4.2 Ước lượng phần dư 55

3.4.3 Các khai triển quan trọng 56

3.5 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 56

3.5.1 Tính đơn điệu, cực trị 56

3.5.2 Tính lồi lõm, điểm uốn 57

3.6 Thực hành tính toán trên Maple 57

3.6.1 Tính đạo hàm của một hàm số 57

3.6.2 Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n 58

3.6.3 Tính giới hạn các dạng vô định 58

3.6.4 Khảo sát hàm số 59

3.7 Bài tập 59

ĐƯỜNG THẲNG THỰC

1.1 Trường Số thực

1.1.1 Hệ tiên đề

Tập số thực R là tập hợp trên đó có hai phép toán cộng (+), nhân (·) và quan

hệ thứ tự ≤ sao cho R là một trường có thứ tự đầy đủ Cụ thể,

(a) + và · là các phép toán hai ngôi trên R sao cho (R,+,·) lập thành một

trường Tức là,

+ :R × R −→ R, (x, y) −→ x + y.

· :R × R −→ R, (x, y) −→ xy = x · y.

thoả mãn

(R.1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ R;

(R.2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ R;

(R.3) Tồn tại phần tử 0 ∈ R sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ R;

(R.4) Với mọi x ∈ R tồn tại phần tử − x ∈ R sao cho x + (−x) = 0; (R.5) xy = yx với mọi x, y ∈ R;

(R.6) (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ R;

(R.7) Tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x với mọi x ∈ R;

(R.8) Với mọi x ∈ R \ {0} tồn tại phần tử x −1 ∈ R sao cho x(x −1) = 1;

(R.9) (x + y)z = xz + yz với mọi x, y, z ∈ R.

(b) R là một trường sắp thứ tự toàn phần Tức là:

(R.10) x ≤ x với mọi x ∈ R;

Cho A ⊂ R Ta nói A bị chặn trên nếu tồn tại v ∈ R sao cho a ≤ v với mọi

a ∈ A Lúc đó v được gọi là một cận trên của A.

Giả sử A là một tập bị chặn trên, β được gọi là một cận trên đúng của A nếu

nó là cận trên bé nhất của A Tức là,

+ ∀a ∈ A : a ≤ β;

+ ∀u < β, ∃a ∈ A : u < a.

(c) R là một trường được sắp thứ tự đầy đủ Tức là

(R.16) Mọi tập khác rỗng bị chặn trên trong R đều tồn tại cận trên đúng.Tương tự, ta có các định nghĩa về tập bị chặn dưới, cận dưới và cận dưới đúng

Cận trên đúng của A được ký hiệu là supA còn cận dưới đúng được ký hiệu là infA.

Một tập vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn

Định lý 1.1 Mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều tồn tại cận dưới đúng Định lý 1.2 Cho A ⊂ R Lúc đó

a) β = sup A ⇔ {(a ≤ β; ∀a ∈ A) và (∀² > 0, ∃a ∈ A : β − ² < a)}.

b) α = inf A ⇔ {(α ≤ a; ∀a ∈ A) và (∀² > 0, ∃a ∈ A : a < α + ²)}.

c) A bị chặn dưới nếu và chỉ nếu −A bị chặn trên, và lúc đó sup(−A) = − inf A.

1.1.2 Định lý Archimedes

Để dễ sử dụng, ta vẫn gọi số nguyên dương là các số 1, 2, , n, , mà được định nghĩa một cách quy nạp như sau: 1 là phần tử đơn vị; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; · · · ; n = (n − 1) + 1; · · · Ta gọi số nguyên là các số 0, ±1, ±2, ±n, Tập hợp các số

nguyên, số nguyên dương lần lượt được ký hiệu là Z và N∗ Tập hợp N := N∗ ∪ {0}

được gọi là tập các số tự nhiên Q là ký hiệu tập các số hữu tỷ Đó là các số có dạng

m

n := mn

−1 với m ∈ Z, n ∈ N ∗ Cuối cùng, các số thực x ∈ R \ Q được gọi là số vô

tỷ Với hai số thực a, b cho trước, ta gọi:

Đoạn hay khoảng đóng [a, b] là tập {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};

Khoảng hay khoảng mở (a, b) là tập {x ∈ R | a < x < b};

Khoảng nửa đóng trái [a, b) là tập {x ∈ R | a ≤ x < b};

Khoảng nửa đóng phải (a, b] là tập {x ∈ R | a < x ≤ b};

Định lý 1.3 (Định lý Archimedes) Với mọi λ > 0, x ∈ R tồn tại n ∈ Z sao cho

x ∈ [(n − 1)λ, nλ).

Chứng minh Giả sử pλ ≤ x với mọi p ∈ Z Lúc đó tập A := {pλ | p ∈ Z} bị chặn trên, nên tồn tại cận trên đúng β Theo Định lý 1.2 tồn tại p ∈ Z sao cho

pλ > β − λ, hay β < (p + 1)λ ∈ A, vô lý Vậy tồn tại p ∈ Z sao cho x < pλ Lúc

đó tập B := {pλ | p ∈ Z; pλ > x} khác rỗng và bị chặn dưới bởi x, nên tồn tại

α = inf B Cũng theo Định lý 1.2, tồn tại nλ ∈ B sao cho nλ < α + λ

2 Từ đây

ta có (n − 1)λ < α nên (n − 1)λ 6∈ B, hay (n − 1)λ ≤ x Mặt khác, nλ ∈ B nên

x ∈ [(n − 1)λ, nλ).

Áp dụng định lý này với λ = 1 ta suy ra, với mọi số thực x tồn tại số nguyên

n ∈ Z sao cho n ≤ x < n + 1 Số n như vậy được gọi là phần nguyên của x và được

Với mỗi số thực x, ta ký hiệu trị tuyệt đối của nó bởi |x| Đó là số thực được

định nghĩa như sau

trong Mục 1.1.2 ta có

R = (−∞, ∞); R = [−∞, ∞].

1.2 Dãy số

1.2.1 Dãy hội tụ

Ta gọi một dãy số là một ánh xạ f từ tập các số nguyên dương N ∗ (hoặc tập

số tự nhiên N) vào R Lúc đó, nếu ký hiệu x n = f (n) với mỗi n ∈ N ∗ thì dãy f còn được gọi là dãy {x1, x2, · · · , x n , · · · } hay, đơn giản hơn, (x n)n

Cho dãy f = (x n)n Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) với mọi k Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f Trong thực tế, người ta thường đặt n k := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f (ϕ(k)) = f (n k ) = x n k Do đó, dãy con f ◦ ϕ của dãy (x n)n chính là dãy

{x n1, x n2, · · · , x n k , · · · } hay (x n k)k , trong đó n1 < n2 < · · · < n k < · · ·

Một số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (x n)n nếu với mọi số ² dương tồn tại chỉ số n0 đủ lớn sao cho |x n − a| < ², với mọi n ≥ n0 Khi đó ta nói dãy số (x n)n

hội tụ (đến a) và viết theo một trong các cách sau

x n −→

n→∞ x n; a = lim x n Nếu (x n)n không hội tụ (đến một số thực nào) ta gọi nó là dãy phân kỳ

Dãy (x n)n được gọi là phân kỳ đến +∞ (−∞) và ký hiệu

Mệnh đề 1.5 Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

Mệnh đề 1.6 Nếu dãy số (x n)n hội tụ đến một số dương (âm), thì tồn tại n0 sao cho x n > 0 (x n < 0) với mọi n ≥ n0.

1.2.2 Các phép toán qua giới hạn

Định lý 1.7 Cho hai dãy số hội tụ (x n)n và (y n)n và c là một số thực Lúc đó các dãy (x n ± y n)n , (x n y n)n , (cx n)n cũng hội tụ và

a) lim

n→∞ (x n ± y n) = lim

n→∞ x n ± lim

n→∞ y n b) lim

n→∞ (cx n ) = c lim

n→∞ x n c) lim

n→∞ (x n y n) = lim

n→∞ x n lim

n→∞ y n d) Nếu lim

a) Nếu x n ≥ 0 với mọi n thì lim

n→∞ x n ≥ 0.

b) Nếu x n ≥ y n với mọi n thì lim

n→∞ x n ≥ lim

n→∞ y n c) Nếu lim

n→∞ x n = a = lim

n→∞ y n và (z n)n là dãy số sao cho với một số n0 ∈ N nào

đó x n ≥ z n ≥ y n với mọi n ≥ n0, thì lim

n→∞ z n = a.

Mệnh đề 1.9 Nếu dãy (x n)n hội tụ về 0 còn dãy (y n)n bị chặn, thì dãy (x n y n)n

n→∞ (x n y n) = lim

n→∞ x n Mệnh đề 1.11 Cho dãy số (x n)n ⊂ R \ {0}, ta có

1.2.3 Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ

Dãy số (x n)n được gọi là dãy tăng (giảm, không giảm, không tăng) nếu với mọi

n ta có x n < x n+1 (x n > x n+1 , x n ≤ x n+1 , x n ≥ x n+1) Dãy thoả mãn một trongbốn tính chất đó được gọi là dãy đơn điệu

c) Mọi dãy đơn điệu không bị chặn đều phân kỳ đến ∞ hoặc −∞.

Hệ quả 1.2 Cho hai dãy (x n)n , (y n)n sao cho

(i) (x n)n không giảm, (y n)n không tăng;

(ii) x n ≤ y n với mọi n ∈ N.

Lúc đó cả hai dãy trên đều hội tụ và lim x n ≤ lim y n

Nếu thêm điều kiện lim(y n − x n ) = 0 thì lim x n = lim y n

Cho dãy bị chặn (x n)n Với mỗi k ∈ N, ta đặt:

Trường hợp dãy (x n)n không bị chặn, ta cũng có (u k)k , (v k)k là các dãy đơn

điệu trong [−∞, ∞] Do đó ta có thể định nghĩa giới hạn dưới và giới hạn trên (có thể bằng vô cùng) của (x n)n trong mọi trường hợp Kết quả sau cho ta cái nhìn rõràng hơn về các giới hạn này

Mệnh đề 1.13

a) (x n)n không bị chặn trên ⇔ lim sup x n = +∞.

b) (x n)n không bị chặn dưới ⇔ lim inf x n = −∞.

c) lim x n = −∞ ⇔ lim sup x n = −∞.

d) lim x n = +∞ ⇔ lim inf x n = +∞

c) (x n)n hội tụ khi và chỉ khi lim sup x n = lim inf x n ∈ R

Một điểm s ∈ R được gọi là điểm tụ của dãy số (x n)n nếu tồn tại một dãy con

Hơn nữa, nếu ký hiệu C là tập các điểm tụ của dãy, ta có u = min C và v = max C.

Hệ quả 1.3 Một dãy bị chặn là hội tụ khi và chỉ khi nó có một điểm tụ duy nhất.

Hệ quả 1.4 (Định lý Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy số bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ.

Dãy số (x n)n được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu với mọi ² > 0 tồn tại

n0 ∈ N sao cho |x n − x m | < ² với mọi m, n ≥ n0

Mệnh đề 1.16 Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.

Định lý 1.17 (Tiêu chuẩn Cauchy) (x n)n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

n!; v n:= 1 +

11!+

12!+ · · · +

một giá trị đặc biệt và có vai trò rất quan trọng trong giải tích Chúng ta có thể ước

lượng thô số e bởi các bất đẳng thức: 2 = u1 ≤ e ≤ v1 = 3; 8

Cho n → +∞ ta có lim z n ≥ u m Vì m được lấy tuỳ ý ta suy ra lim z n ≥ e và bổ đề

hoàn toàn được chứng minh

1.3 Chuỗi số

1.3.1 Định nghĩa - Tính chất

Cho dãy số (a n)n Với mỗi n ta đặt s n := a1+ a2+ · · · + a n, như vậy ta được

một dãy mới (s n)n , gọi là dãy các tổng riêng Nếu dãy này hội tụ về một giá trị S

Định lý 1.21 (Tiêu chuẩn Cauchy).

Chuỗi (A) hội tụ ⇐⇒ ∀² > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N :

Định lý 1.22 Cho hai chuỗi số dương (A), (B) Nếu tồn tại giới hạn

lim

i→∞

a i

b i = k ∈ (0, +∞), thì hai chuỗi này đồng thời hội tụ hay phân kỳ.

Định lý 1.23 (Tiêu chuẩn Cauchy) Cho chuỗi dương (A) Đặt

Định lý 1.24 (Tiêu chuẩn D’Alembert) Cho chuỗi dương (A) Đặt

Định lý 1.25 (Tiêu chuẩn Raabe) Cho chuỗi dương (A) Đặt

1.3.3 Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ

Chuỗi (A) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

∞

X

i=1

|a i | < ∞.

Mệnh đề 1.26 Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

Tuy vậy, điều ngược lại không đúng, một chuỗi hội tụ có thể không hội tụ tuyệtđối Chuỗi như vậy được gọi là bán hội tụ Ví dụ, chuỗi P∞

Chuỗi (A) được gọi là hội tụ giao hoán nếu với mọi song ánh σ : N → N, chuỗi

Với mỗi x ∈ R và số δ > 0 ta gọi khoảng mở (x − δ, x + δ) là một δ−lân cận của

x và ký hiệu là N δ (x) Một tập U ⊆ R được gọi là một lân cận của x nếu N δ (x) ⊆ U với một δ > 0 nào đó Lúc đó ta cũng nói x là một điểm trong của U.

Một tập con U của R được gọi là mở nếu với mọi x ∈ U, x cũng là một điểm trong của U Tức là

U mở ⇐⇒ ∀x ∈ U, ∃δ > 0, N δ (x) ⊆ U.

Mệnh đề 1.31 Mọi khoảng mở (a, b) đều là một tập mở trong R.

Họ τ tất cả các tập con mở của R được gọi là tôpô của R Tập R các số thực cùng với tôpô τ được gọi là đường thẳng thực.

Định lý 1.32 Tôpô τ của đường thẳng thực có các tính chất sau:

a) Tập rỗng ∅ là mở.

b) Bản thân R là mở.

c) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở.

d) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở.

Bổ đề 1.1 Mọi họ các khoảng mở khác rỗng và rời nhau trên R đều đếm được Định lý 1.33 Mọi tập con mở của R đều là hợp của một họ đếm được các khoảng

mở rời nhau.

Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của A

và được ký hiệu là Int A Rõ ràng A mở khi và chỉ khi A = Int A Trường hợp tổng

quát ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.34 Với mọi A ⊂ R, Int A là tập mở và là tập con mở lớn nhất của A.

1.4.2 Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng

Cho A là một tập con của R Số thực a được gọi là một điểm tụ của A nếu

∀δ > 0, (N δ (a) \ {a}) ∩ A 6= ∅,

a được gọi là điểm dính của A nếu

∀δ > 0, N δ (a) ∩ A 6= ∅.

Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A 0 , còn tập các điểm dính của A được

ký hiệu là A và được gọi là bao đóng của A.

Mệnh đề 1.35 Cho tập con A của R và số thực a Lúc đó,

Mệnh đề 1.36 Cho A, B là các tập con của R Lúc đó,

a) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B.

b) A ∪ B = A ∪ B.

c) A ∩ B ⊆ A ∩ B.

Một tập con A của R được gọi là tập đóng nếu A = A Từ định nghĩa và từ

các tính chất của bao đóng ta suy ra ngay các khẳng định sau

Hệ quả 1.9 Cho A là một tập con của R Lúc đó, hai khẳng định sau là tương đương:

a) A là tập đóng;

b) ∀(x n)n ⊂ A : x n → a =⇒ a ∈ A.

Hệ quả 1.10 Với mọi tập con A của R, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa A.

Quan hệ giữa các tập đóng và tập mở được phát biểu qua định lý sau:

Định lý 1.37 Một tập con A của R là đóng khi và chỉ khi phần bù R \ A của nó

Một họ (F λ)λ∈I các tập con của R được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu

với mọi tập hữu hạn các chỉ số K ⊆ I ta có

\

λ∈K

F λ 6= ∅.

Định lý 1.41 Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi mọi phủ mở của

nó tồn tại một phủ con hữu hạn Tức là, nếu (O λ)λ∈I là phủ mở của A thì tồn tại

1.5 Thực hành tính toán trên Maple

1.5.1 Giới thiệu phần mềm Maple

Maple là một trong các phần mềm tính toán phong phú, hỗ trợ cho hầu hết cáclĩnh vực của Toán học như giải tích số, đồ thị, đại số tuyến tính, đại số hình thức,phương trình vi phân, phương trình toán lý, Maple tạo ra một môi trường làm việchoàn toàn thoải mái, giúp cho người dùng có thể thực hiện các tính toán trực tiếp

đơn giản hoặc viết các đoạn chương trình tính toán phức tạp Vì đây không phải làmột cuốn sách chuyên khảo về Maple nên chúng tôi không có tham vọng giới thiệuquá sâu mà chỉ muốn cho sinh viên làm quen với phần mềm, đủ để giải quyết tốtnhững bài toán có liên quan trong phạm vi giáo trình Sử dụng phần mềm này, sinhviên không những giải được những bài toán phức tạp mà nếu tính toán bằng tayphải mất hằng tháng trời (hoặc không tính nổi) mà còn giúp sinh viên nhìn thấyđược bản chất của nhiều vấn đề một cách nhanh chóng và sinh động Thật ra, đâykhông phải là phần mềm tính toán duy nhất Tuy nhiên, nếu biết sử dụng Maplemột cách thành thạo, sinh viên dễ dàng tiếp cận với các chương trình tính toán phổbiến khác hiện nay như Mathematica, Matlab,

Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào một cụm xử lý (bằng cách nhấn chuột vào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/After Cusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờ

đợi ta đưa lệnh vào thực hiện

Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt làchữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khó

để học thuộc, vì số lượng không nhiều) Kết thúc mỗi câu lệnh đều có dấu ";" hoặc

":" và sau đó nhấn phím Enter Nếu sử dụng dấu ";" thì kết quả tính toán sẽ hiểnthị ngay dòng dưới, còn nếu sử dụng dấu ":" thì kết quả sẽ không hiện ra

[> N:={5, 1, 2, 6}:

[> P:=M minus N;

P := {3}

c) Kiểm tra các quan hệ trên tập hợp Ta có 3 phép kiểm tra là ∈ (kí hiệu member),

⊂ (kí hiệu verify(subset)) và ⊃ (kí hiệu verify(superset)) Kết quả ta được true hoặc f alse.

f alse [> verify({1, 3, 5, 6}, {3, 5}, ’superset’);

true

1.5.3 Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình

a) Giải phương trình, bất phương trình

Cú pháp: [> solve(phương trình/bất phương trình, {biến});

2−

1

2I

√ 3}

[> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x});

{1 < x, x < 2}

[> bpt:=x*x - 3*x + 2 >= 0;

bpt := 0 ≤ x2 − 3x + 2 [> solve(bpt, {x});

{x ≤ 1}, {2 ≤ x}

b) Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình

Cú pháp: [> solve({danh sách phương trình/bất phương trình}, {ds biến});

q2 := 4 < √ u + 5 + √ 5 − u [> solve({q1, q2}, {u});

{7

4 ≤ u, u < 4}

1.5.4 Tính giới hạn của dãy số

Cú pháp: [> limit(x[n], n=infinity);

Ví dụ: [> limit ((n+1)/n, n=infinity);

1Chú ý rằng nếu viết Limit thì chỉ hiện ra công thức hình thức của giới hạn đó Nếumuốn tính giới hạn này bằng bao nhiêu ta dùng lệnh value(%) Chẳng hạn:

[> limit(y[n], n=infinity);

35

1.5.5 Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn

Cú pháp: [> sum(x[n], n=n1 n2); (nếu dùng Sum thì cho ra công thức hình thức)

trong đó, n1 là chỉ số đầu và n2 là chỉ số cuối của tổng cần tính

Ví dụ:

[> sum(1/(n*(n+1)), n=2 10);

922

1.2 Chứng minh Q là trường thứ tự không đầy đủ bằng cách chỉ ra rằng tập

S := {x ∈ Q | x2 < 3} trong Q là bị chặn trên nhưng không tồn tại sup S trong Q 1.3 Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R sao cho a < b, tồn tại q ∈ Q, r ∈ R\Q thoả mãn a < q < b, a < r < b.

1.4 Cho S ⊂ R Chứng minh

sup(−S) = − inf(S) và inf(−S) = − sup(S).

1.5 Cho A và B là hai tập con khác rỗng trong R Chứng minh rằng

sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}, inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}.

1.6 Chứng minh trường số phức C không phải là trường có thứ tự (Gợi ý: Chứng

minh số ảo i không so sánh được với 0).

1.7 Khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu tồn tại) của các dãy sau

Chứng minh rằng

a) Nếu (x n ) là đơn điệu thì (u n) cũng vậy

b) Nếu (x n ) hội tụ thì (u n) cũng hội tụ và giới hạn của hai dãy trùng nhau

1.9 Cho hằng số c > 0 Thiết lập dãy truy hồi

c) Chứng tỏ dãy (x n ) đơn điệu và có giới hạn độc lập đối với a0 và b0

1.12 Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy

Chứng minh hai dãy đó hội tụ và có chung giới hạn

1.14 Tìm giới hạn trên, giới hạn dưới, giới hạn (nếu có) của các dãy số sau

1.16 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số

∞

X

n=1

1(√ n + √ n + 1)pn(n + 1) .

thoả mãn a n < b n < c n , ∀n Chứng minh rằng nếu (A) và (C) hội tụ thì (B) cũng

hội tụ Nếu (A) và (C) phân kỳ thì (B) có phân kỳ không?

1.19 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương P∞1 a n hội tụ thì chuỗi P∞1 a2

n cũng hội

tụ Điều ngược lại còn đúng không?

1.20 Chứng minh tập các điểm tụ của một dãy số thực bất kỳ là đóng Tập đó có

bị chặn không?

1.21 Tìm một dãy trong R sao cho tập các điểm tụ của nó là đoạn [0,1]

1.22 Chứng minh rằng với mọi tập đóng E ⊂ R đều tìm được một dãy (x n) sao

cho tập các điểm tụ của nó chính là E.

1.23 Hãy xây dựng một tập mở U trên R sao cho Q ⊂ U ⊂ R và U 6= R.

1.24 Tìm E từ đó cho biết E có phải là tập đóng hay không, với

1.26 Tìm Q, R \ Q Từ đó suy ra Q là một tập không đóng, không mở trong R 1.27 Cho A, B ⊂ R Chứng minh

a) Nếu A ⊂ B thì Int(A) ⊂ Int(B),

b) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B), Int(A ∪ B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B).

1.28 Hãy xác định các tập Int(E), ∂E và E với

a) E = Z[

à ∞[

n=1

µ2

n=1

µ

2n − 2 2n − 1 ,

2n − 1 2n

¸!

1.29 Chứng minh một tập đếm được khác rỗng trong R là không mở

1.30 Chứng minh E là tập đóng với mọi E ⊂ R Hơn nữa, đó là tập đóng bé nhất chứa E.

1.31 Chứng minh rằng nếu E mở thì không tồn tại min E, max E Điều ngược lại

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC

2.1 Hàm số

2.1.1 Định nghĩa - Phân loại hàm số

Một ánh xạ f từ một tập con X của R vào R được gọi là một hàm số, X được gọi là miền xác định của f còn f (X) được gọi là miền giá trị của nó Đồ thị của hàm số f là tập hợp:

Gr(f ) := {(x; f (x)) | x ∈ X} ⊆ R × R.

Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M(x; f (x)),

x ∈ X trong mặt phẳng toạ độ Descartes vuông góc Oxy.

Hàm f : X −→ R được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu tập X là đối xứng (tức là

∀x, x ∈ X ⇒ −x ∈ X) và

∀x ∈ X, f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x))

Rõ ràng, một hàm số là chẵn (lẻ) nếu và chỉ nếu đồ thị của nó là một hình đối

xứng qua trục Oy (qua tâm toạ độ O) trong mặt phẳng Oxy.

Hàm f : R −→ R được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số dương L sao cho

Lúc đó, L được gọi là một chu kỳ của f (Thật ra, người ta thường chọn số dương L

bé nhất, nếu có, thoả mãn (2.1) làm chu kỳ của f ).

Hàm f được gọi là hàm không giảm (không tăng; tăng; giảm) trên (a, b) ⊆ X nếu với mọi x1, x2 ∈ (a, b),

x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2); f (x1) < f (x2); f (x1) > f (x2)).

Một hàm thoả mãn một trong bốn tính chất trên được gọi là hàm đơn điệu trên

Với mọi f, g ∈ F ta gọi f bé hơn hoặc bằng g và viết f ≤ g nếu với mọi x ∈ X,

f (x) ≤ g(x) Tương tự, ta có thể định nghĩa các quan hệ bé hơn, lớn hơn, lớn hơn hoặc bằng trên F Dễ kiểm chứng được rằng đây là các quan hệ thứ tự bộ phận trên F f được gọi là bằng g, và viết f = g, nếu f (x) = g(x) với mọi x ∈ X.

Với mọi f, g ∈ F, ta định nghĩa f ± g, f.g, f g , f ∨ g, f ∧ g : X → R là các hàm được xác định bởi, ∀x ∈ X :

(f ± g)(x) := f (x) ± g(x);

(f.g)(x) := f (x).g(x);

µ

f g

¶

g(x);(f ∨ g)(x) := max{f (x), g(x)};

(f ∧ g)(x) := min{f (x), g(x)}.

Cho f : X → R và g : Y ⊂ R → R là các hàm số sao cho f (X) ⊂ Y Hàm hợp của

f và g, ký hiệu g ◦ f , là hàm được xác định bởi

(g ◦ f )(x) := g[f (x)] với mọi x ∈ X.

Dễ thấy rằng, nói chung, g ◦ f 6= f ◦ g.

Cho f là hàm số xác định trên X sao cho f : X → Y là một song ánh Lúc đó tồn tại ánh xạ ngược f −1 : Y → X f −1 được gọi là hàm ngược của f Nếu quan niệm đồ thị của f −1 là tập

Hàm y = cos(x) xác định trên R, nhận giá trị trong [−1, 1] Đây là hàm chẵn

và cũng tuần hoàn với chu kỳ 2π.

Hàm y = tan(x) = tg(x) được xác định bởi

tan(x) := sin(x)

cos(x) . Hàm này có miền xác định là mọi x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R.

Hàm y = cot(x) = cotg(x) được xác định bởi

cot(x) := cos(x)

sin(x) . Hàm này có miền xác định là mọi x 6= kπ, k ∈ Z và có tập giá trị là R.

Các hàm tan và cot đều là các hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ π.

c Các hàm lượng giác ngược

2, π

2) lên R Hàm ngược của nó được gọi là hàm

arctan Vậy y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y) với mọi x ∈ R và y ∈ ( π

2, π

2)

Hàm cot là một song ánh từ (0, π) lên R Hàm ngược của nó được gọi là hàm arccot Vậy y = arccot(x) ⇐⇒ x = cot(y) với mọi x ∈ R và y ∈ (0, π).

b Giới hạn hàm số tại vô cùng

+ Cho hàm f xác định trên khoảng (a; +∞), ta nói f có giới hạn bằng l ∈ R tại +∞ nếu

c Giới hạn trái, phải Cho hàm f xác định trên khoảng (x0; x0+ δ) ((x0− δ; x0)),

ta nói f có giới hạn phải (trái) bằng l ∈ R tại x0 nếu

d Giới hạn bằng vô cùng Trong các định nghĩa trên, giới hạn của hàm f là một

số thực l Bây giờ ta sẽ xét đến các trường hợp ở đó giá trị hàm f tiến ra vô cùng khi x dần đến x0

+ Cho hàm f xác định trong N δ (x0) \ {x0}, ta nói f có giới hạn bằng +∞ tại

Lưu ý rằng định lý trên đúng cả khi l = ±∞ Ngoài ra, ta cũng có các phát

biểu tương tự cho các trường hợp giới hạn một phía

Mệnh đề 2.2 Nếu f có giới hạn l ∈ R tại x0 thì đó là giới hạn duy nhất.