Hai vectơ bằng nhau Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng.. Hiệu của hai vectơ: + Vectơ đối của ar , kí hiệu là –ar , là một vectơ ngược hướng và cùng độ dài
Trang 1CHƯƠNG I VECTƠ
I LÝ THUYẾT
1 Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng.
VD: Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi đó:
=
uuur uur
DA CB
AB và CD không bằng nhau
OA và OD không bằng nhau
2 Tổng của hai vectơ:
Cho a br, r Từ một điểm A bất kỳ, ta dựng uuurAB a=r , CD=b Khi đó: AC được gọi là tổng của hai vectơ ar và b Kí hiệu: AC= ar + b
3 Hiệu của hai vectơ:
+ Vectơ đối của ar , kí hiệu là –ar , là một vectơ ngược hướng và cùng độ dài với ar + Hiệu của 2 vectơ ar , b là tổng của ar với vectơ đối của b Kí hiệu: ar –b = ar +(–b)
4 Các quy tắc:
+ Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có: AB+BC = AC
+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB+AD= AC
+ Quy tắc hiệu: Với 3 điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có: OB−OA= AB
+ Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì: IA+IB=0
+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì: GA+GB+GC=0
5 Tích của vectơ với 1 số:
Tích của vectơ ar với số thực k là một vectơ, kí hiệu: k ar
+ Hướng: * Nếu k ≥ 0 thì kar cùng hướng với ar
* Nếu k ≤ 0 thì kar ngược hướng với ar
+ Độ dài: | kar | = |k||ar |
6 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
+ Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì với mọi điểm M, ta luôn có: MA+MB=2MI
+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta luôn có:
MA+MB+MC=3MG
7 Điều kiện để 2 vectơ cùng phương:
Vectơ b cùng phương với vectơ ar ( )ar ≠0r khi và chỉ khi có số k sao cho: b kar = r
Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho
=
uuur uuur
AB k AC
8 Hệ trục tọa độ:
• ar =( ; )a a1 2 ⇔ =a a i a jr 1r + 2r
•M = (x; y) ⇔OM =(x; y)
• AB=(x B −x A;y B −y A)
• ar =( ; )a a1 2 , b=(b1;b2)
Khi đó: * a br+ =r (a1+b a1; 2+b2)
* a br− =r (a1−b a1; 2 −b2)
* k ar = (ka 1 ; ka 2)
C
A
D
B O
Trang 2* b cùng phương với ar ( )ar ≠0r khi và chỉ khi có số k sao cho:
=
= 2 2
1 1
ka b
ka b
•Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
+
=
+
= 2
2
B A I
B A I
y y y
x x x
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
+ +
=
+ +
=
3
3
C B A G
C B A G
y y y y
x x x x
PHẦN B TỰ LUẬN
Chứng minh đẳng thức vectơ Áp dụng các quy tắc, hai vectơ bằng nhau.
1 Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ Chứng minh rằng:
a.MC+MA=MB+MD b MC MD ABuuuur uuuur uuur− =
c BD−BA=OC−OB d BC−BD+BA=0
2 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm tương ứng là G và G’ Chứng minh rằng:
G G C C B
B
A
A ′+ ′+ ′=3 ′
3 Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo tương ứng
là O và O’ Chứng minh rằng: A A′+B B′+C C′+D D′=4O O′
4 Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý Chứng minh rằng:
a AB+CD= AD+CB b AC+BD= AD+BC
c AB−CD= AC−BD
5 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: AE−FB+CD= AD−EB+CF
6 Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý Chứng minh rằng:
a.AB+CD+EA=CB+ED b.CD+EA=CA+ED
7 Cho tam giác ABC Gọi E là trung điểm đoạn BC Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC sao cho E là trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng:
AB AC+ =AM +AN
uuur uuur uuuur uuur
Xác định vectơ tổng, hiệu dựa vào định nghĩa Tính độ dài của vectơ.
8 Cho tam giác ABC
a Xác định u = AB−AC b Xác định t = AB+CA
c Xác định z=BA−BC−CA d Xác định v= AB+CA+BC
e Xác định M và N sao cho: BM = BA−BC; AN = AB+AC−BC
9 Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH Tính độ dài các vectơ:
10 Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a Tính độ dài các vectơ:
Chứng minh đẳng thức vectơ Áp dụng biểu thức trung điểm của đoạn thẳng và
trọng tâm của tam giác
Trang 311 Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng:
2
1 2
1
12 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’ Chứng minh rằng:
Nếu A A′+B B′+C C′=0 thì: G ≡G′
13 Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD; I và J là trung điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh rằng:
a uuur uuurAD BC+ =2MNuuuur b uuur uuurAD CB+ =2IJuur
c uuur uuurAB CD+ =2IJuur
14 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD Chứng minh rằng:
2
AM +BN = AC
uuuur uuur uuur
b AM +BN +AP+BM =MC
c AM +BN+CP=0 d OA+OB+OC =OM +ON +OP,∀O
15 Cho tam giác ABC Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC G
là trọng tâm Lấy M là điểm bất kỳ Chứng minh rằng:
a MB+MC=2MI b MA+MB+MC=3MG
c GI+GE+GF =0 d MA+MB+MC=MI+ME+MF
Xác định tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ
16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a=(2;1); b=(3;0); c=(1;2) Tìm m, n để:
b
a
m
c= +
17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3), C(-2; 4), D(2; -2) Tìm tọa độ của vectơ:
CD AB
a
2
1
2 −
=
18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a=(1;−2); b=(5;−7) Tìm tọa độ của vectơ:
19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3) Tìm tọa độ của:
a A’ đối xứng với A qua B b B’ đối xứng với B qua A
20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5), D(4; -3) Tìm tọa độ trung điểm của:
21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5) Tìm tọa độ của:
a Trọng tâm tam giác ABC b D sao cho ABCD là hình bình hành
22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-1; 2), C(1; 5).Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tìm tọa độ của vectơ MN
Biểu diễn 1 vectơ theo các vectơ cho trước
23 Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB
và AC
Trang 424 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF Hãy biểu diễn các vectơ AE, AF, AD,AGuuur ,uurAI, theo hai vectơ AB, AC
25 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB, AC