Phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy NGUYÊN BÍCH HUY đã tận tình giúp đỡ, động viên và đìu dắt tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận

BQOGIAODUCVADAOTAO |

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Trinh Van Bé Ba

PHUONG TRINH CHUA THAM SO

TRONG KHONG GIAN CO THU TU

Chuyén nganh : Toan Giai Tich

Mã sô : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGUOI HUONG DAN KHOA HỌC:

TS TRAN DINH THANH

Thanh phé H6 Chi Minh — 2009

LOI CAM ON

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành va sâu sắc đến thay hướng dẫn, TS TRÀN ĐÌNH THANH, đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy NGUYÊN BÍCH HUY đã tận tình giúp đỡ, động viên và đìu dắt tôi trong

suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án

Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô đã tận tâm giảng dạy cho tôi nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình tôi học cao học

Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô, các anh chị làm công tác

quản lý ở phòng sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi

cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án

Tác giả luận án

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ những

năm 1950 và được hoàn thiện cho tới nay Chúng tìm được những ứng dụng hữu ích

trong việc giải quyết các bài toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế, Trong lý

thuyết này, lớp phương trình chứa tham số chiếm một vị trí quan trọng vì phần lớn

những bài toán xuất phát từ thực tế đều phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số và

đưa đến việc cần thiết phải nghiên cứu tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc

của nghiệm theo tham số Đó là lý do tôi chọn dé tai “ phương trình chứa tham số

trong không gian có thứ tự”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày một cách hệ thống một số kết quả về

phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình chứa tham số trong không gian Banach

có thứ tự

Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày một số kết quả về phương trình chứa

tham số trong không gian Banach có thứ tự; Nội đung chính là các kết quả về tính

liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm theo tham SỐ

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Lý thuyết phương trình trong không gian Banach có thứ tự được ứng dụng

trong việc nghiên cứu các lớp phương trình khác như phương trình vi phân , phương

trình tích phân

Lớp phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự được ứng

dụng vào việc giải quyết các bài toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.

Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên

cứu và phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1: trình bày các kiến thức chuẩn bị như không gian Banach với thứ

tự sinh bởi nón; bậc tô pô của toán tử dương, hoàn toàn liên tục, định lí tồn tại điểm

bất động của ánh xạ tăng

Chương 2: phương trình chứa tham số Chương này trình bày một số kết quả

về phương trình tuyến tính chứa tham số; nhánh liên tục các nghiệm đương; sự phân

nhánh của tập hợp nghiệm dương; phương trình với toán tử ø¿ — lõm

Chương 3: một số ứng dụng Chương này vận dụng các kết quả ở chương 2

để khảo sát nghiệm tuần hoàn của một lớp phương trình vi phan 6 tô nôm cấp hai va

nghiệm yếu đương của phương trinh logistic

Chuong 1

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

Các kiến thức trong mục này có thể xem trong [3]

1.1.1 Định nghĩa 1.1.1

Cho không gian Banach thực X

Giả sử “<” là thứ tự sinh bởi nón Khi đó:

1) x<y>x+z<y+z, 2x<Ây VzeX,V230

2) (x, <y,(nEN’)), limx, =x,limy,=y)>x<y

3) Néu {x,} la day ting, hoi tu vé x thi x, <x Wane N’

1.1.3 Dinh nghia 1.1.3

Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K Khi đó ta nói:

s Klà nón chuẩn nếu 3N >0:Ø<x< y >|||< N|||

hội tụ

e = Klanénsinhnéu X¥ =K—K hay VxeX Ju,veK:x=u-v

e Ki higu K" 1a nén lién hợp của K định bởi:

K’={feX':f(x)20 vxeK)

1.1.4 Mệnh đề 1.1.4

Giả sử "<" là thứ tự sinh bởi nón chuẩn Khi đó:

1 Nếu <v thì đoạn <u,y>:={x€ X :u < x< v} bị chặn theo chuẩn

2 Nếu x„ <y„<z„(ne N”) và limx, =a,limz, =athi limy, =a

3 Nếu dãy {x,} đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thi limx, =a

1.1.5 Mệnh đề 1.1.5

Nón chính qui là nón chuẩn

1.1.6 Mệnh đề 1.1.6

Nếu K là nón sinh thì tồn tại số Ä⁄ >0 sao cho

VxeX, Juve K:x=u-v,

1.2 Bậc tô pô của toán tử dương, hoàn toàn liên tục

Các kiến thức trong mục này có thể xem trong [3]

1.2.1 Định nghĩa 1.2.1

Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K Giả sử Ớ ÄX là tập

mở, bị chặn, 4: K {]ôG —> K là ánh xạ compact sao cho

Ax#zx,Vxe KÍ\ôG

of = A(x), Vx e K 8G

A(x)eK

Khi đó x— A(x) #0,Vx € 6G nén bac tô pô deg(4,G,Ø) xác định Ta định nghĩa

i,(A,G) = deg(A,G,0)

và gọi i,(A,G) 1a bac tô pô theo nón K của ánh xạ A trên tập mở G

Kiểm tra định nghĩa trên có lí Thật vậy, giả sử A là một mở rộng khác của A

thỏa (*) Xét ánh xạ #(x,f) = tA(x) +(1- t)A(x) , ta co:

sao cho F (x,t) #x,F (x,0) = 4,(x), F(x, 1) = A(x)

thé thi i,(A,,G) =i, (A,G)

2 Gid st G,G,,G, 1a cdc tập mở, bị chặn, G, 1G, =@,G, < GG =1,2)

va A:K(\G->K 1a énh xa compact théa mãn

A(x) #x,Vxe KN(G\(G,UG,))

Khi đó

„(4,Ø)=„(4,G)+i„(A4,G,)

3 Nếu 4:Kfì\đ->K compắc và ¡„(4,G) 0 thì A có điểm bất động trong

Kng.

(H,) tồn tại phần tử xụ e K \{Ø} sao cho :

x~ A(x) # Âxạ,Vxe KÍ\ôG,VÂ>0

1.2.4 Hệ quả 1.2.4

Giả sử G là tập mở, bị chặn, chứa Ø B:X 4X là ánh xạ tuyến tính

compact, duong và không có véc tơ riêng trong K với giá trị riêng bằng 1 Khi đó:

1 i„(B,G)=l nếu B không có vec tơ riêng trong K với giá trị riêng 4 > l

2 i„(B,G)=0 nếu B có véc tơ riêng trong K với giá trị riêng 4 >l

1.2.5 Định lí 1.2.5

1 Giả sử 4:K, ->K compact, 4(Ø)=Ø, có đạo hàm theo nón K tại Ø là 4,

và 4, không có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng bằng 1 Khi đó

¡„(A4,B(0,ø)) =i„(4,,B(,ø)) với ø >0 đủ nhỏ

2 Giả sử 4:K\K, ->K compact, có đạo hàm theo nón K tại œ là 4, và 4, không có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng bằng 1 Khi đó

ủ„(A,B(6,ø)) =„(4,B(6,ø)) với ø >0 đủ lớn

1.3 Ước lượng bán kính phố của toán tử tích phân tuyến tính

Giả sử Œ :[0,1]x[0,1]—> JR là hàm Green cho bài toán biên :

—x"=y trong (0,1) x(0)=x()=0,

tức là:

t(1—s),0<t<s<l,

Gt,s)= fC OSES

s(l-t),0<s<t<l Gia str a:[0,1] > [0,cc) 14 m6t ham lién tuc khéng déng nhat bằng 0 trên mọi

doan [a, 2] <[0,1] va a, :[0,1] > [0,00) 1a ham sao cho a,(t) = a(t) trén

(e,l—£), a„() =0 trên [0,#]t+2[1 — £,1] Xét các toán tử tích phân tuyến tinh

Bx(t)= [G(.5)a@)x6)4 ›

B,x(t) = (ow, s)a,(s)x(s)ds

Taco B,B, 1a hoan toan lién tuc tir C[0,1] vao C[0,1]

Ta ky hiéu r(B),r(B,) 1a ban kính phổ của B và B,

Định lí 1.3 [2]

Kỷ hiệu K là nón các hàm không âm của CJ0,1] Ta có :

i) limr(B,) =r(B)

1i) r(B) là một giá trị riêng của B với một hàm riêng thuộc K

iii) Néu ax B,x với một xe K \{Ø} thì œ <r(B,)

Nếu B,x< 8x với một xe K \{Ø} thì r(B,)< 8

Các khẳng định tương tự cũng đúng cho toán tử B, với các bất đẳng thức nghiêm ngặt trong kết luận nếu x không là véc tơ riêng của B

1.4 Định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng

Mục này có thể xem trong [8]

1.4.1 Định lí 1.4.1

Giá sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K, M C X' là tập đóng và

F.:M —> X là ánh xạ tăng, thỏa man:

i) F(M) CM, Ax, €M:x, < F(%)

ii) F bién mỗi dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ

Khi đó F có điểm bất động trong M

1.4.2 Hé qua 1.4.2

Gia st F :<u,v>— X là ánh xạ tăng, thỏa mãn:

0 w< F(u);FƑ(v)<v

ii) F(<u,v >) là tập compact tương đối, K là nón chuẩn

Khi đó F có điểm bất động trong < u,V >

1.4.3 Hệ quả 1.4.3

Gia st F :<u,v>— X là ánh xạ tăng, thỏa mãn:

i) u<F(u);F(v)<v

ii) K la non chinh qui

Khi đó F có điểm bất déng trong <u,v>

Chuong 2

PHUONG TRINH CHUA THAM SO 2.1 Phương trình tuyến tính chứa tham số

2.1.1 Định nghĩa 2.1.1

Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K

Một ánh xạ tuyến tính 4: X —> X được gọi là đương nếu:

Vx>Ø> A()>0

Nếu A là tuyến tính, dương thì nó cũng có tính đơn điệu:

x<y> A() < A(y)

j)_A:X->X là ánh xạ tuyến tính, dương, hoàn toàn liên tục

ii) Tén tại phần tử u e K — K, u #—K và số œ >0, peÑÏ thỏa măn:

A’(u)2au

ta

Chứng minh

Gia st u=v—w, v,wœeK, yzØ

Do định lí điểm bất động Schauder, với mdi n € N’, ánh xạ

xE> (4 +) [ac +~]) c6 diém bat động trong tập

Do A hoan toan lién tuc nén tén tai day {n,} sao cho 1AGœ, )}, hội tụ về một

yeK Suy ra:

{A,„ } hội tụ về một A, > {Íø (do 4, = l4 +2

2.1.4 Dinh nghia 2.1.4

Cho A:X — X Ia anh xạ tuyến tính, dương và phần tử uạ e K \ {2

1)A gọi là uạ- bị chặn dưới (uạ - bị chặn trên) nếu với mỗi x K \{Ø} tốn tại

số œ =ơ(x)>0, n= n(x) e ÑÏ sao cho:

Tương tự, 3b >0:0#y < by

A'(x) <ơu,

ii) A là ánh xạ uạ- dương, liên tục và có vec tơ riêng dương xạ tương ứng với

giá trị riêng Â

Khi đó:

1) Ấy là giá trị riêng đơn ( bội 1) của A

2) xạ là vec tơ riêng dương duy nhất của A

3) Mọi giá trị riêng khác của A đều có mô đun nhỏ hơn Ao:

Chứng minh 1)

Nhắc lại: Giá sử A, là giá trị riêng của A

Dat X, =ker(A—A,J)" thi tacd X, CX, c

Dat X, = Ux, „ thì số chiều của không gian con X, gọi là bội của 2,

n=l

Néu A compact thi dimX, <0 Wn, va t6n tai m sao cho

X,G GX, EX, =X, = nên bội của A, hitu han

° Chứng minh dim X, =1

Giả sử trái lại Jy, ¢ (xp) : Ay) =AyN-

Coi y,¢—-K va goi í là số cực đại thỏa mãn xạ >/¿y„ thì >0 ( bổ đề

2.1.5)

Theo giả thiết phản chứng thi x, —7,y, e K \{Ø} nên do tính ¿- đương của

Ja>0 AneN’: A"(x, -49)) 2 AX:

Giả sử trái lại 3x #Ø:(A4— 4,])”x=Ø,(A4- Â,])x 0

Vì Ax— ¿x X, nên theo bước trên

—Âg'x > mtan'x, > _tz >x, VmeN >x, <0

Điều này vô lý Vậy x—K

Đặt ứạ là số lớn nhất thỏa x, > x thi 4, >0 (do bé dé 2.1.5)

Khi d6 A(X,) 2 t) A(x)

A

>x) 2—— 4x (do 2.2)

0%

Điều này mâu thuan voi tinh cye dai cia fy

Vay 1) đã được chứng minh

Chứng minh 2) Giả sử trái lại:

3x, eK \{Ø}:x, #(x,), AŒ@,) = Âm

Do tính chất 1) ta có 4, # ¿ Coi ¡})4„ ( vai trò Â,,Âạ là như nhau)

Gọi í¿ là số cực đại thỏa x, >f,x, thi 4, >0 ( bố đề 2.1.5) ta có:

A(,)>1AŒ,).

>x 2 Aine

Ay

Diéu nay mau thuan véi tinh cue dai cia f)

Vậy 2) đã được chứng minh

Dé chimg minh 3) ta xét bố đề sau:

2.1.8 Bỗ đề 2.1.8

Giả sử các giả thiết của định li Krein — Rutman được thỏa mãn và A có không

gian con bắt biến Xụ ( nghĩa là A(X,)C X§) với đim Xạ <œ,x, # Xụ Khi đó

X,¬K={0}

Chứng minh bố đề 2.1.8

Giả sử trái lại Ky =X, 0K # {0}

Tacé K, lanon, x, ¢K,, A(K,) CK)

Anh xa A xét trên X, với nón Kạ thỏa điều kiện ï) của định lí 2.1.3 (A

compact trén X, vì dim X„ < ©) Thật vậy,

Lấy yụ cK \{Ø} thì tồn tại Ø >0,ge Ñ”: 4°) < đa

Dat y, = A4”) thì có ø>0,qeÑÌ: 4Œ„)>øxy

Do đó 4'0)> 2 hay A thỏa điều kiện ¡) của định lí 2.1.3

Vậy A có trong Kạ vec tơ riêng, mâu thuẫn với tính chất 2)

Vậy bỗ đề đã được chứng minh

Chứng minh 3)

Giả sử 4, là giá trị riêng của A và 4¡ # Ấy

Trường hợp 1: 4, clÑ,4, >0, Ax, = 4,xị

Taco x, ¢K (do tinh chat 2) Do —x, ¢(-K) va A(-x,)=4,(-x,)

nên theo bô đề 2.1.5 tồn tại số t, > 0 cực đại thỏa xạ > t,(—x,).

Khi đó : A(xy,)3f,A(—x,)—> xạ A(x)

0

Do đó A, <A, theo tinh cực đại của íạ

Trường hợp 2: 4, elR,4, <0

Ta có: 2Ÿ là giá trị riêng của 4”, 4” là ø;- đương, 4j là giá trị

riêng của 4 tương ứng với vec tơ riêng xạ e K

Do đó A, < Ag (do trudng hgp 1) hay |4,|< Âu

Truong hop 3: 1, =a+if (6 #0)

Khi đó dx,yeX: Ax+iy)= (œ +iØ)(x+iy)

1(a,,b,) <7 :a§ + ý =sup|z” +? :(a,b) e7}

ViA la x, - đương nên có c >0, e ÑÏ sao cho

A?(asx+ bạy + xạ) 2 CX, (2.5)

Có thé coi c<^‡ Từ (2.5) ta có

Bây giờ cho A: X —> X là ánh xạ tuyến tính dương và Â elÑ,ye X Ta

muốn tìm nghiệm xe K của phương trình :

2.1.9 Định lí 2.1.9

Cho A là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục, có bán kính phổ r(4) > 0

Khi đó nếu r >r(A) và y K' thì (2.7) có duy nhất nghiệm trong K

Chứng minh

Khi dé voi xe K\{0} va  < thì Ax<Âx (tức là Âx— Ax ¢ K)

Noi cach khac:

1) Néu A<A, va ye K thi (2.7) khong có nghiệm trong K \{Ø}

2) Néu Axe K\{O} thoa AxSAx thi AZ A,

Chứng minh

Giả sử trái lại:

3xeK \{0},3Â <Âu: A(x) <Âx

Gọi íọ là số cực đại mà x>f„„ thì fạ>0 vì Ja>0,peN :A’x2auy

Ta có: Ax 2 t, Au, > AX = tyAgly

Vậy định lí đã được chứng minh

2.1.11 Định lí 2.1.11

Gia sw A la anh xq u, - bị chặn trên và tôn tại số A, > 0 théa man:

Auy S$ Aguy-

Khi đó với xe K \{Ø} và Â > Âa thì Ax> Âx Như vậy:

1) Nếu  > Ây và y6—K thì (2.7) không có nghiệm trong K \{0}

2) Nắu 3x K\{O},4A ER thỏa Ax>Âx thì Â < Âu.

Giả str trai lai Ax < A,x,x € K \ {0} ,x Flu

Goi t, > 0 1a số cực đại thỏa x> tu) Taco:

3z>0 31peÑÏ: 4(x—yu) > đu,

=> A? (x)= (tA? + a)u, DAPXZ (tA? +a)uy (do Ax <A,x)

Điều này mâu thuần với tính cực đại của f,

Vậy ta có ¿x> A(x)

Chứng minh 4„x < 4(x)

Giả sử trái lại Ayx < Ax,x eK \{0},x # tạ

Gọi /¿ >0 là số cực đại thỏa y > „x Ta có:

3z >0 1peNÑ”: A”( —fux) > đu,

=> (Ap -—a)uy, 2 tA? (x) 2th Aex

Điều này mâu thuân với tính cực dai cua f,

Vậy ta có ¿x< A(x)

Vậy định lí đã được chứng minh

2.2 Nhánh liên tục các nghiệm dương

Cho X là không gian Banach thực với thứ tự sinh bởi nón K và ánh xạ

f :[0,00) x K —>K_ hoàn toàn liên tục Xét bài toán tìm c&p (A,x) €[0,00) x K

sao cho:

Ta nói rằng S là nhánh liên tục không bị chặn xuất phat tir 9 néu SMOG 4D

với mọi tập con mở bị chặn G chứa Ø

Trước tiên ta xét phương trình (2.8) với f có một ánh xạ non đơn điệu

Ta nói rằng toan tr g:K —K 1a mot anh xạ non đơn điệu của toán tử

ƒ(^4.x) nếu ƒ(^,x) > g(Ax) trén [0,00)x K va g ting theo nghĩa

OSxS y=> g(x)Sg(y)

2.2.2 Dinh li 2.2.2

Giả sử toán tứ ƒ :[0,œ)x K —> K là hoàn toàn liên tục và thỏa man:

1.x= ƒ(0,x),xe K\{Ø} kéo theo f <1

2 K là nón chuẩn, toán tử 'ƒcó ánh xạ non đơn điệu g thỏa mãn:

tôn tại a >0,b >0 và ueK\{0} sao cho

(a) g(tu) = atu voi moi t€ [0,5]

mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn và toán tử 4:Y-> X tuyến tính compact théa A(K,) cK

2.2.3 Định lí 2.2.3

Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn:

1 tx = Ao F(0,x),xe K \{0} >t<\l

2 Tôn tại các số dương a, b, c và hàm tuyến tính L:Ÿ ->] không âm và

không đồng nhất không trên K thỏa

(a) L(4z)>aL(x), L(ax)> all, với xe Ky,

x = A[tF (A,x) + (1—-1)bAx]

và tác động L lên cá hai về của đẳng thức đó, kết hợp với 2(a), 2(b) ta được:

c

abd -1

|x|< z4 )

Từ bất đẳng thức cuối và (2.13) và inf {||x| xe KN) aG} >0 suy ra rằng phương

trình (2.11) không có nghiệm trên K (}ôG với t €[0,1] va 4 đủ lớn Do đó ánh xạ

compact ¿— 4o Ƒ(A,.) và ¡ — bÄ4 là đồng luân dương trên K ƒ\ôG nếu 4 đủ lớn Bây giờ chúng ta sẻ chứng minh rằng nếu  lớn và ue K dugc chon sao cho

L(u)>0 Khi d6:

x=bÂAx + su,x e K [\}ôG (2.17)

That vay, tir (2.11) khong cé nghiém trén K (OG véi £ = 0 thì từ (2.17) dẫn dén: s #0

Bằng cách tác động L lên cả hai về của (2.17) và và lý luận như trong (2.14)

i, (Ac F(A,.),G) =i, (b1.4,G) =0 với  lớn

Do vậy, x= 4s F(4,x) với một số xe K f]ôG và Â >0

Định lí được chứng minh

2.2.4 Mệnh đề 2.2.4

Cho ƒ: [0.=) xK—K là một toán tử hoàn toàn liên tục và Œ là một lân cận

mở, bị chặn của Ø Giả sử tôn tại các số A,,A, €[0,0) va phan tir XE K\ {0}

sao cho

x# ƒ(À,x) với xe K(\ôG và wl

ñ) x— xạ # ƒ(Â,,x) với xe K(ôG và „>0

Khi đó S(\ôG # Ø.

2.2.5 Dinh li 2.2.5

Gia ste anh xa f :R,xK —K Ia hoan toan lién tuc va ton tại ánh xạ tăng

G:K—>K, ham g:R, >R,, sao cho

f(A,x) = G(9(A)x), VA, x)ER, xK

Hơn nữa, giả sử ton tại phan tr u, € K \ {0} và các số dương a,b sao cho i) G(tu,)2 atu, Vt e[0,b],

ii lim (A) =, lim|G(tu,)], =%,

trong do Il, là chuẩn trên X thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Tập nghiệm S của (2.8) la nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ Ø

2) Voi moi xeS ton tai duy nhất A=A(x)e[0,0) để (Â,x) thỏa (2.8)

3) Với mỗi đoạn [r,R]C(0,œ) tổn tại đoạn [œ,Ø]c(0,œ) sao cho

4)a) sy sup A(x) =A,(A, = jim inf A(x) hodc

lx->»

b) lim sup A(x) = 2,,( = lim inf A(x)

Khi d6 voi moi 2 €(Ay,A,,) (hodc A€E(A,,4,)) thi phuong trinh (2.8) cé nghiém

xeK\ {9} -

Chứng mình

Ta chứng minh định lí cho trường hợp a), trường hợp b) chứng minh hoàn toàn

tương tự.

Giả sử trái lại:

3Â e(4,,4„):x# ƒ(4.x) VxeK\{Ø}

Xy =f (A Xo)s Xp = LAX) 4'<ÂÃ <Â"

Nhưng khi đó theo giả thiết 2) ta phải có 4'=4"= 4, điều này mâu thuẫn với (2.18) Như vậy (2.21 ) đúng

phương trình x= ƒ(Ä,x) ( tương ứng với nghiệm tầm thường) nếu với mọi lân cận

U của (24,9) trong R,xK déu ton tai một

diém(A,x) €U voix = ƒ(Â.x) vàx > Ø

2.3.2 Mệnh đề 2.3.2

Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và D là một lân cận phải của một số điểm x thuộc X ( tức là tôn tại một số dương &€ sao cho

x+éB* CD (hay x—eB'CD), trong đó B` =Bc`K, B là quả cầu mở đơn

vi), cho F' là một không gian Banach tuy y va dat

#:D-—>F là hàm khả vi bên phải tại x

i) Nếu ƒ là ánh xạ hoàn toàn liên tục thì ƒ,(x)|K_ là hoàn toàn liên tục.

ii) Néu f là ánh xạ hoàn toàn liên tục và K là nón sinh thì ƒ'(x) là toán tử

tuyến tinh compact

iii) Néu D Ia tap mé, K la non sinh va f liên tục, khả vi bên phải liên tục trên D

thi f kha vi (Frechet) trén Dva f (y)=f'(y) VyeD

Mệnh đề sau đây nêu lên một điều kiện cần để 4„ clR, là điểm phân nhánh

Từ đây về sau ta kí hiệu 7ÿ ƒ là đạo hàm riêng bên phải ứng với biến thứ hai

2.3.3 Mệnh đề 2.3.3

Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và ƒ:ÏÑ, xK ->K là ảnh xạ hoàn toàn liên tục thỏa mãn ƒ(.,Ø) =Ø Gia ste A, €IR, la mét điểm phân nhánh của phương trình x= ƒ(Â,x) thỏa man:

D3 f(A,,9) tôn tại

đến Ø trong K Khi đó 1 là giá trị riêng của Dÿ ƒ(Â,,Ð) với một véc tơ riêng

Taco

Do về phải hội tụ đến Ø nên suy ra phần tử Ø của X thuộc bao đóng của tập

[i4;- D; /(4,9) |(5°).

Mặt khác do mệnh đề (2.3.2) thì Df (A.A |K là hoàn toàn liên tục nên tập

[ id, — Di /(2,,Ø) |(S*) là tập đóng

Định lí đã được chứng minh

Bây giờ ta đưa thêm giả thiết (H,) như sau:

Cho (X,K) 1a khéng gian Banach cé thir ty va f:IR, x K > K 1a anh xa hoan toàn liên tục thỏa :

ƒ(.Ø)=Ø và /(0,.)=0Ø

Tén tại một toán tử tuyến tính Tạc L(K-K,X ) và một ánh xạ

ø,:R,xK->K với D;gạ(.,Ø)=0Ø thỏa

(A,) F(A, x) = AT x + £5(A,x), (A,x)ER,xK

Ánh xạ ø,(.„x)|x|[”:IR, —>K liên tục, đều trên những dãy hội tụ đến Ø

trong K

Từ giả thiết (H,)suy ra:

Dy f(A,0) =AT, voimoi AER,

Do đó chứng minh được 7¿ là dương và 7, | x là hoàn toàn liên tục Dẫn đến anh xa g,:R,x K —>K là hoàn toàn liên tục và

#u(2.x) =O(|x||) khi x—>Ø với mọi cố định thuộc T, 2.3.4 Định lí 2.3.4

Giá sử giả thiết (Hạ) được thỏa mãn và Ây e]À „ là một điểm phân nhánh của

phương trình x= ƒ(Â,x) Khi đó ¿ >0 và Âj` là một giá trị riêng của TỊ ứng

với một vec tơ riêng dương Đặc biệt Tạ # ð

Chứng minh

Suy ra từ định lí 2.3.2